1、第一节 高阶线性微分方程,二、线性微分方程解的结构,三、高阶常系数线性齐次方程解的结构,一、高阶线性微分方程举例,四、高阶常系数线性非齐次方程解的结构,作业 习题7.1(A)1, 2, 3 , 4,*五、常数变易法,一、二阶线性微分方程举例,当重力与弹性力抵消时, 物体处于 平衡状态,例1. 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动,解:,阻力的大小与运动速度,下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向,物体在弹性力与阻,取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图.,设时刻 t 物位移为 x(t).,(1) 自由振动情况.,弹性恢复力,物体所受的力有:,(虎克hooke定律
2、),成正比, 方向相反.,建立位移满足的微分方程.,222,则得有阻尼自由振动方程:,阻力,(2) 强迫振动情况.,若物体在运动过程中还受铅直外力,则得强迫振动方程:,二阶线性微分方程,求电容器两两极板间电压,例2.,联组成的电路, 其中R , L , C 为常数 ,所满足的微分方程 .,提示: 设电路中电流为 i(t),上的电量为 q(t) ,电感电动势为,由电学知,根据回路电压定律:,设有一个电阻 R , 电感L ,电容 C 和电源 E 串,极板,在闭合回路中, 所有支路上的电压降为 0,422,串联电路的振荡方程:,如果电容器充电后撤去电源 ( E = 0 ) , 则得,化为关于,的方程
3、:,故有,定义1：n 阶线性微分方程的一般形式为,方程的共性,为二阶线性微分方程.,例1,例2, 可归结为同一形式:,时, 称为非齐次方程 ;,时, 称为齐次方程.,复习: 一阶线性方程,通解:,非齐次方程特解,齐次方程通解Y,622,二、线性齐次方程解的结构,1.解的存在唯一性定理：P223,2.线性微分算子：,b)线性微分方程为：,a)线性微分算子的线性性质：,证毕,是二阶线性齐次方程,的两个解,也是该方程的解.,证:,代入方程左边, 得,(解的叠合性),定理1.,822,说明:叠合性可以推广到高阶线性微分方程（定理7.1.1 ）,不一定是所给二阶方程的通解.,例如,是某二阶齐次方程的解,
4、也是齐次方程的解,并不是通解,但是,则,为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与,线性无关概念.,定义2:,是定义在区间 I 上的,n 个函数,使得,则称这 n个函数在 I 上线性相关,否则称为线性无关.,例如，,在( , )上都有,故它们在任何区间 I 上都线性相关;,又如，,若在某区间 I 上,则根据二次多项式至多只有两个零点 ,必需全为 0 ,可见,在任何区间 I 上都 线性无关.,若存在不全为 0 的常数,1022,不全为0，则线性相关。,线性相关,存在不全为 0 的,使,线性无关,常数,思考:,中有一个恒为 0, 则,必线性,相关,线性无关,不存在不全为 0 的,使,1221,
5、解的线性无关判别法:p225,定理2.,1322,是 n 阶齐次方程,的 n 个定义在区间I的解,则它们在I线性无关的充要 条件是，在I中存在一点t，使得这n个解及其各阶导 数在t处所构成的行列式,称w(t)为解组在t处的Wronski行列式。(证明见课本）,定理 3.,是二阶线性齐次方程的两个线,性无关特解, 则,数) 是该方程的通解.,例如, 方程,有特解,且,常数,故方程的通解为,推论.(P227),是 n 阶齐次方程,的 n 个线性无关解,则方程的通解为,三、线性非齐次方程解的结构,是二阶非齐次方程,的一个特解,Y (x) 是相应齐次方程的通解,定理 4.,则,是非齐次方程的通解 .,
6、证: 将,代入方程左端, 得,1522,是非齐次方程的解,又Y 中含有,两个独立任意常数,例如, 方程,有特解,对应齐次方程,有通解,因此该方程的通解为,证毕,因而 也是通解 .,定理 5.,是对应齐次方程的 n 个线性,无关特解,给定 n 阶非齐次线性方程,是非齐次方程的特解,则非齐次方程,的通解为,齐次方程通解,非齐次方程特解,定理6.,分别是方程,的特解,是方程,的特解. (非齐次方程之解的叠加原理),定理6 可以推广到 n 阶线性非齐次方程.,1722,定理7.,分别是方程,的特解,是方程,的特解.,常数, 则该方程的通解是 ( ).,设线性无关函数,都是二阶非齐次线,性方程,的解,是
7、任意,例3.,提示:,都是对应齐次方程的解,二者线性无关 . (反证法可证),(89 考研 ),1922,例4.,已知微分方程,个解,求此方程满足初始条件,的特解 .,解:,是对应齐次方程的解,且,常数,因而线性无关,故原方程通解为,代入初始条件,故所求特解为,有三,内容小结,一、高阶常系数线性齐次方程解的结构,二、高阶常系数线性非齐次方程解的结构,定理.(P227),是 n 阶齐次方程,的 n 个线性无关解,则方程的通解为,定理 .,是对应齐次方程的 n 个线性,无关特解,给定 n 阶非齐次线性方程,是非齐次方程的特解,则非齐次方程,的通解为,齐次方程通解,非齐次方程特解,2222,1.非齐
8、次方程解的叠合性；,2.非齐次方程之解的叠加原理；,三、高阶常系数线性方程解的特点,3.非齐次方程之解的特点（补充）；,定理8.,都是非齐次方程,的特解,是对应的齐次方程,的特解.,*四、常数变易法,复习:,常数变易法:,对应齐次方程的通解:,设非齐次方程的解为,代入原方程确定,对二阶非齐次方程,情形1. 已知对应齐次方程通解:,设的解为,由于有两个待定函数, 所以要建立两个方程:,令,于是,将以上结果代入方程 :,得,故, 的系数行列式,积分得:,代入 即得非齐次方程的通解:,于是得,说明:,将的解设为,只有一个必须满足的条件即方程,因此必需再附加一,个条件,方程的引入是为了简化计算.,情形2.,仅知的齐次方程的一个非零特解,代入 化简得,设其通解为,积分得,(一阶线性方程),由此得原方程的通解:,例5.,的通解为,的通解.,解: 将所给方程化为:,已知齐次方程,求,利用,建立方程组:,积分得,故所求通解为,
