1、相似三角形的判定一. 本周教学内容：相似三角形的判定二. 重点、难点重点：掌握相似三角形的判定方法。难点：灵活运用相似三角形的判定方法解决有关问题。三. 教学过程（一）复习1. 相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。2. 注意：（1）定义中对应角相等，对应边成比例，是指 3 组对应角分别相等，三组对应边成比例。（2） ABC读作 ABC相似于 ，与全等三角形一样，表示对应顶点的字母应写在对应位置上。（3）所谓相似三角形是指两个三角形形状一样，大小不一定一样。（4）相似三角形定义本身揭示了相似三角形的性质：相似三角形对应角相等，对应边成比例。（5）相似比带有顺序性，
2、如 的相似比为ABCAk反过来 B的相似比为1（6）全等三角形是相似比为 1 的相似三角形，但相似三角形不一定是全等三角形。（二）三角形相似的判定方法（1）定义法：对应角相等，对应边成比例的三角形相似。如图 1，若 A，BCABCA， ，则 BC。与三个角对应相等，三条边对应相等，两个三角形全等类似，定义法在计算和证明中一般用得较少。 BCB图 1（2）三角形相似的判定定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。推理格式：如图 2。DEBCAEBC/， BACD图 2（3）判定定理 1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这
3、两个三角形相似。推理格式：如图 3， A， ，ABC。 CBA图 3简单地说：两角对应相等，两三角形相似。（4）判定定理 2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。推理格式：如图 4，ABC，且 A可简单说成：两边对应成比例且夹角相等，则两三角形相似。 BCBA图 4（5）判定定理 3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。推理格式：如图 5，ABC，简单地说：三边对应成比例，则两三角形相似。 ABCB图 5（6）直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和
4、一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。推理格式：如图 6 ACB图 6在 RtAB和 t中，CA90， 推论：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似（如图 7） 。CADB图 7说明：灵活运用相似三角形的判定方法解决相关问题，其关键是确定相似三角形，通常按下列思路来分析：1. 有平行线（有时要构造平行线）时，可选择平行法判定三角形相似。2. 若已经有一组角相等，可再找另一组角相等，运用判定定理 1；或再证明夹这组角的两边对应成比例，运用判定定理 2。3. 若已知两条对应边成比例，可找夹角相等，运用判定定理 2。4. 若是两个直角三角形，可找一对锐角相等或夹直角的两直
5、角边对应成比例，或应用斜边、直角边对应成比例来判定相似。5. 利用相似三角形的传递性证相似，如：若 ABC1、ABC12，则 ABC2。6. 注意：仅两边成比例，一对角相等的三角形不一定相似。【典型例题】例 1. 如图 8，四边形 ABCD 的对角线相交于点 O， BACD。求证：DACB。 CA图 8分析：欲证 DACB，可寻求它们所在的三角形 OAD与 BC相似，而 O，故只需证AOD，由已知可得 ABC，从而有 BC成立。证明： DAD，OO，ABCACB，说明：由于相似三角形的对应角相等，所以经常运用此法证明角的相等。例 2. 如图 9，平行四边形 ABCD 中，E 是 AB 延长线上
6、一点，连结 DE，交 AC 于 G，交 BC 于 F，那么图中相似三角形（不含全等三角形）共有（ ）对。A. 6 B. 5 C. 4 D. 3ADBCEFG图 9分析：找相似形一找平行线、二找角相等、三找线段成比例，本题只能从前两方面入手。解： AEDCAGCDFEB/， ，BBFEAG， ，AEC共有 5 对，选 B。例 3. 已知：如图 10， AD90， ACaBb， ，（1）当 BD 与 a、b 之间满足怎样的关系时， D？（2）当 BD 与 a、b 之间满足怎样的关系时， ？（3）当 BD 与 a，b 之间满足怎样的关系时，这两个三角形相似？ ABDb图 10解：（1） ABCD90
7、当 时， B即abB时，Aba， 2故当D2时， CDB（2） ABCD90，当 时， BC即abB2时， AD2当ba时， BCD（3）综合（1） ， （2）可知：当BDa或ab2时这两个三角形相似。【模拟试题】 （答题时间：20 分钟）一. 选择题：1. 在直角三角形中，两直角边分别为 3、4，则这个三角形的斜边与斜边上的高的比是（ ）A. 251B. 2C. 5D. 2. ABC中， D 是 AB 上的一点，在 AC 上取一点 E，使得以 A、D 、E 为顶点的三角形与 相似，则这样的点的个数最多是（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 无数3. 如图 1，正方形 ABCD 中，E 是
8、 CD 的中点，FCB14，下面得出六个结论：（1） ABF；（2） ABF；（3） ADE；（4）EC；（5） D；（6） E。其中正确的个数是（ ）A. 1 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个BCF图 14. （哈尔滨市，2002）已知，如图 2， ABC中，P 为 AB 上一点，在下列四个条件中：（1） ACPB；（2） ；（3） AB2；（4）。能满足 和 相似的条件是（ ）A. （1） （2） （4） B. （1） （3） （4）C. （2） （3） （4） D. （1） （2） （3） CBP图 25. 如图 3，正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，E
9、是 BC 的中点，DE 交 AC于 F，若 DE12，则 EF 等于（ ）A. 8 B. 6 C. 4 D. 3BCADFE图 3二. 解答题：1. 已知： ABC中， ADB90， 于 D，E 为 AC 中点，ED 的延长线交AB 的延长线于 F。求证：（1） F2；（2） AFC。2. 如图 4， 中， C， 于 D，E 是 CD 的中点，AE 的延长线交 BC 于 F， HAB，垂足为 H，若 B31， ，求 FH。图 43. 如图 5，N 为 ABC的边 BC 上一点， BNA，D 为 AC 的中点，并且 AN 交 BD于 E。求证： E。 C图 54. 在 ABC中， AB90， ，
10、延长 BC 至 E，使 BC2，D 为 EC中点。求证： DE。【试题答案】一. 1. A（可求斜边长为 5，斜边上的高为125）2. C（可作 DEB/或 AC）3. B（设 CD=4，则 EFA2220， ，F2A9，从而得 D又 E20RtDtF，由传递性 AEFC。故（4） 、 （5） 、 （6）正确。 ）4. D5. C（连结 OE，则 OE/CD 且OD12由EF12得 EF4）二. 1. （1） E 为 AC 中点， ADBCDC，故 又 FB，故而 ， FAD AB2（2）易得 BCF，F2. 延长 AC、HF 交于 G。先证 H，可得 BFHG由 E 为 CD 的中点得，CE
11、ADF， 2H63. 有中点时通常作平行线。过点 N 作 NM/BD 交 AC 于 M。BABD， /，ACND又 C，在 中，ED/NM，DMAEN，BAEBC4. ，22又 BC22ADE又 AE， C【励志故事】把失败写在背面（一）有一个年轻人，从很小的时候起，他就有一个梦想，希望自己能够成为一名出色的赛车手。他在军队服役的时候，曾开过卡车，这对他熟练驾驶技术起到了很大的帮助作用。退役之后，他选择到一家农场里开车。在工作之余，他仍一直坚持参加一支业余赛车队的技能训练。只要有机会遇到车赛，他都会想尽一切办法参加。因为得不到好的名次，所以他在赛车上的收入几乎为零，这也使得他欠下一笔数目不小的债务。那一年，他参加了威斯康星州的赛车比赛。当赛程进行到一半多的时候，他的赛车位列第三，他有很大的希望在这次比赛中获得好的名次。突然，他前面那两辆赛车发生了相撞事故，他迅速地转动赛车的方向盘，试图避开他们。但终究因为车速太快未能成功。结果，他撞到车道旁的墙壁上，赛车在燃烧中停了下来。当他被救出来时，手已经被烧伤，鼻子也不见了。体表伤面积达 40%。医生给他做了7 个小时的手术之后，才使他从死神的手中挣脱出来。经历这次事故，尽管他命保住了，可他的手萎缩得像鸡爪一样。医生告诉他说：“以后，你再也不能开车了。 ”（未完，下期待续）
