高 等 数 学 (下),第七章 常微分方程,第四节 高阶线性微分方程,一、概念的引入,解,平衡时，,开始振动，t 时刻弹簧又被拉伸 x(t),介质(空气、油等）的阻力，与速度成正比 .,有阻尼自由振动的微分方程,有阻尼强迫振动的方程,这些都是二阶线性微分方程,二阶线性微分方程,二阶线性齐次微分方程,二阶线性非齐次微分方程,n阶线性微分方程,二、线性微分方程的解的结构,1.二阶齐次方程解的结构:,问题:,特别地:,例如:,线性相关,线性无关,0，y 在（，）上,例如,是其解,是其通解,又如：证明 是 的解，但不是通解 .,证明:,2.二阶非齐次线性方程的解的结构:,例,非齐次通解齐次通解非齐次的一个特解,证,设 是非齐次方程的任一解，则 一定是齐次方程的解，这是因为,由 的任意性，得证 .,例,解,都是微分方程的解,是对应齐次方程的解,常数,所求通解为,自己做：已知二阶线性非齐次方程的三个特解为求该方程满足初始条件 的特解 .,解的叠加原理,
