1、第5章 线性时不变系统的变换分析,5.0 引言 5.1 LTI系统的频率响应 5.2 用线性常系数差分方程表征系统的系 统函数 5.3 有理系统函数的频率响应 5.4 幅度和相位之间的关系 5.5 全通系统 5.6 最小相位系统 5.7 广义线性相位的线性系统 5.8 小结,变换表示：,5.0 引言,LTI的离散系统可以用下述方法表示： 差分方程：,方便分析 能够反映频域特性 先进行z变换分析，然后利用下式变换到频域,5.1 LTI系统的频率响应,表示为极坐标：其中：幅度响应（增益）相位响应（相移） 如果上述增益和相移是我们不需要的，则称为幅度、相位失真。,一、DF按频率特性分类可分为低通、高
2、通、带通、带阻和全通， 其特点为：（1）频率变量以数字频率 表示， ，为模拟角频率，T为抽样时间间隔；（2）以数字抽样频率 为周期；（3）频率特性只限于 范围，这 是因为依取样定理，实际频率特性只能为抽样频率的 一半。,5.1.1 理想频率选择性滤波器,0,低通,高通,带通,0,0,带阻,全通,0,0,二、DF的性能要求（低通为例）,0,通带截止频率,阻带截止频率,通带阻带过渡带 平滑过渡,三、DF频响的三个参量1、幅度平方响应2、相位响应,3、群延迟,它是表示每个频率分量的延迟情况；当其为常数时，就是表示每个频率分量的延迟相同。,5.1.2 相位失真和延迟,线性相位失真，带来信号的输出延时。
3、此类失真可以忍受。对延时我们可以将其他信号也延时，从而达到系统同步。 延时的多少（群延迟）：群延迟是衡量相位线性度的标准。,例5.1 衰减和群延迟的效果,对于任何一个非线性的曲线，主要分割的足够小，每一段均可认为是线性的。 因此，对于非线性相位的系统，可以认为在每一小段内都是线性的，每一小段对应于一个窄带信号。即对为各窄带信号的延迟都是相同的，每个窄带信号内包含若干频率分量，这些频率分量定义为一组（一群）信号。即对这一群信号的延迟是相同的，因此定义为群延迟。,5.2用线性常系数差分方程表征系统的系统函数,差分方程Z变换系统函数,进行因式分解：,M个零点： M个极点：0,N个零点：0 N个极点：
4、,零点：M+N个 极点：M+N个,例5.2,（p201）,5.2.1 系统的稳定性因果性,稳定性:收敛域包含单位圆； 因果性：右边序列（收敛域）；例题5.3 （p202）,5.2.2逆系统,系统与其逆系统级联后，总的系统响应为1。即逆系统的幅度响应为原来系 统的倒数（故对数幅度为原来的负值），相位响应和群延迟为原来的负值。,5.2.2逆系统,不是所有的逆系统都存在，如低通滤波器不存在逆系统。因无法恢复幅度响应为零的频率分量。,逆系统和原系统零极点的关系,零点是原来的极点； 极点是原来的零点。问题：逆系统的收敛域，（因果稳定的系统，极点在单位圆内），逆系统的极点在单位圆内=原系统的零点在单位圆内
5、。这样的系统称为最小相位系统。,5.2.3有理函数的单位脉冲响应,系统函数部分是展开其时域表示,5.2.3有理函数的单位脉冲响应,其时域表示根据上式可以将系统分为两类： FIR: h（n）是有限长的（只有前面的有限个累加项），没有非零极点。（例5.6，P204） IIR： h（n）是无限长的，有非零极点。 （例5.7，P205）,5.3 有理系统函数的频率响应,对稳定的LTI系统,幅度响应,幅度平方：,对数表示： 零点 极点相位响应：群延迟：,相位响应的主值,记作：为整数。,相位响应的主值的计算,调整到主值范围内,另一种求法：,群延迟的求法,由连续相位求解除去主值跳变值，也可用主值或不确定相位
6、求解：,5.3.1 单个零点或极点的频率响应,考虑一个最简单系统（单个零点或极点）。,幅度响应,幅度响应对数表示,主值相位群延迟,周期函数：时： 幅度达到极小值； 相位为零； 群延迟极小；时： 幅度达到极大值,上图分别为 r=0.9和3种theta值时，单一零点的频率响应 （1）对数幅度 （2）相位 （3）群延迟,(1）对数幅度,（2）相位,（3）群延迟,fig5_8.m,图解,幅度相位,时： 幅度达到极小值； 相位为零； 群延迟极小；时： 幅度达到极大值,响应和r的关系,r=1时 幅度响应可以为0； 相位出现跳变。 群延迟极值。,（1）对数幅度,上图分别为 单个零点的频率响应，其中theta
7、=pi，r=1，0.9，0.7和0.5 （1）对数幅度 （2）相位（3）群延迟,（2）相位,（3）群延迟,fig5_11.m,上面分析的是零点的例子。 对于极点，是零点的倒数。 幅度的对数表示，相位，群延迟均是零点的负值。 幅度:时，极小。时，极大。 r=1时，幅度可以达到无穷大。,5.4 幅度和相位之间的关系,一般系统，幅度和相位之间没有制约。 对于有理函数系统，幅度和相位之间有制约。 以复数为例，给定复数的幅度和相位，复数确定。复数本身的幅度和相位之间没有联系。 除非加上额外的限制，才能制约幅度和相位。例如加上系统零极点选择的限制。,5.4 幅度和相位之间的关系,例如：当幅度特性和零极点个
8、数已知，则其相位特性仅有有限个选择。当相位特性和零极点个数已知，则除去幅度加权因子，其幅度特性仅有有限个选择。 对于最小相位系统，幅度特性决定相位特性；相位特性决定除去加权因子外的幅度特性。,首先研究幅度特性,任何给定的系统总有另一个系统的幅度响应与其相同。 因为：,z变换的关系,零点： 极点：,例5.11 （p220）,例5.12 （p221）如果不限制系数为实数，则选择更多。 零极点的个数不加限制，系统则会无限多。,全通因子,添加一个全通因子,增加一个极点、一个零点。 零极点的个数不加限制，系统则会无限多。,5.5 全通系统,全通系统 形如：分子、分母共轭，其模值相等。故幅度响应为1。 全
9、通系统： 的系统。,零点：极点： 零点、极点共轭倒数,一般形式,系统函数的系数为实数，则零点（极点）共轭出现,零点、极点共额倒数,最简单全通系统的响应,幅度响应为1； 有3个向量， 相位响应：,例5.13 下图示出一个极点在z=0.9（theta=0，r=0.9）和另一个极点在z=-0.9（theta=pi，r=0.9）的两个一阶全通系统的对数幅度、相位和群延迟特性曲线。对于这两个系统，极点的矢径都是r=0.9.,因果全通系统，连续相位曲线在 非正。,（1）对数幅度,上图分别为 具有实极点z=0.9（实线）和z=-0.9（虚线）的全通滤波器的频率响应 （1）对数幅度 （2）相位（主值） （3）
10、群延迟,fig5_22.m,（2）相位（主值）,（3）群延迟,极点在 和 的二阶全通系统的频率响应的各个特性,（一）对数幅度,（三）群延迟,（二）相位（主值）,fig5_23.m,上图分别为二阶全通系统的（一）对数幅度 （二）相位 （三）群延迟,相位非正性证明,稳定的因果系统，r1。 其群延迟大于0。,5.6最小相位系统,最小相位系统得名于该系统的相位性质。,系统的零点为c，在单位圆内。,5.6.1 最小相位和全通分解,任何一个有理系统函数都能表示为 假设：系统有一个零点在单位圆外则 注意全通系统的形式,可以通过上述方法将所有单位圆外的零点移到单位圆内，故,零点：在单位圆外 极点：在单位圆内
11、进行最小相位、全通分解时的全通系统,可以通过上述方法将所有单位圆外的零点移到单位圆内； 全通系统的零点：在单位圆外。 全通系统的极点：在单位圆内。 因果稳定。,相反也可以通过全通系统将单位圆内的零点移到单位圆内； 全通系统的零点：在单位圆内。 全通系统的极点：在单位圆外。 非因果稳定。,例5.14,注意全通系统的形式 将要分解系统的零点写成全通系统的形式,5.6.2 频率相应的补偿,系统的总响应 scn sn。 即Hd(z) Hc(z) 互为逆系统，所以只有Hd(z)为最小相位系统， Hd(z) Hc(z)系统满足稳定因果性。,对于一般的Hd(z)。 首先进行最小相位/全通分解。按照最小相位系
12、统选取补偿系统则总的响应为：,例 5.15 FIR系统的补偿,FIR,最小相位,全通系统,fig5_27.m,fig5_28.m,fig5_29.m,5.6.3 最小相位系统的性质,逆系统引入的最小相位系统。 性质： 最小相位滞后性质 最小群延迟性质 最小能量滞后性质,5.6.3 最小相位系统的性质,已知全通系统的连续相位在 区间总是负的。 连续相位减小，即相位的负值增加（相位滞后）。 最小相位系统最小相位滞后系统,最小群延迟性质最小 非负,最小能量滞后性质,系数为实数的系统其零极点要么为实数，要么共轭出现 全通系统可以将零点以共轭倒数形式进行搬移而不影响幅频特性 所以有4组零点 图满足5.1
13、07式,h(n),序列左端的样本值，最小相位系统的值最大。 最小能量延迟,最小能量延迟,对于所有因果的稳定系统都成立。 总能量相同，根据帕斯瓦尔定理,定义部分能量,零极点分布,零极点均为实数 分子：M个零点 M个极点 0 分母：N个极点 N个零点 0,零极点为复数时 以共轭形式出现 可以保证为实数，即时域为实序列。由幅频响应决定的系统零极点为 以共轭倒数形式成对出现。,全通系统,零点 零点极点 极点零点极点共轭倒数,最小相位系统,零点在单位圆内系统称为最小相位系统最小相位全通分解 共轭倒数，以单位圆“对称”。即一个 在单位圆内，则另一个在单位圆外。 因此，对于非最小相位系统（单位圆外有零点），
14、可以将单位圆外的零点可以利用共轭倒数关系引入一个单位圆内的零点,最小相位系统,并入全通系统，则全通系统有一个与之成共轭倒数关系的极点，即单位圆内的极点。为了保持总的幅频响应不变，利用该极点抵消零点，并且带入一个单位圆内的零点。,5.7 广义线性相位的线性系统,希望的系统，在某个频带范围内幅频响应恒定，相频响应为零（即零相位，零延迟）。 因果系统无法满足。 线性相位，只引入延迟。 非线性相位，即使幅频响应恒定，也会对信号形状造成很大影响。（主要是对不同频率信号的延迟不一）。,5.7.1 线性相位系统,线性相位系统 响应幅度 （全通系统）相位群延迟,a为整数是分子0。,时域,延迟为非整数的系统实现
15、方法,非恒定幅度系统,可化作两个系统的级连例如低通滤波器若 即理想延迟。,例5.16 具有线性相位低通滤波器的特点,a为整数时单位脉冲响应以n=nd对称,fig5_35.m,定义一个零相位系统,等效将原来的系统左移 得到偶序列,a4.5 时 单位脉冲响应以a点对称a4.3时 不对称结论： 2a为整数时单位脉冲响应以n=nd对称； 否则不对称。 不对称也可以是线性相位。,fig5_35.m,5.7.2 广义线性相位,线性相位广义线性相位,考察广义线性相位系统的时域特点,频域特性傅立叶变换：设hn为实序列的相位正切：,可以找到hn为广义线性系统的充分条件，非必要。,带入组合，使得组合项相加为0，则
16、总和也为零,5.7.3 因果广义线性相位系统,因果则hn为右边序列：同时利用广义线性系统关于a（M/2）对称,故nM,时等于n0。所以序列长度为M+1.,M又分为偶数和奇数两种情况，所以有4种线性相位FIR DF，如下所述。,1、M为偶数的对称,例如 M=10，对称中心为,I类FIR线性相位系统,组合,例如 M=9，对称中心为,n,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,2、M为奇数时的偶对称,I I类FIR线性相位系统,组合,例如，M=10，对称中心为,n,5,6,7,8,9,10,3、M为偶数时的奇对称,I I I类FIR线性相位系统,例如，M=9，对称中心为4.5，,4、M为奇数时的奇对
17、称,n,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,I V类FIR线性相位系统,例5.17,M=4,a=2,幅度,类系统的频率响应,fig5_17.m,相位,群延迟,例5.18,M=5,a=2.5,幅度,类系统的频率响应,fig5_18.m,相位,群延迟,例5.19,M=2,a=1,幅度,类系统的频率响应,fig5_19.m,相位,群延迟,例5.20,M=1,a=1/2,幅度,类系统的频率响应,fig5_20.m,相位,群延迟,FIR线性相位系统零点的位置,I、 I I类系统零点的分布规律如果 零点则 也是零点,所以，如果 是零点，则 也一 定是H（Z） 的零点，h（n）为实数时，H（Z） 的零点
18、必成共轭对出现，即 也一定是 H（Z）的零点， 也一定是H（Z）的零 点。,2、零点的位置,（1） 既不在实轴上，也不在单位圆上，则零点是互为倒数的两组共轭对，,(2) 不在实轴上，但在单位圆上，共轭对的 倒数就是它们本身，如,（3） 在实轴上，不在单位圆上，实数零点， 没复共轭；只有倒数。 例如，,0,1,（4） 既在实轴上也在单位圆上。此时， 只有一个零点，且有两种可能，或位于Z=1， 或位于Z=-1。,Z=-1处的零点比较特别,因为 则M为偶数 M为奇数 故所以 可以不是 1必然为其零点,I I I 、 I V类系统零点的分布规律,Z=-1、1处的零点比较特别 Z=1,因为 则故所以 1为其零点,Z=-1,因为 则M为偶数 M为奇数 故所以1必然为其零点 可以不是,典型的零点分布,Z1，对应频域的 即，高频的幅度响应为0，因此不能作为高通系统。 Z1，对应频域的 即，低频的幅度响应为0，因此不能作为低通系统。,5.7.4 FIR线性相位系统 和最小相位系统的关系,从零点分布来看，单位圆内、上、外都有， 其中单位圆内的对应与最小相位系统， 单位圆内的对应与最大相位系统，其中,作业： 5.1、5.2、5.3、5.4、5.5、5.6、5.11、5.12、5.17、5.18、5.19、5.205.23、5.24、5.27、5.28、5.29、5.30、 5.37、5.40,
