1、1第 2 课时 椭圆的几何性质及应用学习目标 1.进一步巩固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识.知识点一 点与椭圆的位置关系思考 类比点与圆的位置关系的判定，你能给出点 P(x0， y0)与椭圆 1( ab0)的位x2a2 y2b2置关系的判定吗？答案 当 P 在椭圆外时， 1；x20a2 y20b2当 P 在椭圆上时， 1；x20a2 y20b2当 P 在椭圆内时， b0)，则点 P 与椭圆的位置关系如下表所示：x2a2 y2b2位置关系 满足条件P 在椭圆外 1x20a2 y20b2P 在椭圆上 1x20a2 y20b2P 在椭圆内 b0)的位置关系？x2a2 y2b
2、2答案 联立Error!消去 y 得关于 x 的一元二次方程.梳理 直线与椭圆的三种位置关系2位置关系 解的个数 的取值相交 两解 0相切 一解 0相离 无解 5.(2)由 0，解得 m5.(3)由 0，解得50；(2)直线与椭圆相切 0；(3)直线与椭圆相离 0.x1 x22 16k2 8k1 4k2 12此时直线的方程为 y2 (x4)，12即 x2 y80.方法二 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则有Error!两式相减，得 0，x2 x2136 y2 y219整理得 kAB .y2 y1x2 x1 9x2 x136y2 y1由于 P(4,2)是 AB 的中点， x1 x2
3、8， y1 y24，于是 kAB .98364 12于是直线 AB 的方程为 y2 (x4)，12即 x2 y80.反思与感悟 处理直线与椭圆相交的关系问题的通法是通过解直线与椭圆构成的方程.利用根与系数的关系或中点坐标公式解决，涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐6标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系.跟踪训练 3 已知椭圆 ax2 by21( a0， b0 且 a b)与直线 x y10 相交于 A， B 两点，C 是 AB 的中点，若 AB2 ， OC 的斜率为 ，求椭圆的方程.222考点 直线与椭圆的位置关系题点 中点弦问题解 方法一 设 A(x1， y1)，
4、B(x2， y2)，代入椭圆方程并作差，得 a(x1 x2)(x1 x2) b(y1 y2)(y1 y2)0. A， B 为直线 x y10 上的点， 1.y1 y2x1 x2由已知得 kOC ，代入式可得 b a.y1 y2x1 x2 22 2直线 x y10 的斜率为 k1，又 AB |x2 x1| |x2 x1|2 ，1 k2 2 2| x2 x1|2.联立 ax2 by21 与 x y10，消去 y，可得( a b)x22 bx b10.且由已知得 x1， x2是方程( a b)x22 bx b10 的两根， x1 x2 ， x1x2 ，2ba b b 1a b4( x2 x1)2(
5、x1 x2)24 x1x2 24 .(2ba b) b 1a b将 b a 代入式，解得 a ， b .213 23所求椭圆的方程是 1.x23 2y23方法二 由Error!消去 y，得( a b)x22 bx b10.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x2 ， x1x2 ，2ba b b 1a b且直线 AB 的斜率为 k1. AB k2 1x1 x22 k2 1x1 x22 4x1x2 .24b2 4a bb 1a b AB2 ， 2 ，224b2 4a bb 1a b 27 1.a b aba b设 C(x， y)，则 x ， y1 x .x1 x22 ba b
6、aa b OC 的斜率为 ，22 ，将其代入式，得 a ， b .yx ab 22 13 23所求椭圆的方程为 1.x23 2y23类型三 椭圆中的最值(或范围)问题例 4 已知椭圆 4x2 y21 及直线 y x m.若设直线与椭圆相交于 A(x1， y1)， B(x2， y2)两点，求 AOB 面积的最大值及 AOB 面积最大时的直线方程.考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆相交时的最值问题解 由Error! 消去 y，得5x22 mx m210，由 4 m220( m21)0，得 m ，52 52x1 x2 ， x1x2 ，2m5 m2 15则 AB |x1 x2|1 12 2 x
7、1 x22 4x1x2 .225 5 4m2又 O 到 AB 的距离 d .|m|2所以 S AOB ABd 12 12 225 5 4m2 |m|2 ，25(54 m2)m2 25 (54 m2) m22 14当且仅当 m2 m2时，等号成立，54此时 m ，104 52， 52即 AOB 的面积最大为 ，148此时直线方程为 x y 0.104反思与感悟 解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等.解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想.其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式
8、，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件.跟踪训练 4 直线 y b 与椭圆 y21 交于 A， B 两点，记 AOB 的面积为 S.求在 00， m1 或 m0 且 m3， m1 且 m3.2.过椭圆 y21 的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于 A， B 两点，则x24AB_.考点 直线与椭圆的位置关系题点 中点弦问题答案 1解析 由题意知 AB 为通径，则 AB 1.2b2a 2293.椭圆 1 的左、右焦点分别为 F1， F2，弦 AB 过 F1，若 ABF2的内切圆周长为x225 y216， A， B 两点的坐标分别为( x1， y1)，( x2， y2)，则| y1
9、y2|的值为_.考点 直线与椭圆的位置关系题点 中点弦问题答案 53解析 易知 ABF2内切圆的半径 r ，根据椭圆的性质结合 ABF2的特点，可得 ABF2的12面积 S lr 2c|y1 y2|，其中 l 为 ABF2的周长，且 l4 a，代入数据解得12 12|y1 y2| .534.过点 P(1,1)的直线交椭圆 1 于 A， B 两点，若线段 AB 的中点恰为点 P，则 ABx24 y22所在的直线方程为_.考点 直线与椭圆的位置关系题点 中点弦问题答案 x2 y30解析 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则Error! 又Error!两式相减得 .y1 y2x1 x2
10、12 AB 所在的直线方程为 x2 y30.5.直线 l： y kx1 与椭圆 y21 交于 M， N 两点，且 MN ，求直线 l 的方程.x22 423考点 直线与椭圆的位置关系题点 求椭圆中的直线方程解 设直线 l 与椭圆的交点为 M(x1， y1)， N(x2， y2).由Error! 消去 y 并化简，得(12 k2)x24 kx0，所以 x1 x2 ， x1x20.4k1 2k2由 MN ，得( x1 x2)2( y1 y2)2 ，423 329所以(1 k2)(x1 x2)2 ，329所以(1 k2)(x1 x2)24 x1x2 ，32910即(1 k2) 2 ，(4k1 2k2
11、) 329化简得 k4 k220，所以 k21，即 k1.所以所求直线 l 的方程是 y x1 或 y x1.1.直线与椭圆相交弦长的有关问题(1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长.(2)当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式.设直线与椭圆交于 A(x1， y1)， B(x2， y2)两点，则有 AB x1 x22 y1 y22 1 k2x1 x22 1 k2 x1 x22 4x1x2 (1 1k2)y1 y22 (k 为直线斜率).1 1k2 y1 y22 4y1y2(3)如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况.2.解决椭圆中点弦问题的二种方法(
12、1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.(2)点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系.一、填空题1.若直线 x2 y20 经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为_.考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆相交时的其他问题答案 y21 或 1x25 x24 y25解析 直线与坐标轴的交点为(0,1)，(2,0)，由题意知当焦点在 x 轴上时， c2， b1， a25，所求椭圆的标准方程为 y21.x2511当焦点在 y 轴上时， b2
13、， c1， a25，所求椭圆的标准方程为 1.y25 x242.直线 x a 与椭圆 1 恒有两个不同的交点，则 a 的取值范围为_.x23 y24考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆的公共点个数问题答案 ( ， )3 33.若直线 ax by40 和圆 x2 y24 没有公共点，则过点( a， b)的直线与椭圆 1x29 y24的公共点个数为_.考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆的公共点个数问题答案 2解析 直线与圆没有交点， d 2，4a2 b2 a2 b2b0)的左焦点为 F，椭圆 C 与过原点的直线相交于 A， B 两点，x2a2 y2b2连结 AF， BF.若 AB10
14、， AF6，cos ABF ，则椭圆 C 的离心率 e_.45考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆相交时的其他问题答案 57解析 设椭圆的右焦点为 F1，在 ABF 中，由余弦定理可解得 BF8，所以 ABF 为直角三角形，又因为斜边 AB 的中点为 O，所以 OF c5，连结 AF1，因为 A， B 关于原点对称，所以 BF AF18，所以 2a14， a7，所以离心率 e .576.若点 O 和点 F 分别为椭圆 y21 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，则x22OP2 PF2的最小值为_.考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆相交时的最值问题答案 2解析 设 P(x0
15、， y0)，而 F(1,0)， OP2 PF2 x y ( x01) 2 y .20 20 20又 y 1 ，20x202 OP2 PF2 x 2 x03( x01) 222.20 OP2 PF2的最小值为 2.7.过点 M(1,1)作斜率为 的直线与椭圆 C： 1( ab0)相交于 A， B 两点，若 M 是线12 x2a2 y2b2段 AB 的中点，则椭圆 C 的离心率为_.考点 直线与椭圆的位置关系题点 中点弦问题答案 22解析 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则Error!Error!又 A， B 两点在椭圆上，则Error!13 0，x1 x2x1 x2a2 y1 y2
16、y1 y2b2 .y1 y2x1 x2 b2a2 x1 x2y1 y2 ， x1 x22， y1 y22，y1 y2x1 x2 12 ， a22 b2.b2a2 12又 b2 a2 c2， a22( a2 c2)， a22 c2， e .ca 228.若直线 y kx 交椭圆 y21 于 A， B 两点，且 AB ，则 k 的取值范围为_.x24 10考点 直线与椭圆的位置关系题点 弦长问题答案 12， 12解析 由Error!得 x2 .44k2 1不妨设Error! Error!由两点间距离公式得 AB2 10，解得 k2 .161 k24k2 1 14 k 的取值范围为 .12， 129
17、.如图，椭圆 1( ab0)的左、右焦点分别为 F1， F2，焦距为 2c，若直线x2a2 y2b2y (x c)与椭圆的一个交点 M 满足 MF1F22 MF2F1，则该椭圆的离心率为_.3考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆相交时的其他问题答案 13解析 由直线方程 y (x c)，得 直 线 与 x 轴 的 夹 角 MF1F2 ， 且 过 点 F1( c,0).3 3 MF1F22 MF2F1， MF1F22 MF2F1 ，即 F1M F2M.在 Rt F1MF2中， 3F1F22 c， F1M c， F2M c，由椭圆定义，可得 2a c c，3 314离心率 e 1.ca 21
18、 3 310.若椭圆 C： 1 的左、右顶点分别为 A1， A2，点 P 在椭圆 C 上，且直线 PA2的斜率x24 y23的取值范围是2，1，则直线 PA1的斜率的取值范围为_.考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆相交时的其他问题答案 38， 34解析 设 P(x， y)，直线 PA1， PA2的斜率分别为 k1， k2.则 k1k2 .yx 2 yx 2 y2x2 4 3 34x2x2 4 34因为 k22，1，所以 k1 .38， 34二、解答题11.设直线 y x b 与椭圆 y21 相交于 A， B 两个不同的点.x22(1)求实数 b 的取值范围；(2)当 b1 时，求| |
19、.AB 考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆的公共点个数问题、弦长问题解 (1)将 y x b 代入 y21，消去 y，x22整理得 3x24 bx2 b220.因为直线 y x b 与椭圆 y21 相交于 A， B 两个不同的点，x22所以 16 b212(2 b22)248 b20，解得 0， b0)与直线 x3 y20 的交点，点 M 是 AB 的x2a2 y2b2中点，且点 M 的横坐标为 ，若椭圆 C 的焦距为 8，求椭圆 C 的方程.12考点 直线与椭圆的位置关系题点 中点弦问题解 设 A(xA， yA)， B(xB， yB)， M(xM， yM).由题意得Error! kA
20、B0.2xMa2 2yMb2点 M ，(12， 12) 0， a23 b2.1a2 1b2 13又 c4， a224， b28，经检验， a224， b28 符合题意，椭圆 C 的方程为 1.x224 y2813.已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A(2,3)，且点 F(2,0)为其右焦点.(1)求椭圆 C 的方程；(2)是否存在平行于 OA 的直线 l，使得直线 l 与椭圆 C 有公共点，且直线 OA 与 l 的距离等于 4？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由.考点 直线与椭圆的位置关系题点 求椭圆中的直线方程解 (1)依题意，可设椭圆 C 的方程为 1( a b0
21、)，知左焦点为 F(2,0).x2a2 y2b2从而有Error! 解得Error!又 a2 b2 c2，所以 b212，故椭圆 C 的方程为 1.x216 y212(2)假设存在符合题意的直线 l，由题意知直线 l 的斜率与直线 OA 的斜率相等，故可设直线 l 的方程为 y x t.32由Error! 得 3x23 tx t2120.因为直线 l 与椭圆 C 有公共点，所以 (3 t)243( t212)0，解得4 t4 .3 316另一方面，由直线 OA 与 l 的距离 d4，可得 4，从而 t2 ，由于|t|94 1 132 4 ，4 ，所以符合题意的直线 l 不存在.13 3 3三、
22、探究与拓展14.已知椭圆 1( ab0)的离心率为 .设 A 为椭圆的左顶点， O 为坐标原点，若点 Qx2a2 y2b2 64在椭圆上且满足 AQ AO，则直线 OQ 的斜率为_.考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆相交时的其他问题答案 5解析 设直线 OQ 的斜率为 k，则其方程为 y kx.设点 Q 的坐标为( x0， y0).由条件得Error!消去 y0并整理得 x .(*)20a2b2k2a2 b2由 AQ AO， A( a,0)及 y0 kx0，得( x0 a)2 k2x a2，20整理得(1 k2)x 2 ax00.20而 x00，故 x0 . 2a1 k2代入(*)式，
23、整理得(1 k2)24 k2 4.a2b2由离心率为 知 ，故(1 k2)2 k24，64 a2b2 85 325即 5k422 k2150，可得 k25.所以直线 OQ 的斜率 k .515.已知两点 F1(2,0)， F2(2,0)，曲线 C 上的动点 M 满足 MF1 MF22 F1F2，直线 MF2与曲线 C 交于另一点 P.(1)求曲线 C 的方程及离心率；(2)设 N(4,0)，若 S MNF2 S PNF232，求直线 MN 的方程.考点 直线与椭圆的位置关系题点 三角形面积问题解 (1)因为 F1F24， MF1 MF22 F1F284，所以曲线 C 是以 F1， F2为焦点，
24、长轴长为 8 的椭圆.曲线 C 的方程为 1，离心率为 .x216 y212 12(2)显然直线 MN 不垂直于 x 轴，也不与 x 轴重合或平行.17设 M(xM， yM)， P(xP， yP)，直线 MN 的方程为 y k(x4)，其中 k0.由Error! 消去 x，得(34 k2)y224 ky0，解得 y0 或 y .24k4k2 3依题意 yM ， xM yM4 .24k4k2 3 1k 16k2 124k2 3因为 S MNF2 S PNF232，所以 ，则 .MF2F2P 32 MF2 32F2P 于是Error!所以Error!因为点 P 在椭圆上，所以 3 24 248.(24k2 24k2 3) ( 16k4k2 3)整理得 48k48 k2210，解得 k2 或 k2 (舍去)，从而 k .712 34 216所以直线 MN 的方程为 y (x4).216
