1、第三章 线性系统的能控性和能观测性,3.1 能控性和能观测性的定义,能控性状态点的能控性对t0,x0，存在t1t0 和容许控制u(t), t属于t0,t1,使系统状态从x0x(t1)=0称此x0在t0时刻能控。系统的能控性状态空间中的所有x0 ，在t0时刻都能控，则称系统在t0时刻完全能控。,系统不完全能控：存在一个或一些非零状态在t0时刻不能控，则称系统在t0时刻不完全能控。 能观测性,能观测性研究x0是否可由输出和输出完全确定的问题。,3.2 线性连续时间系统的能控性判据,1 线性定常系统的能控性判据,反设系统不能控。利用规范分散定理，存在等价变换矩阵P，使,设为 的特征值，则存在行向量，
2、满足,2 能控性指数（只对定常线性系统定义，系统完全能控）,K=n时，Qk即为能控性判别矩阵。 有时，在kn时， Qk的秩就已经是n了。 称使rank Qk=n的k的最小正整数为系统的能控性指数。系统综合时用到,要满秩，须P=n.故 又若rank B =r=p,注：,单输入系统p=1,系统的能控性指数为n. 简化计算能控性判别矩阵。不必计算到A的(n-1)次幂乘以B。最多只需计算到(n-r)次幂。 能控性指数集,线性非奇异变换不改变能控性指数和能控性指数集,4 线性时变系统的能控性判据,3.3 线性连续时间系统的能观测性判据 3.4 对偶性原理,与能控性判据对偶，自学。,3.7 MIMO系统的
3、能控规范形和能观测规范形,系统完全能控时，rank Qc=n; 系统完全能观测时，rank Qo=n. 从中必可找出n个线性无关的列或行。 不同的找法，会找出不同的列（行）。由它们构成的变换矩阵将原系统方程变换成不同的规范形。,1 搜索线性无关的列（行）的两种方案,以从Qc中找寻线性无关的列或行为例。,系统完全能控，rank Qc=n.Qc中有且最多仅有n个线性无关的列。 如何找出它们？用格栅图表示。 方案 I 列搜索,该搜索方法的特点是， 是其左边的向量的线性组合。,方案II 行搜索,注：这种方法和确定能控性指数集时的搜索方法相同。 这样找到的 不能表示成其左边的各列的线性组合。它与找到的所
4、有列都线性相关。 性质：如果说 与它的前面的列线性相关，则 亦必是这样。,2 旺纳姆(Wohnam)规范形（以能控规范形为例，能观形与之对偶）,按方案I搜索Qc中的n个线性无关列，得,根据上述这种搜索方法的特点，有,根据以上特点构造状态空间中的新的“基” T,关于旺纳姆能控规范形的证明,“表达”,相似变换,即变换后的矩阵的第i列是Aei这个向量相应于新的基T的表达。,对式（3.184),类似于SISO系统（3.166)利用凯莱-哈密尔顿定理，此处利用,c 的各列是Aei关于新的基的表达。,所以，与v1以后的基向量无关，故A中第v1列之前，v1行以下均为0。,对式（3.186),只有Ae21与前
5、面的基向量有关，其余Ae22,Ae2v2只与本组基向量有关。故它们对新的基的表达为,同理，对（3.187)-(3.190) 只有Ae31,Ael1联系前面的基，基余都与本组基向量有关。 所以可确定A c的形式如前所示。,Bc的形式可按相同的方式说明,余类推。 所以，Bc的形式如前所示。,3 龙伯格规范形,3.8 线性系统的结构分解,能控性和能观测性在线性非奇异变换下保持不变。 线性定常系统按能控性的结构分解分解成能控的和不能控的两部分。如何分解？ 计算 从中任意选取k个线性无关的列 选取n-k个列向量 ，使下列矩阵满秩取 ，即可导出系统按能控性分解的规范表达式,Why?,对B同理。,Notes:,线性定常系统按能观测性的分解,线性定常系统结构的规范分解,不完全能控、不完全能观测的线性定常系统,
