1、1第 1 课时 椭圆的几何性质学习目标 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形.知识点一 椭圆的几何性质标准方程 1( ab0)x2a2 y2b2 1( ab0)y2a2 x2b2图形焦点 F1( c,0)， F2(c,0) F1(0， c)， F2(0， c)焦距F1F22 c(c )a2 b2F1F22 c(c )a2 b2范围 |x| a，| y| b |x| b，| y| a对称性 关于 x 轴、 y 轴和原点对称顶点 (a,0)，(0， b) (0， a)，( b,0)性质轴 长轴长 2a，短轴长
2、2b知识点二 椭圆的离心率思考 观察不同的椭圆可见它们的扁平程度不一样，哪些量影响其扁平程度？怎样刻画？答案 如图所示，在 Rt BF2O 中，cos BF2O ，记 e ，则 0b0)的短轴长等于 b.( )x2a2 y2b2类型一 由椭圆方程研究其几何性质例 1 求椭圆 y21 的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标，并利用对称性画出x216这个椭圆.考点 椭圆的几何性质题点 通过所给条件研究椭圆的几何性质解 由方程知 a4， b1，所以长轴长 2a8，短轴长 2b2， c .16 1 15离心率 e ，焦点坐标为( ，0)，( ，0).ca 154 15 15顶点坐标为(4,0)，(0
3、，1).画图：先作出直线 x4， y1 围成的矩形框，然后在第一象限描点 ， ，(1，154)(2， 32).(3，74)画出第一象限部分的图象，最后利用对称性作出二、三、四象限的图象.反思与感悟 解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用 a， b， c 之间的关系和定义，求椭圆的基本量.跟踪训练 1 求椭圆 9x216 y2144 的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标.考点 椭圆的几何性质题点 通过所给条件研究椭圆的几何性质3解 将椭圆方程化成标准方程为 1，x216 y29于是 a4， b3， c .16 9 7椭圆的长轴长和短轴
4、长分别是 2a8 和 2b6，离心率 e .又知焦点在 x 轴上，ca 74两个焦点坐标分别是 F1( ，0)和 F2( ，0)，7 7四个顶点坐标分别是 A1(4,0)， A2(4,0)， B1(0，3)和 B2(0,3).类型二 求椭圆的离心率命 题 角 度 1 与 焦 点 三 角 形 有 关 的 求 离 心 率 问 题例 2 椭圆 1( ab0)的两焦点为 F1， F2，以 F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分x2a2 y2b2正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为_.考点 椭圆的几何性质题点 求椭圆离心率答案 13解析 方法一 如图， DF1F2为正三角形，N 为 DF2的中点， F1
5、N F2N. NF2 c， NF1 F1F2 NF2 c，4c2 c2 3则由椭圆的定义可知， NF1 NF22 a， c c2 a，3 e 1.ca 23 1 3方法二 注意到在焦点三角形 NF1F2中， NF1F230， NF2F160， F1NF290.则由离心率的公式和正弦定理，得e 2c2a F1F2NF1 NF2 sin F1NF2sin NF2F1 sin NF1F2 sin90sin60 sin30 132 12 1.3反思与感悟 涉及到焦点三角形注意利用椭圆的定义找到 a 与 c 的关系或利用 e4求解.1 b2a2跟踪训练 2 设 F1， F2是椭圆 E： 1( a b0)
6、的左、右焦点， P 为直线 x 上一x2a2 y2b2 3a2点， F2PF1是底角为 30的等腰三角形，则椭圆 E 的离心率为_.考点 椭圆的几何性质题点 求椭圆离心率答案 34解析 如图，设直线 x 交 x 轴于 D 点.3a2因为 F2PF1是底角为 30的等腰三角形，则有 F1F2 F2P.因为 PF1F230，所以 PF2D60， DPF230.所以 DF2 F2P F1F2，12 12即 c 2c 2 c，即 ，3a2 12 3a2 ca 34所以椭圆的离心率为 e .34命 题 角 度 2 构 建 a， c的 齐 次 式 ， 求 椭 圆 的 离 心 率 (或 其 取 值 范 围
7、)例 3 (1)设椭圆 C： 1( ab0)的左、右焦点分别为 F1， F2，过 F2作 x 轴的垂线与x2a2 y2b2椭圆 C 相交于 A， B 两点， F1B 与 y 轴相交于点 D，若 AD F1B，则椭圆 C 的离心率为_.考点 椭圆的几何性质题点 求椭圆离心率答案 33解析 直线 AB： x c，代入 1，得 y ，x2a2 y2b2 b2a A ， B .(c，b2a) (c， b2a) 1BFk . b2a 0c c b2a2c b22ac直线 BF1： y0 (x c)，b22ac5令 x0，则 y ， D .b22a (0， b22a) kAD .b2a b22ac 3b2
8、2ac由于 AD BF1， 1，3 b44 a2c2，b22ac 3b22ac b22 ac，即 (a2 c2)2 ac，3 3 e22 e 0，3 3 e ， 24 43 323 2423 e0， e . 2 423 223 33(2)若椭圆 1( ab0)上存在一点 M，使得 F1MF290( F1， F2为椭圆的两个焦点)，x2a2 y2b2则椭圆的离心率 e 的取值范围为_.考点 椭圆的几何性质题点 求离心率的范围答案 22， 1)解析 椭圆方程为 1( ab0)， b y b.x2a2 y2b2由题意知，以 F1F2为直径的圆至少与椭圆有一个公共点，则 c b，即 c2 b2，所以
9、c2 a2 c2，所以 e21 e2，即 e2 .12又 0b0)，x2a2 y2b2由椭圆的对称性知， B1F B2F.又 B1F B2F， B1FB2为等腰直角三角形， OB2 OF，即 b c.又 FA ，10 5即 a c ，且 a2 b2 c2，10 5将上面三式联立，得Error!解得Error!所求椭圆方程为 1.x210 y25反思与感悟 此类问题应由所给的几何性质充分找出 a， b， c 所应满足的关系式，进而求出a， b.在求解时，需注意当焦点所在位置不确定时，应分类讨论.跟踪训练 4 根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程.(1)长轴长是短轴长的 2 倍，
10、且过点(2，6)；(2)焦点在 x 轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为 6.考点 椭圆几何性质的应用题点 由椭圆的几何特征求方程解 (1)当焦点在 x 轴上时，设椭圆方程为 1( ab0).x2a2 y2b2由题意得Error!解得Error!椭圆方程为 1.x2148 y237同理可得当焦点在 y 轴上时，8椭圆方程为 1.x213 y252故所求椭圆方程为 1 或 1.x2148 y237 x213 y252(2)依题意有Error! b c6， a2 b2 c272，所求椭圆方程为 1.x272 y2361.椭圆 1 的上顶点与右顶点之间的距离为_.x216 y225考
11、点 椭圆的几何性质题点 通过所给条件研究椭圆的几何性质答案 41解析 上顶点坐标为(0,5)，右顶点坐标为(4,0)，故它们的距离为 .412.若椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍，且焦距为 2，则此椭圆的标准方程为_.考点 椭圆几何性质的应用题点 由椭圆的几何特征求方程答案 1 或 1x243y213x213y243考点 椭圆的几何性质题点 通过所给条件研究椭圆的几何性质解析 由题意可知 a2 b， c1，所以 1 b24 b2，故 b2 ， a2 ，则此椭圆的标准方程13 43为 1 或 1.x243y213x213y2433.已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是
12、(10,0)，则焦点坐标为_.考点 椭圆的几何性质题点 通过所给条件研究椭圆的几何性质答案 (0， )69解析 由题意知椭圆焦点在 y 轴上，且 a13， b10，则 c ，故焦点坐标a2 b2 69为(0， ).6994.已知点( m， n)在椭圆 8x23 y224 上，则 2m4 的取值范围为_.考点 椭圆的几何性质题点 椭圆范围的简单应用答案 42 ，42 3 3解析 因为点( m， n)在椭圆 8x23 y224 上，即在椭圆 1 上，所以点( m， n)满足椭x23 y28圆的取值范围| x| ，| y|2 ，因此| m| ，即 m ，所以3 2 3 3 32m442 ，42 .3
13、 35.过椭圆 1( ab0)的左焦点 F1作 x 轴的垂线交椭圆于点 P， F2为右焦点，若x2a2 y2b2 F1PF260，则椭圆的离心率为_.考点 椭圆的几何性质题点 求椭圆离心率答案 33解析 PF1 PF22 a，又 F1PF260， PF1 PF2，12 PF22 aPF2 a， PF1 a.32 43 23在 Rt PF1F2中， PF F1F PF ，21 2 2 2(2 c)2 2，解得 e .(23a) (43a) ca 331.已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式.2.根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量” ，常用
14、的方法是待定系数法.在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率 e、焦距.3.求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用.一、填空题1.椭圆 25x29 y2225 的短轴长是_.考点 椭圆的几何性质题点 通过所给条件研究椭圆的几何性质10答案 6解析 椭圆 25x29 y2225，即为 1.x29 y225则椭圆的焦点在 y 轴上，且 b3，所以椭圆的短轴长为 2b6.2.已知椭圆 E 的短轴长为 6，焦点 F 到长轴的一个端点的距离等于 9，则椭圆 E 的离心率为_.考点 椭圆的几何性质题点 求椭圆离心率答案 45解析 根据题意得
15、 2b6， a c9 或 a c9(舍去)，所以 a5， c4，故 e .ca 453.已知椭圆的短半轴长为 1，离心率 0b0)的顶点与焦点，若 ABC90，则该椭圆x2a2 y2b2的离心率为_.11考点 椭圆的几何性质题点 求椭圆的离心率答案 5 12解析 ABC90， BC2 AB2 AC2， c2 b2 a2 b2( a c)2.又 b2 a2 c2， e2 e10.00)，则 BC x， AC2 AB2 BC22 ABBCcosB x2 x22 x2 x2，(718) 25912 AC x.53由条件知， AC BC2 a， AB2 c， x x2 a， x2 c，53 e .ca
16、 2c2a x83x 388.若点 O 和点 F 分别为椭圆 1 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，则 x24 y23 OP 的最大值为_.FP 考点 椭圆的几何性质题点 椭圆范围的简单应用答案 6解析 由椭圆方程，得 F(1,0).设 P(x0， y0)，则 ( x0， y0)(x01， y0) x x0 y .OP FP 20 20 P 为椭圆上一点， 1.x204 y203 x x03 x03OP FP 20 (1 x204) x204 (x02) 22.142 x02，当 x02 时， 取得最大值 6.OP FP 9.若椭圆 1 的焦点在 x 轴上，过点 作圆 x2 y21
17、的切线，切点分别为x2a2 y2b2 (1， 12)A， B，直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程为_.考点 椭圆几何性质的应用题点 由椭圆的几何特征求方程答案 1x25 y24解析 x1 是圆 x2 y21 的一条切线.椭圆的右焦点为(1,0)，即 c1.设 P ，则 kOP ，(1，12) 12 OP AB， kAB2，13则直线 AB 的方程为 y2( x1)，它与 y 轴的交点为(0,2). b2， a2 b2 c25，故椭圆的方程为 1.x25 y2410.从椭圆 1( ab0)上一点 P 向 x 轴作垂线，垂足恰为左焦点 F1， A 是椭圆与 x 轴x2a2 y2
18、b2正半轴的交点， B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点，且 AB OP(O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率为_.考点 椭圆的几何性质题点 求椭圆离心率答案 22解析 左焦点为 F1( c,0)， PF1 x 轴，当 x c 时， 1，即 y b2 ，解得 yP (负值不合题意，已舍去)，c2a2 y2Pb2 2P (1 c2a2) b4a2 b2a点 P ，由斜率公式得 kAB ， kOP .( c，b2a) ba b2ac AB OP， kAB kOP，即 ，得 b c.ba b2ac a2 b2 c22 c2， ，解得 e .c2a2 12 ca 22二、解答题11.已知椭圆 x2( m3)
19、 y2 m(m0)的离心率 e ，求实数 m 的值及椭圆的长轴长和短轴32长，并写出焦点坐标和顶点坐标.考点 椭圆的几何性质题点 通过所给条件研究椭圆的几何性质解 将椭圆方程化为 1，x2m y2mm 3由 m 0，可知 m .mm 3 mm 2m 3 mm 3所以 a2 m， b2 ， c .mm 3 a2 b2 mm 2m 3由 e ，得 ，解得 m1.32 m 2m 3 3214于是椭圆的标准方程为 x2 1，y214则 a1， b ， c .12 32所以椭圆的长轴长为 2，短轴长为 1；两焦点坐标为 ， ；(32， 0)(32， 0)四个顶点坐标分别为(1,0)，(1,0)， ， .
20、(0， 12) (0， 12)12.如图所示，椭圆的中心在原点，焦点 F1， F2在 x 轴上， A， B 是椭圆的顶点， P 是椭圆上一点，且 PF1 x 轴， PF2 AB，求此椭圆的离心率.考点 椭圆的几何性质题点 求椭圆离心率解 设椭圆的方程为 1( ab0).x2a2 y2b2如题图所示，则有 F1( c,0)， F2(c,0)， A(0， b)， B(a,0).直线 PF1的方程为 x c，代入方程 1，得 y ，x2a2 y2b2 b2a P .又 PF2 AB， PF1F2 AOB.( c，b2a) ， ， b2 c.PF1F1F2 AOOB b22ac ba b24 c2，
21、a2 c24 c2，即 ， e2 ，c2a2 15 15即 e ，椭圆的离心率为 .55 5513.如图，已知 F1， F2分别为椭圆 1( ab0)的左、右焦点， A 为椭圆的上顶点，直x2a2 y2b2线 AF2交椭圆于另一点 B.15(1)若 F1AB90，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为 2，且 AF22 F2B，求椭圆的方程.考点 椭圆的几何性质题点 求椭圆离心率解 (1)若 F1AB90，则 AOF2为等腰直角三角形，所以有 OA OF2，即 b c，所以 a c， e .2ca 22(2)由题知 A(0， b)， F2(1,0).设 B(x， y)，由 AF22 F2B，得
22、2 ，AF2 F2B 即(1， b)2( x1， y)，解得 x ， y .32 b2代入 1，得 1，即 1，x2a2 y2b2 94a2 b24b2 94a2 14解得 a23，所以 b22，故椭圆的方程为 1.x23 y22三、探究与拓展14.在平面直角坐标系 xOy 中，以椭圆 1( ab0)上的一点 A 为圆心的圆与 x 轴相切x2a2 y2b2于椭圆的一个焦点，与 y 轴相交于 B， C 两点，若 ABC 是锐角三角形，则该椭圆的率心率的取值范围为_.考点 椭圆的几何性质题点 求离心率的范围答案 (6 22 ， 5 12 )解析 由题意得，圆半径 r ，因为 ABC 是锐角三角形，
23、所以 cos0cos cos ，即b2a A2 cr 4 1，所以 1，即 1，解得 e .22 cr 22 aca2 c2 22 e1 e2 (6 22 ， 5 12 )1615.已知椭圆 E 的中心在坐标原点 O，两个焦点分别为 A(1,0)， B(1,0)，一个顶点为H(2,0).(1)求椭圆 E 的标准方程；(2)对于 x 轴上的点 P(t,0)，椭圆 E 上存在点 M，使得 MP MH，求实数 t 的取值范围.考点 椭圆的几何性质题点 求椭圆方程、椭圆范围的简单应用解 (1)由题意可得 c1， a2， b .3所求椭圆 E 的标准方程为 1.x24 y23(2)设 M(x0， y0)(x02)，则 1.x204 y203( t x0， y0)， (2 x0， y0)，MP MH 由 MP MH 可得 0，MP MH 即( t x0)(2 x0) y 0.20由消去 y0，整理得 t(2 x0) x 2 x03.1420 x02， t x0 .14 322 x02，2 t1.实数 t 的取值范围为(2，1).
