1、一、一阶线性微分方程 二、齐次线性方程的解法 三、非齐次线性方程的解法,第四节 一阶线性微分方程,第七章,一、一阶线性微分方程,一阶线性微分方程标准形式:,例如,线性的;,非线性的.,(1),是齐次线性方程.,是非齐次线性方程, y 3x25x,(2) 3x25x5y 0,是非齐次线性方程,(3) y ycos x e sin x,考察下列方程是否是(或能否化为)线性方程？,(4),不是线性方程,(5),不是线性方程,分离变量:,两边积分得:,故通解为:,二、齐次线性方程的解法,(使用分离变量法),(一阶线性微分方程),例1,求方程,的通解.,解1：,解2：这是齐次线性方程：,由通解公式得原方
2、程的通解为：,ln|y|ln|x2|lnC,原方程可变为,两边积分得,方程的通解为 yC(x2),三、非齐次线性方程 的解法,两边积分,非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比:,对应齐次方程通解,积分得,一阶线性非齐次微分方程的通解为:,非齐次方程特解,即：,是非齐次方程一个特解.,验证,是非齐次线性方程的一个特解：,常数变易法：,把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.,齐次线性方程的通解,非齐次线性方程：,解:,例2,例3 解方程,解: 先解,即,积分得,即,用常数变易法求特解.,则,代入非齐次方程得,解得,故原方程通解为,令,例4 求方程,的通解.,解：,方程变为,把 y 看成是 x
3、的函数：,不便求解,但若写成：,则为一阶线性微分方程,于是对应齐次方程：,分离变量，并积分得,常数变易法,代入原方程,故原方程的通解为,例5： 解方程,法1. 取 y 作自变量:,线性方程.,法2. 作变换,则,代入原方程得,可分离变量方程,两端积分得,以uxy代入上式：,二、伯努利 ( Bernoulli )方程,伯努利方程的标准形式:,2) 令,3) 求出线性方程的通解；,得,4) 换回原变量，即得伯努利方程的通解.,解法: 1),(线性方程),方程两边除以,例3. 求方程,的通解.,解:,则方程变形为,其通解为,将,代入, 得原方程通解:,令,两边同除以,得：,内容小结,1. 一阶线性方
4、程,方法1 先解齐次方程 , 再用常数变易法.,方法2 用通解公式,化为线性方程求解.,2. 伯努利方程,作业：P315 1(1),(3),(7);2(2),(4);7(1),(3),思考与练习,1、判别下列方程类型:,提示:,可分离变量方程,齐次型方程,线性方程,线性方程,伯努利方程,2、求下列方程的通解:,3. 求一连续可导函数,使其满足下列方程:,提示:,令,则有,利用公式可求出,( 雅各布第一 伯努利 ),书中给出的伯努利数在很多地方有用,伯努利(1654 1705),瑞士数学家,位数学家.,标和极坐标下的曲率半径公式,1695年,版了他的巨著猜度术,上的一件大事,而伯努利定理则是大数定律的最早形式.,年提出了著名的伯努利方程,他家祖孙三代出过十多,1694年他首次给出了直角坐,1713年出,这是组合数学与概率论史,此外, 他对,双纽线, 悬链线和对数螺线都有深入的研究 .,
