1、15.4 用乘法公式因式分解 (2),完全平方公式因式分解,知识回顾,=（3x+4y+x-2y)(3x+4y-x+2y),= (4x+2y)(2x+6y),=5a3(x2-y2),=5a3(x+y)(x-y),由分解因式与整式乘法的关系可以看出,如果把乘法公式反过来,那么就可以把某些多项式分解因式,这种分解因式的方法叫做运用公式法.,知识背景,如:完全平方公式,现在我们把这 个公式反过来,很显然，我们可以运用以上这个公式来分解因式了，我们把它称为“完全平方公式”,(a+b)2=a2+2ab+b2, (ab)2=a22ab+b2.,两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的倍，等于这两个数的和（
2、或差）的平方.,a2+2ab+b2=(a+b)2 a22ab+b2=(ab)2,15.4.2 公式法(2),如果一个多项式能写成两个数的平方和，加上（或减去）这两个数的积的两倍，那么就可以运用完全平方公式把它因式分解，它等于这两个数的和（或差）的平方,形如 的式子称为完全平方式.,下列各多项式是不是完全平方式?若是,请找出相应的a和b.,辨明真相,解:原式=x2+2.x.6+62,a=x,b=6,解:原式=x2-2xy+y2,a=x,b=y,不是完全平方式,解:原式=-x2-2xy+y2,下列各式是不是完全平方式,是,是,否,是,否,辨明是非,完全平方式的特点：,1、必须是三项式,2、首尾平方
3、乘积二倍,3、平方项符号相同,议一议,一般地,利用公式 a2-b2=(a+b)(a-b), 或(a2+2ab+b2)=(a+b)2 把一个多项式分解因式的方法,叫做公式法.公式中的a, b可以是数,也可以是整式.,知识链接,例5 分解因式：(1) 16x2+24x+9； (2) x2+4xy4y2.,分析：在(1)中，16x2=(4x)2，9=32，24x= 24x3，所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即 16x2+24x+9=(4x)2+24x3+32,a2,2,a,b,b2,+,解：(1)16x2+24x+9 = (4x)2+24x3+32=(4x+3)2.,+,解：(2) x2+
4、4xy4y2= (x24xy+4y2)= x22x2y+(2y)2= (x2y)2 .,例5 分解因式：(1) 16x2+24x+9； (2) x2+4xy4y2.,例6 分解因式:(1) 3ax2+6axy+3ay2; (2) (a+b)212(a+b)+36.,分析：在（1）中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解.,解：(1)3ax2+6axy+3ay2=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2 .,(2)(a+b)212(a+b)+36 =(a+b)22(a+b)6+62 =(a+b6)2.,将a+b看作一个整体，设a+b=m,则原式化为完全平方式m212m+36.,练习,分解
5、因式: (2x+y)2-6(2x+y)+9,解:原式=(2x+y)2-2.(2x+y).3+32,=(2x+y)-32,=(2x+y-3)2,注意:本例把2x+y看 作是一个整体,或者 说设2x+y=a,这种数 学思想称为换元思想.,应用提高、拓展创新,1.把下列多项式分解因式，从中你能发现因式分解的一般步骤吗？,（1） ； （2） ； （3） ；（4） （5） .,归纳： （1） 先提公因式（有的话）； （2） 利用公式（可以的话）； （3） 分解因式时要分解到不能分解为止.,2.证明：连续两个奇数的平方差可以被8整除.,例7：分解因式：(1)y24x(yx)；(2)(a2b2)24a2b2
6、.,思路导引：(1)题将原式展开，再运用完全平方公式即可分解；(2)题先运用平方差公式分解因式，然后将各个因式运用完全平方公式分解因式,解：(1)y24x(yx)y24xy4x2(y2x)2.,(2)(a2b2)24a2b2(a2b2)2(2ab)2,(a2b22ab)(a2b22ab)(ab)2(ab)2.,【规律总结】凡是符合完全平方公式左边特点的三项式，,都可以运用完全平方公式分解因式,仔细做一做：分解因式: (x+y)2+4(x-y)2-4(x2-y2).,创新应用: 已知(a+2b)2-2a-4b+1=0,求(a+2b)2005的值.,综合拓展: 已知ABC的三边分别为a,b,c,且
7、a,b,c满足等式3(a2+b2+c2)=(a+b+c)2,请你说明ABC是等边三角形.,（1）x4-2x2+1,解：原式=（x2-1)2=(x+1)(x-1)2=(x+1)2(x-1)2,（2）(x2+y2)2-4x2y2,解：原式=（x2+y2)2-(2xy)2 =(x2+y2+2xy)(x2+y2-2xy)=(x+y)2(x-y)2,例8 分解因式,（3）3abx2+6abxy+3aby2,解：原式=3ab（x22xyy2）=3ab(x+y)2,（4）（m+n）2-4m（m+n）+4m2解：原式=（m+n）2-22m（m+n）+（2m)2=（ mn2m ）2=（mn）2,练习：分解因式：
8、(1)x34x；,(2)36m2a9m2a236m2.,思路导引：(1)中有公因式 x，先提公因式，剩下 x24 可用平方差公式分解(2)中有公因式9m2，提出后剩下 a24a4，可用完全平方公式进行分解,解：(1)x34xx(x24)x(x2)(x2),(2)36m2a9m2a236m29m2(a24a4)9m2(a2)2.,【规律总结】因式分解一般按下列步骤进行：,(1)一提若有公因式，应先提取公因式,(2)二套即套用公式，如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式法来分解若为二项式，考虑用平方差公式；若为,三项式，考虑用完全平方公式,请运用完全平方公式把下列各式分解因式：,例题,在进行因式
9、分解时，一般都遵循“一提、二看、三变、四查”：(1)一提：提公因式，如果多项式的各项含有公因式，那么首先提取这个公因式，再进一步分解因式(2)二看：符合哪个公式，平方差公式；完全平方公式(3)三变：变换后分解因式(4)四查：查漏补缺，分解因式完成后，还要检查以下几项：分解是否彻底；分解是否准确(通过整式的乘法来检验结果)；分解因式的最后结果是不是只含小括号,1下列运用平方差公式分解因式中，正确的是(,),Ax2y2(xy)(xy),B,Bx2y2(xy)(xy)Cx2y2(xy)(xy),Dx2y2(xy)(xy),A,2下列代数式中，是完全平方式的有(,),4y24y1；,a24a4；6x2
10、3x1；,9a216b220ab；x24xy2y2.,A,B,C,D,3把代数式 ax24ax4a 分解因式，下列结果中正确的是,(,),A,Aa(x2)2Ca(x4)2,Ba(x2)2Da(x2)(x2),4 把 多 项 式 2mx2 4mxy 2my2分 解 因 式 的 结 果 是,_,2m(xy)2,5把下列各式分解因式：(1)(2x1)2(x2)2；(2)4x212x9.解：(1)原式(2x1x2)(2x1x2)(3x1)(x3)(2)原式(2x)212x32(2x3)2.,例7：若9x2+kxy+36y2是完全平方式，则k= ,分析:完全平方式是形如：a22ab+b2即两数 的平方和
11、与这两个数乘积的2倍的和(或差).,9x2+kxy+36y2=(3x)2+kxy+(6y)2 kxy=23x6y=36xy k=36,做一做,若x2+(k+3)x+9是完全平方式，则k=_,k=3或k=-9,1、把 分解因式得( ) A、 B、2、把 分解因式得（ ）A、 B、,B,A,练一练,3、如果100x2+kxy+y2可以分解为（10x-y)2,那么k的值是（ ） A、20 B、-20 C、10 D、-10 4、如果x2+mxy+9y2是一个完全平方式，那么m的值为（ ） A、6 B、6 C、3 D、3,B,B,5、把 分解因式得（ ） A、 B、 C、 D、6、计算 的结果是（ ）
12、A、 1 B、-1 C、 2 D、-2,C,A,练习 1.下列多项式是不是完全平方式？为什么(1) a24a+4; (2)1+4a2; (3) 4b2+4b1 ; (4)a2+ab+b2.,2.分解因式：(1) x2+12x+36; (2) 2xyx2y2;(3) a2+2a+1; (4) 4x24x+1;(5) ax2+2a2x+a3; (6) 3x2+6xy3y2.,思考题: 1、多项式: (x+y)2-2(x2-y2)+(x-y)2能用完全平方公式分解吗? 2、在括号内补上一项，使多项式成为完全平方式： X4+4x2+( ),观察下表，你还能继续往下写吗？,你发现了什么规律？能用因式分解
13、来说明你发现的规律吗？,探究活动,应用提高、拓展创新,1.把下列多项式分解因式，从中你能发现因式分解的一般步骤吗？,（1） ； （2） ； （3） ；（4） （5） .,归纳： （1） 先提公因式（有的话）； （2） 利用公式（可以的话）； （3） 分解因式时要分解到不能分解为止.,例 2：先化简，再求值：,(a2b)(a2b)ab3(ab)，其中 a ，b1.,解：(a2b)(a2b)ab3(ab),a24b2b2a25b2.,当 a ，b1 时，,原式( 2 )25(1)2253.,小结：,1、是一个二次三项式,2、首尾平方乘积二倍,3、平方项符号相同,完全平方式具有：,(x+2)(x+1
14、),x2+3x+2,(x-2)(x+1),x2-x-2,(x-2)(x-1),x2-3x+2,(x+2)(x-1),x2+x-2,(x+2)(x+3),x2+5x+6,(x+2)(x-3),x2-x-6,(x-2)(x+3),x2+x-6,(x-2)(x-3),x2-5x+6,(x+a)(x+b),x2+(a+b)x+ab,=,=,=,=,=,=,=,=,1,2,3,4,5,6,7,8,=,利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法,用十字相乘法把形如x2+px+q的二次三项式分解因式：,当q0时，q分解的因数a、b（ ） 当q0时，q分解的因数a、b（ ）,同号,异号
15、,知识要点,q=ab，p=a+b,x2+px+q=,x2+(a+b)x+ab=,x,x,a,b,ax,+,bx,=,(a+b)x,(x+a)(x+b),步骤：,竖分二次项与常数项；,交叉相乘，和相加；,检验确定，横写因式,顺口溜： 竖分常数交叉验， 横写因式不能乱,1x2+8x+12=,2x2-11x-12=,3x2-7x+12=,4x2-4x-12=,(x+2)(x+6),(x-6)(x+2),(x-3)(x-4),(x-12)(x+1),5x2+13x+12=,(x+1)(x+12),6x2-x-12=,(x-4)(x+3),将下列各式因式分解：,对二次三项式x2+px+q进行因式分解，应
16、重点掌握以下三个问题：,1掌握方法：拆分常数项，验证一次项,2符号规律：当q0时，a、b同号，且a、b的符号与p的符号相同；当q0时，a、b异号，且绝对值较大的因数与p的符号相同,3书写格式：竖分横积,注意,知识要点,分组分解法分解因式：,如果一个多项式适当分组，使分组后各组之间有公因式或可应用公式，那么这个多项式就可以用分组的方法分解因式。,mx+my-nx-ny,，两组，得（mx+my）-（nx+ny）,解1：原式= （mx+my）-（nx+ny）,=m(x+y)-n(x+y),=(x+y)(m-n),，两组，得（mx-nx）+(my-ny),解2：原式= （mx-nx）+(my-ny),
17、=x(m-n)+y(m-n),= (m-n) (x+y),练一练,（1）分组时小组内能提公因式要保证组与组之间还有公因式可以提,（2）分组添括号时要注意符号的变化,（3）要将分解到底，不同分组的结果应该是一样的,注意,把下列各式因式分解：,练一练,（1）x2+2xy+y2-z2 （2）ab+a+b+1,解：（1）原式=（x2+2xy+y2)-z2=(x+y)2-z2=(x+y+z)(x+y-z),（2）原式=(ab+a)+(b+1)=a(b+1)+(b+1)=(b+1)(a+1),（3）9a4-4a2+4a-1,解：9a4-4a2+4a-1,= 9a4-(4a2-4a+1),= 9a4-(2a
18、-1) 2,= (3a2+2a-1)(3a2-2a+1),= (a+1)(3a-1)(3a2-2a+1),（4）(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24,解：(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24,= (x2+x-2)(x2+x-12)+24,= (x2+x) 2-14(x2+x)+48,= (x2+x-6)(x2+x-8),= (x+3)(x-2)(x2+x-8),（株洲市） 分解因式(x4+x2-4)(x4+x2+3)+10,解：令x4+x2=m，则原式可化为(m-4)(m+3)+10= m2-m-12+10= m2-m-2= (m-2)(m+1)= (x4+x2-2)(x4
19、+x2+1)= (x2+2)(x2-1)(x4+x2+1)= (x2+2)(x+1)(x-1)(x4+x2+1),如果a+b=0，求a3 2b3+ a2b 2ab2的值,原式= a3 +a2b- (2b3 +2ab2 ),= a2 (a +b)- 2b2 (a +b ),= (a +b) ( a2 - 2b2 ),练一练,=0,解：4x4+1 = 4x4+4x2+1-4x2=（2x2+1）2-（2x）2=（ 2x2+1+ 2x）（ 2x2+1-2x）,因式分解：4x4+1,2(a-b)(x-y)-(b-a)(x+y) =_,3(a+b) 2+2(a+b)-15 =_,4-1-2a-a2=_,5
20、x2-6x+9-y2 =_,6x2-4y2+x+2y=_,79x2+6xy+y2+3x+y =_,89x2+6xy+y2+3x+y-2=_,1a3-ab2 =_,a(a+b)(a-b),2x(a-b),(a+b+5)(a+b-3),-(a+1) 2,(x-3+y)(x-3-y),(x+2y)(x-2y+1),(3x+y)(3x+y+1),(3x+y+2)(3x+y-1),随堂练习,一、分解因式,二、因式分解,(x+2)(x-3),1x2-x- 6 =,(x+2)(x-5),2x2-3x-10=,(x-7)(x+4),3x2-3x-28=,(x-1)(x-3),4x2-4x+3=,(x+2)(x
21、+3),(x-3)(x+7),5x2+5x+6=,6x2+4x-21=,(y+12)(y-3),7y2+9y-36=,(y-7)(y+16),(y+16)(y+3),8y2+9y-112=,9y2+19y+48=,3若a+b=4，a2+b2=10 求a3+a2b+ab2+b3的值,解：原式=(a3+a2b)+(ab2+b3)=a2(a+b)+b2(a+b)=(a+b)(a2+b2) a+b=4，a2+b2=10 原式=410=40,4已知(x+y)2-2x-2y+1=0，求2x2+4xy+2y2的值,解：由题意：(x+y)2-2(x+y)+1=0(x+y-1)2=0即x+y-1=0x+y=12
22、x2+4xy+2y2=2(x+y)2=212=2,五、求证不论x、y取何值,代数式x2+y2+4x-6y+14的值总是正数。,即原式的值总是正数,证明：,x2+y2+4x-6y+14,= x2+ 4x + 4+y2-6y+9+1,=(x+2)2+(y-3)2+1, (x+2)20，(y-3)2 0, (x+2)2+(y-3)2+10,2、已知：x2+y2+6x-4y+13=0, 求x,y的值；,变式: 试说明x2+y2+6x-4y+14的值为正数,1、计算：(2+1)(22+1)(24+1)(232+1)+1,三、巧用公式,(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(232+1)+1,构造平方差公式 方便解题,构造完全平方公式（配方）,
