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线性系统.ppt

上传人:kuailexingkong 文档编号:1182843 上传时间:2018-06-17 格式:PPT 页数:86 大小:3.33MB
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资源描述

1、第十章,非线性控制系统,自动控制原理,本章主要内容,非线性控制系统概述相平面法非线性系统的相平面分析描述函数法非线性系统的描述函数分析了解 熟悉 掌握,1. 非线性系统的基本概念不能用线性方程描述或不满足叠加原理的系统都是非线性系统;非线性是宇宙间的普遍现象,实际系统都是非线性系统,线性系统只是在特定条件下的近似描述;系统的非线性程度比较严重,无法近似为线性系统时,只能用非线性系统的方法进行分析和设计;非线性系统的运动形式多样,种类繁多;有两种常见情况: 系统中存在非线性元件;为了某种控制目的,人为引进的非线性。,10.1 非线性控制系统概述,液位系统中,H为液位高度,Qi 为液体输入流量,Q

2、o为液体输出流量,C为储液罐的截面积。,根据水力学原理知,系统的输入输出动态方程为,属于非线性微分方程。,k 是取决于液体粘度的系数,非线性系统的简单例子(见第二章),该系统可以近似为线性系统,其中 和 为非线性函数。,一个单输入单输出非线性特性的数学描述为,2. 非线性系统的一般数学模型,非线性特性中,死区特性、饱和特性、间隙特性、继电特性等是最常见的,也是最简单的,而且常常难以线性化。,3. 常见的典型非线性特性,(1) 死区特性(不灵敏区特性),特征:当输入信号较小时,系统没有输出; 当输入信号大于某一数值时才有输出。,测量元件、放大元件及执行机构的不灵敏区。,对系统性能的主要影响:使稳

3、态误差增大;产生时间滞后;优点是能滤去小幅值的干扰信号,提高系统的抗干扰能力。,对液位误差设置死区,可防止执行机构频繁动作,减少对执行机构的磨损,还可消除小幅度检测噪声的影响。,液位系统,调节阀,控制器,检测,误差,输入流量,液位,利用死区特性的应用例液位控制系统,特点:当输入信号超出其线性范围后,输出信号不再随输入信号变化,而是保持恒定。,放大器及执行机构受电源电压、功率或结构上的限制导致饱和现象。,(2) 饱和特性,主要影响:在大信号作用下,放大倍数减小稳态精度,快速性 ,但相对稳定性。(分析例见p58),当出水流量大于阀门最大开度所对应的进水流量时(输入饱和),水位就会下降,出水流量也随

4、之减小,达到平衡时水位会低于设定值。,饱和特性导致稳态误差的例子水箱水位控制系统,电机系统在重载情况下,输入电压饱和,转速会低于设定值(转速使电流、转矩)。,电机系统,功率放大器,PID转速调节器,转速检测,误差,输入电压,转速,饱和特性导致稳态误差的例子电机调速系统,如齿轮传动系统中的齿隙、铁磁元件中的磁滞等。,(3)间隙(或滞环、回环)特性,影响:通常会使系统的输出在相位上产生滞后,导致稳定裕量减小、动态性能恶化,甚至产生自持振荡。,理想继电器,具有死区的继电器,(4) 继电器特性,例:开关型控制的电冰箱、电熨斗等,具有滞环的继电器,具有死区和滞环的继电器,典型非线性环节的正弦响应,4.

5、非线性系统的特点,不适用叠加原理(与线性系统的本质区别),没有一种通用方法来处理各种非线 性问题稳定性等性能分析复杂而困难 稳定性等不仅与系统的结构和参数有关,也与初始条件、输入信号的类型和幅值有关。,线性系统:只有一个平衡状态非线性系统:可能有多个平衡状态,例:线性系统 的稳定性和平衡点,无论初始状态为何值,都有 , 系统稳定,只有一个平衡状态 。,例:非线性一阶系统,设系统的初始状态为 x0 ,则解为,令 ,可知该系统存在两个平衡状态,x(t) 如 、 ,有突变,平衡状态的稳定性不仅与系统的结构和参数有关,而且与系统的初始条件有直接的关系。,自持振荡:指没有外界周期变化信号作用时,系统内部

6、产生的具有固定振幅和频率的稳定周期运动。线性系统在临界稳定的情况下也可能产生周期运动,但其振幅并不固定,取决于初始状态,所以不是自持振荡(参见p32)。,可能存在自持振荡(极限环)现象,在正弦输入下,线性系统的稳态输出是同频率的正弦信号;而非线性系统的输出则是周期和输入相同、含有高次谐波的非正弦信号。,频率响应发生畸变,非线性系统分析的重点:某一平衡点是否稳定,如果不稳定或性能不好应如何校正;系统中是否会产生自持振荡,如何确定其周期和振幅;如何利用、减弱或消除自持振荡以获得所需要的响应性能。,5. 非线性系统的分析与设计方法,非线性系统的基本研究方法:小范围线性近似法逐段线性近似法相平面法(时

7、域法,重点)图解法,只适用于阶数最高为二阶的系统。 描述函数法(频域法:只保留基波,近似为线性)适用于具有低通滤波特性的各种阶次的非线性系统。 李雅普诺夫法(构造正定能量函数,使其导数负定)计算机仿真法,10.2 相平面法,相平面法的基本概念 相轨迹的绘制 由相轨迹图求时间及时间响应 奇点与极限环的类型 非线性控制系统的相平面分析,相平面:由系统某一变量及其导数构成的用以描述系统运动状态的平面。,一、相平面法的基本概念,针对二阶时不变非线性微分方程描述的系统(也可用于线性):,相轨迹图:相平面 + 相轨迹簇,相轨迹:系统变量及其导数从初始时刻所对应的状态点( )出发,随时间变化在相平面上描绘出

8、来的轨迹。,例: 单位反馈系统,属于绘制相轨迹图的解析法之一,考虑非线性系统方程:,(1)相轨迹的斜率,斜率表示相轨迹通过该点的运动方向,相轨迹的基本特征,任一普通点有且只有一条相轨迹通过。(其斜率唯一确定),(2)相轨迹的普通点,(3)相轨迹的奇点(平衡点),相轨迹上斜率不确定的点,满足,奇点一定在 x 轴上,通过奇点的相轨迹可能不止一条,甚至有无穷多 条; 线性定常系统通常只有一个奇点(原点或 x 轴上 的其他点),而非线性系统则可能有多个奇点; 当奇点连续时就构成奇线。,有奇线的系统举例,对应奇点,奇点以外,(4) 相轨迹的运动方向,上半平面: 向右移动,下半平面: 向左移动,按顺时针运

9、动,(5) 相轨迹通过横轴的方向,相轨迹以 90穿越 x 轴,横轴上的普通点,(6) 相轨迹的对称性,注意:对称性并不一定指同一条相轨迹,1. 解析法,二、相轨迹的绘制,若该式可以分解为,两端积分,可解出 和 的关系式,( , )为初始点。,1.解析法 2.等倾线法 3.圆弧法 4.计算机绘制法,例: 考虑二阶系统,(1) 导出相轨迹方程,(2) 两边积分得,(线性系统,极点为 ),振幅不固定,不是自持振荡,对称性?,2. 等倾线法,先确定相轨迹的等倾线(等斜率线),进而绘出相轨迹的切线方向场,然后从初始条件出发,沿方向场绘制相轨迹。,绘制步骤:,(1)导出等倾线方程,表示相平面上的一条曲线(

10、等倾线),相轨迹经过该曲线上任一点时,其切线的斜率都相等。,。,相轨迹的切线斜率,等倾线法,说明,线性系统的等倾线一定是直线,非线性系统的等倾线则一般是曲线,简单非线性系统常可按区域划分为多个线性系统,对应区域的等倾线也是直线。,整个x轴为奇线,等倾线为直线,较特殊的情况,(2)取不同值时,画出若干不同的等倾线,在每条等倾线上画出表示斜率为的小线段,构成相轨迹的切线方向场(3)从相轨迹的初始状态点按顺序将各小线段连接起来,就得到了所求的相轨迹 。,等倾线分布越密,则所作的相轨迹越准确,但绘图工作量增加。绘图过程中会产生的累积误差。,等倾线为直线的示意图,例:绘制下列二阶系统的相轨迹,奇点为(0

11、,0),解:等倾线方程为,(线性系统,极点为 ),对称性?,可以证明,每一条相轨迹都是向心螺旋线,说明系统衰减振荡,所有的相轨迹都最终收敛到奇点,系统渐近稳定,解:,例:绘制下列二阶系统的相轨迹,(1)导出等倾线方程,容易求出奇点为(0,0)。,(线性系统,极点为-1,-2),对称性?,列出等倾线斜率与相轨迹切线斜率的关系:,两条特殊的等倾线:,两条特殊的等倾线斜率对应系统的两个极点,其中一条是相轨迹的渐近线(说明见后)。,说明1:两条特殊等倾线斜率对应系统的两个极点,注:复数极点时不存在这样的等倾线( 为实数),说明2:一条特殊等倾线为相轨迹的渐近线,思路:分析=1、2周围等倾线上相轨迹斜率

12、的变化情况,见下页图。,特殊等倾线为相轨迹渐近线的示意图,斜率为-1的等倾线,其周围的相轨迹都趋向它,所以是渐进线;而斜率为-2的等倾线,其周围的相轨迹都离开它,所以不是渐进线。,所有的相轨迹都最终收敛到奇点,说明系统渐近稳定;相轨迹都趋向于特殊的等倾线,说明系统响应为非振荡衰减形式。,因为 ,设点 的对应时间为 ,点 的对应时间为 ,则,将两点间的相轨迹取倒数,计算阴影区面积,即可得t 。,三、由相轨迹图求时间及时间响应,(1)积分法,连续计算多个点就可得到系统的时间响应曲线 或 。,特点:基于准确的时间算式,但难以精确计算面积。,相轨迹A-B段的平均速度:,相轨迹A-B段所用的时间:,(2

13、) 增量法,连续计算多个点就可得到系统的时间响应曲线 或 。,特点:基于近似的时间算式,但计算容易。,近似式,例: 单位反馈系统,四、奇点与极限环的类型,1. 线性系统的奇点类型,奇点为(0, 0),根据特征根在S平面上的分布,相轨迹有不同的形态。,极点分布与奇点的类型,极点分布,奇点,相轨迹图,中心点,稳定焦点,稳定节点,鞍点,不稳定焦点,不稳定节点,2. 非线性系统的奇点类型,分析思路与方法:将非线性系统在奇点处线性化,根据线性化系统特征根的分布,可确定奇点的类型,进而确定奇点附近相轨迹的运动形式。,非线性系统 在奇点 处的线性化:,(按泰勒级数展开),例:已知非线性系统的微分方程为 试求

14、系统的奇点,并绘制系统的相平面图。,则求得系统的两个奇点,解:系统相轨迹微分方程为,令,特征根为 ,故奇点(0, 0) 为稳定焦点。,在奇点(0,0)处,线性化方程为,在奇点(-2,0) 处,线性化方程为,故奇点(-2,0)为鞍点。,非线性系统的运动及其稳定性与初始条件有关。,特征根为,运用等倾线等方法可概略绘制相轨迹图。,3. 极限环及其分类,非线性系统的运动除了发散和收敛外,还有一种运动模式自持振荡,自持振荡在相平面上表现为一个孤立的封闭轨迹线极限环。,以范德波尔(van der pol)方程为例,说明极限环的稳定性:,注:线性系统不会产生极限环,参见p32例。,极限环的3种类型,c)半稳

15、定极限环 d)半稳定极限环,a) 稳定的极限环 b) 不稳定的极限环,五、非线性控制系统的相平面分析,具有饱和特性的非线性反馈系统滞环继电型非线性反馈系统,步骤:将典型非线性特性用分段的线性特性来表示。在相平面上选择合适的坐标,常用误差及其导数。根据分段的线性特性将相平面分成若干区域,在每个区域内都呈线性特性。确定每个区域的奇点类别和在相平面上的位置。在各个区域内分别画出各自的相轨迹。最后将各分区的相轨迹进行衔接就得到整个非线性系统的相轨迹。,如何利用线性系统的相轨迹绘制简单非线性系统的相轨迹?,1. 具有饱和特性的非线性系统,(t0+),C,A(R,0),B,D,区,区,区,在区,奇点为原点

16、,是稳定节点或焦点,相轨迹都渐进收敛或按螺旋线收敛到奇点(见前面例)。,在、区,,都没有奇点,且等倾线为一簇平行的水平线。,相轨迹最终趋于坐标原点,系统稳定,且没有稳态误差。,注1,注2,注1:关于渐近线的说明,在区,,说明渐近线上下的相轨迹都趋向渐进线。区亦如此。,返回,注2:关于 (0)=0 的说明,初值不为零的例:Y(s)/U(s)=K/(Ts+1),K(as+1)/(Ts+1)2 时,返回,不同幅值参考输入时的相轨迹,幅值较小时,幅值较大时,超调与峰值时间?,上升时间?,调节时间?,稳态误差?,区奇点为稳定节点的相轨迹,A(R,0),渐近线,容易证明:设区渐近线斜率为-a(a0),则一

17、定有 KM ab,证明:一定有 KM ab,Simulink仿真结构图,情况的相轨迹,R=1,R=2,R=5,情况的时间响应曲线,R=2时的u,R=1时的y,R=5时的y,R=1时的u,R=5时的u,R=2时的y,情况的相轨迹,R=0.7,R=0.5,R=1,斜率为-0.5的渐近线,情况的仿真结果,R=0.5时的u,R=0.7时的y,R=1时的y,R=0.7时的u,R=1时的u,R=0.5时的y,2. 具有继电特性的非线性系统,切换线或开关线,区,区,都没有奇点,且等倾线为一簇平行的水平线。,相轨迹最终趋向极限环,而从极限环内出发的相轨迹也将趋向极限环,所以是稳定的极限环,系统产生自持振荡。,

18、自持振荡的直观解释?,K=T=M=b=1 时的等倾线及相轨迹图,Simulink仿真结构图,R=0 时的仿真结果,y,u,R=0时的相轨迹,开关线,R=1 时的仿真结果,y,u,R=1时的相轨迹,开关线,R=2 时的仿真结果,y,u,R=2 时的相轨迹,开关线,三组相轨迹的比较(R=0, 1, 2),都趋向极限环,R=0,R=1,R=2,三组仿真结果的误差比较(R=0, 1, 2),e1,e3,e2,稳态时,振荡周期及振幅都相同,三组仿真结果的误差变化率比较(R=0, 1, 2),稳态时,振荡周期及振幅都相同(转折点对应切换点),思考:若将具有滞环的继电器改为理想继电器,相轨迹及响应性能会有什么变化?,-,实验2:非线性系统(2学时),联系:李亚力老师 电气信息学院专业实验楼403 854662888216, 13330961802,B10.19 (1), (2); B10.25注:选取 为相平面,并设参考输入r=0 或r=1(t)。,练习,

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