1、信号与线性系统,电子信息工程学院,( Signals and Systems 引言 ),信号与线性系统,先修课程 高等数学 电路分析基础 线性代数 复变函数,本课程为通信、电子类专业学生重要的专业技术基础课。,后续课程数字信号处理通信原理 控制基础 ,名称：电路、信号与系统 下篇,编著者：许庆山、李秀人、常丽东,出版社：航空工业出版社,讲课内容：十至十四章，十六至十八章,实验教材：自编,本课程以数学为工具 研究确定性信号经线性时不变系统传输与处理的基本概念与基本分析方法,知识结构：可以概括为一个任务，两种系统，两类方法，三大变换。 一个任务：分析系统对信号的响应； 两种系统：连续时间系统、离散
2、时间系统； 两类方法：时间域分析法、变换域分析法； 三大变换：傅里叶变换，拉斯变换，Z变换。,以通信和电子信息工程为主要应用背景，注重实例分析。,与电路分析比较，更抽象，更一般化；,应用数学知识较多，用数学工具分析物理概念；,常用数学工具： 微分、积分(定积分、无穷积分、变上限积分） 微分方程求解 傅里叶级数、傅里叶变换、拉氏变换 差分方程求解,z 变换,注重物理概念与数学分析之间的对照，不要盲目计算；,注意分析结果的物理解释，各种参量变动时的物理意义及其产生的后果；,同一问题可有多种解法，应寻找最简单、最合理的解法，比较各方法之优劣；,(3)吴大正 . 信号与线性系统分析 . 北京 . 高等
3、教育出 版社, 1998,(1)郑君里等.信号与系统（第三版） 上、下册 . 北京 .高等教育出版社，2011年3月,(2)管致中等 . 信号与线性系统 （第三版） . 北京 . 高等教育出版社, 1992,(4)陈生谭等. 信号与系统. 西安: 西安电子科技大学出版社, 2001,(5)范世贵等. 信号与系统.导教.导学.导考 西安: 西北工业大学出版社, 2008, 学时：64（含6学时上机实验）, 考核：理论考试占80%+平时成绩（20分）, 作业：每周交一次;, 答疑：每周一次., 学分：,第10章 信号与系统概述,10.2 信号及其分类,10.3 系统及其分类,10.1 引言,10.
4、1 引言, 在电路分析中，接触过“信号”，主要是支路电压和电流，并且信号的变换也仅仅是正弦量取相量。, 在信号与系统中，还要研究复杂信号，并且要讨论信号的各种变换，以便深刻了解信号，以适应不同需要。, 在电路分析中，接触过“电路系统”，当时主要关注的是支路电压和电流。, 在信号与系统中，不再局限于“电路系统”，它仅仅作为系统之一。本课要讨论系统的一般属性和系统的一般分析方法。, 在信号与系统中，既研究信号也讨论系统，尤其关心当信号通过系统时系统是如何加工改造信号的物理过程和数学方法。,10.2 信号及其分类,【信号的定义】,信号是信息的载体，是反映消息的物理量。,消息：是由符号、文字、数字或语
5、言等组成的序列。,信息：消息中所包含的事先不确定的内容。,信号：信号是信息的载体，是反映消息的物理量。,光信号,温度信号,声音信号,电信号,（烽火台，雷达荧光屏亮点， ）,（体温，气温， ）,（新闻，音乐，警铃， ）,（电磁波， ）,易于远距离传输。,含有敌机入侵的消息,例如：,10.2 信号及其分类,【信号的描述】,信号的数学描述是函数。,所以，本书：信号=函数。,如温度信号T(t)、T(h)，其自变量连续变化；例如按年统计的人口数 f(k)，其自变量离散变化。,信号的频率特性：信号可以分解为许多不同频率的正弦分量之和。,信号的时间特性：表示为随时间变化的函数。,【信号的特性】,例：一维信号
6、与多维信号,一维信号：只由一个自变量描述的信号，如语音信号。,多维信号：由多个自变量描述的信号，如图像信号。,10.2 信号及其分类,【信号的分类】,（有许多方法，以适应不同的需要）,例如：,按物理性质分类，有声，光，电，压力，位移， ，等等；,按用途分类，有电话，电视，控制， ，等等；,本课，按信号的函数特征（函数表达式或波形）进行分类，便于对信号的数学描述和分析。,一、确定信号与随机信号,（一）确定信号：,虽然随机信号无函数时域表达式，但却具有统计规律，本课对此不进行研究。,（二）随机信号：,如躁声、干扰等。,若自变量连续变化，用确定函数 f(t)表示。其中t 连续取值。,若自变量离散变化
7、，用确定函数 f(k)表示。其中k 取整数。,用线表示，以期醒目。每个值称为“样值”。,可表示为某变量的确定函数。,无法写出变量的确定函数。,例如 f(t)=E(常数)， f(t)=(t)， f(t)=cos(t)， 。,例如 f(k)=E(常数)， f(k)=(k)， f(t)=cos(k)， 。,（一） 连续时间信号：,自变量连续变化的函数，本书用f(t)表示。其中，t 连续取值。,连续是指自变量 t 而言，函数值可以不连续，如图。,（二） 离散时间信号：,自变量离散变化的函数，本书用f(k)表示。其中，k 取整数。 。,例如，按年、月、天统计的产品数量，可表示为整数的函数。,至于其他时刻
8、的函数值，无定义，我们也不关心。,二、连续时间信号与离散时间信号, 离散时间信号f(kT)或 f(k)亦称为序列（一列有序的数），也可表示如下：,关于离散时间信号f(k)的说明, 离散时间信号f(k)亦可以是对f(t) 的采样得来的，如下图所示：,注意：f(kT)= f(k)，T为常数（心中记得）。,数字信号形成的过程： 采样f(t) f(k)；量化f(k)；编码。,量化f(k)可用下图说明。,量化f(k)的过程： 用一个单位（例如f1）去分 f(k)的幅值；四舍五入，得到fD(k)。,若 f1 0，则fD(k) f(k) ，误差为零。,编码fD(k)得到数字信号过程： 如数值4，采用8421
9、码，则编码为0100。,三、周期信号与非周期信号,周期信号,非周期信号,（一）连续时间周期信号,f(t)= f(t+mT) 周期T为正实数；m=0，1， 2， ；t ,（二）离散时间周期信号,f(k)= f(k+nN) 周期N为正整数；n=0，1， 2， ；k ,不满足周期信号定义的信号。,本书重点讨论连续时间的情况。,四、能量信号与功率信号,电流通过电阻使电阻产生焦耳热，说明电流信号携带能量或功率。,（一）信号的能量,【定义】, 数学意义：,信号 f(t)加在1电阻上， 1电阻在一切时间（t ）的耗能，称为信号 f(t)的能量。, 物理意义：,信号 f 2(t)波形与时间轴所围面积，称为信号
10、 f(t)的能量。,（二） 信号的（平均）功率,【定义】, 物理意义：,f(t)加在1电阻上， 1电阻在一切时间（t ）耗能的平均数率，称为信号f(t)的(平均)功率。,【例】,分别求图示信号f1(t)、f2(t)的能量E和功率P。,【解】,【结论】,因周期重复，故必然。,对于离散时间的情况。,四、能量信号与功率信号,（一）信号的能量,【定义】,（二） 信号的（平均）功率,【定义】,若信号f(k)满足如下两式，即为离散时间能量信号。,有离散时间信号f(k),若信号f(k)满足如下两式，即为离散时间功率信号。,例、时限信号与非时限信号,时限信号:存在于有限时间范围内的信号,非时限信号:存在于无限
11、时间范围内的信号,双边信号,左边信号,右边信号,10.3 系统及其分类,系统的定义,系统（system）：由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的、具有某种特定功能的整体。如：太阳系、控制系统、电力系统、经济系统、计算机系统等。 系统一般由物理器件构成，它在接收一个输入信号时会产生一个或者多个输出。输入叫激励，输出叫响应。,在电子技术领域中，“系统”、“电路”、“网络”三个名词在一般情况下可以通用。,系统的举例,通信系统：为传送消息而装备的全套技术设备,信号处理：对信号进行某种加工或变换。 目的：消除信号中的多余内容；滤除混杂的噪声和干扰；将信号变换成容易分析与识别的形式，便于估计和选择它的特
12、征参量。,1、首先把系统的工作表达为数学形式，即建立系统的数学模型。,2、对数学模型进行处理 （如：解出系统在一定初始条件和激励下的输出响应）。,3、在对所得到的数学解给出物理解释，赋予物理意义。,对给定的系统性能指标要求，找出实现的方法，并实现之。综合系统前，必须熟悉系统分析的理论、方法及手段。,系统的分析,系统的综合,是指研究参数结构均已给定的系统的性能，其中包括系统对给定输入（激励）信号产生什么样的输出（响应）信号，或是从给定的输入输出之间的关系来分析系统的性能，以便进一步改进系统。过程如下：,1、连续时间系统与离散时间系统,2、线性系统与非线性系统,3、时不变系统与时变系统,5、因果系
13、统与非因果系统,6、稳定系统与不稳定系统,4、线性时不变系统,为了便于对系统进行数学描述，采用如下分类原则：系统所处理的信号类型、系统数学模型的特征。,一、连续时间系统与离散时间系统,（一）连续时间系统的数学运算功能, x 被加工成 y，需要3种数学运算：相加；乘标量；积分。,数学上：系统对x 施加了T 规律的数学运算得到 y,第4章知：若电容无初始储能，且x =(t), 则y=（1et/RC）, t0,【例】,（按所处理的信号类型划分）, 相加, 乘标量,积分,x y, 整个系统的模拟框图描述如图(高阶系统，亦然)。, 连续时间系统的两种数学描述方法： 微分方程； 模拟框图。, 本课讨论连续
14、时间线性时不变系统，其数学模型为常系数线性微分方程：,阶数？,与微分方程互求, 非电系统的模拟框图（电路实现）。,常系数(时不变元件参数的函数),（二）离散时间系统的数学运算功能,【例】银行存款问题：,令第 k 个月初存入银行人民币为x(k)元，月利息为a。求第 k 个月初存款后即刻的账面余额y(k)。,【解】,本例的实质是：写出y(k)与x(k) 的关系式，并解之。,月初存入x(k) 后的即刻账面余额,月初存入的x(k),上月初存入x(k1) 后的即刻账面余额,上月利息,上月底本金加利息,整理,本课离散时间线性时不变系统的数学模型为常系数线性差分方程：,阶数？,（推导出模拟框图表示法）,数学
15、上：系统对x 施加了T 规律的数学运算得到 y, 表明： x (k)被加工成 y (k) ，需要3种数学运算：相加；乘标量；单位延时。, 相加, 乘标量, 单位延时,x (k)+(1+ a) y(k1), 银行存款问题差分方程：,(1+ a) y(k1),y(k)y(k1),银行存款问题模拟框图描述如图(高阶系统，亦然)。, 离散时间系统的两种数学描述方法： 差分方程； 模拟框图。,与差分方程互求,软硬件均可实现,二、线性系统与非线性系统（按数学模型特征划分）,（一）线性系统的数学描述,令连续(离散)系统初始无储能,若系统满足：（1） ax ay (a 常数) 齐次性,（2） x1 x2 y1
16、 y2 叠加性,即 a1x1 a2x2 a1y1 a2y2 (a1 、a2常数) 线性性质,则称系统为线性系统。否则，称系统为非线性系统。,令 x y ( x1 y1 ； x2 y2 ), 曾证明: 线性动态电路系统的数模为线性微分方程，满足线性。,【例101】,试判断系统线性否？,【解】,（1）先列写数学模型,（2）判断系统线性否？, 令x1(t)= 1x(t)= (t)，则由于理想二极管反偏而不导通，故 y1(t)=0 y(t)。,可见，不满足齐次性，无需再判断叠加性，故为非线性系统。,【习题10.5-1】,若离散系统 y(k)=x(k)x(k 1), 试判断系统线性否？,【解】,（1）判
17、断满足齐次性否？,令x1(k) =ax(k) y1 (k)=？ay(k), 可见，不满足齐次性，无需再判断叠加性，故为非线性系统。,（2）判断满足叠加性否？ （已不必要）,y1 (k) = x1(k) x1(k 1)=a2 x(k)x(k 1)= a2 y(k) a y(k),有x(k) y(k),令x1(k) y1(k),令x2(k) y2(k),y1(k)= x1(k)x1(k 1); y2(k)= x2(k)x2(k 1),x3=x1+x2 y3=x1 (k) +x2 (k) x1 (k 1)+ x2 (k 1) = x1(k)x1(k 1)+ x2(k)x2(k 1)+ x1(k)x2
18、(k 1) + x2(k)x1(k 1) y1(k)+y2(k)，故。,【习题104(3)】,已知系统 y+2y2 =x , 试判断线性否？,【解】,因微分方程非线性，所以一定不是线性系统，验证如下。,（1）先判断满足齐次性否？,y1+2 y12 =x1(t)=ax(t),若满足齐次性，理应有方程,(a y ) +2 (a y ) 2 = a x ； 即 a y+2 a2 y2 = a x,方程不等, 故，不满足齐次性，系统为非线性系统。,令x1(t) =ax(t) y1 (t)=？ay(t),有x(t) y(t),y1+2 y12 =a y+2a y2 = (ay)+2 (ay)2 /a,y
19、1 (t) ay(t),【习题104(3)】,已知系统 y+2y2 =x , 试判断线性否？,【解】,因微分方程非线性，所以一定不是线性系统，验证如下。,（2）也可判断满足叠加性否？ （已不必要）,有 y1+ 2y12 = x1,有 y2+ 2y22 = x2,y3+ 2y3 2 = x3= y1+ 2y12 + y2+ 2y22 = (y1+y2)+ 2(y12+y22),(y1 +y2 ) + 2 (y1 +y2 ) 2 = x1 + x2, 故，不满足叠加性。,若满足叠加性，理应有方程,令x1(t) y1(t),令x2(t) y2(t),令x3(t) y3(t),令x3(t) = x1(
20、t) +x2(t),显然y3(t) y1(t) +y2(t),三、时变系统与时不变系统（按数学模型的系数是否为常数划分）, 若连续系统 x(t t0) y(t t0), 则称为时不变连续系统。, 若离散系统 x(k k0) y(k k0), 则称为时不变离散系统。,【定义】,即：若连续时不变系统的激励移位 ，则响应的波形不变，且作同样的移位。数学上，将y(t)中的变量 t 代之以 t t0 。,即：若离散时不变系统的激励移位，则响应的波形不变，且作同样的移位。数学上，将y(k)中的变量 k 代之以 k k0 。,若 t0 0，则右移(延时) ；若 t0 0，则左移(提前),若 k0 0，则右移
21、；若 k0 0，则左移, 不满足上述关系的系统 ，称为时变系统。,物理解释：元件参数不随时间改变。,从波形来理解时不变系统,从数学模型上看，时不变系统的系统方程一定是常系数的，即常系数的代数、微分、差分方程。从系统的硬件上看，元件的参数一定不随时间而变化，因为系统方程的系数是元件参数的函数。,四、线性时不变系统（Linear Time Invariant，简写 “ LTI ”）,连续时间LTI系统，其数学模型为常系数、线性微分方程，即,离散时间LTI系统，其数学模型为常系数、线性差分方程，即,连续时间LTI系统具有微分和积分性质，即,若 x(t ) y(t), 连续时间LTI系统的微分和积分性
22、质，是系统的线性、时不变性的必然结果。,前面已经举过例,前面已经举过例,五、因果系统与非因果系统,【定义】,若系统的响应不先于激励，称此系统为因果系统。否则，为非因果系统, 因果系统是物理可实现的系统，而非因果系统物理不可实现。, 讨论非因果系统的意义：, 某些非因果系统具有极好的理想性能，例如理想低通滤波器。为了用可实现的因果系统去逼近它的性能，就必须先仔细研究非因果系统的理想性能；, 当因果离散时间系统进行非实时地事后处理数据时，可建立非因果的数学模型（即，非因果地调用事先录制好的数据）。因此，此时的离散系统，因果性并不十分重要。,本课讨论的系统是：,连续时间LTI系统、离散时间LTI系统
23、。, 在分析某些因果系统时，一定条件下可以按非因果理想系统近似处理；,六、稳定系统与非稳定系统,【定义】,若系统无初始储能，且对有界输入(Bound-Input)产生有界输出(Bound-output)，称此系统为有界输入有界输出稳定系统，简称BIBO稳定系统。, BIBO稳定系统，也称为零状态稳定系统（待续）。, BIBO稳定系统可表示为：,若系统对有界输入产生无界输出，则称此系统为不稳定系统。, 不稳定系统的无界输出是数学意义上的。实际的不稳定系统都是有源系统，其最终输出总会由于系统的非线性而有界的。,不稳定系统无法传输信号。,作 业,103 (2 *) 、(4),104(3); 105(3),
