1、2004.09.08,1,信号分析与处理 高等教育出版社,欢迎使用信号分析与处理电子教案,电 子 教 案,制 作 丁 志 中 吴 玺,第二章 线性时不变系统的时域分析,2004.09.08,2,信号分析与处理 高等教育出版社,一 LTI系统响应求解的基本思想,2.1 引言,后页,任意信号可以分解为某种基本信号的线性组合：,激励系统所产生的响应为,二 时域分析的基本内容,2.1 引言,2004.09.08,3,信号分析与处理 高等教育出版社,2.2 用冲激函数表示信号,一 用 表示离散信号,如图2.1,即,后页,前页,2.2 用冲激函数表示信号,表示离散信号,表示连续信号,2004.09.08,
2、4,信号分析与处理 高等教育出版社,图2.1离散序列分解,返回,2.2 用冲激函数表示信号,表示离散信号,表示连续信号,2004.09.08,5,信号分析与处理 高等教育出版社,二 用 表示连续信号,所以:,取极限:,且,如图2.2,所以:,后页,前页,2.2 用冲激函数表示信号,表示离散信号,表示连续信号,2004.09.08,6,信号分析与处理 高等教育出版社,图2.2 连续信号的窄脉冲分解,返回,2.2 用冲激函数表示信号,表示离散信号,表示连续信号,2004.09.08,7,信号分析与处理 高等教育出版社,2.3 冲激响应和阶跃响应的定义,一 单位冲激响应的定义,二 单位阶跃响应的定义
3、,冲激响应是在时域中对LTI系统的充分描述。,三 冲激响应和阶跃响应的关系,如图2.4,如图2.5,2.3 冲激响应和阶跃响应的定义,后页,前页,2004.09.08,8,信号分析与处理 高等教育出版社,图2.4 冲激响应的定义,图2.5 阶跃响应的定义,2.3 冲激响应和阶跃响应的定义,返回,2004.09.08,9,信号分析与处理 高等教育出版社,2.4 离散时间LTI系统：卷积和,一 离散时间LTI系统的响应,信号分解：,即离散时间LTI系统的响应可表示为：,后页,前页,2.4 离散时间LTI系统：卷积和,卷积性质及应用,卷积和的计算,离散LTI的响应,卷积和的定义,2004.09.08
4、,10,信号分析与处理 高等教育出版社,二 卷积和的定义,离散时间LTI系统的响应可表示为：,后页,前页,2.4 离散时间LTI系统：卷积和,卷积性质及应用,卷积和的计算,离散LTI的响应,卷积和的定义,2004.09.08,11,信号分析与处理 高等教育出版社,三 卷积运算的基本性质及在系统分析中 的应用,性质一 交换律,证明: 令,后页,前页,交换律的应用图示,2.4 离散时间LTI系统：卷积和,卷积性质及应用,卷积和的计算,离散LTI的响应,卷积和的定义,2004.09.08,12,信号分析与处理 高等教育出版社,图2.6 卷积交换律的应用,返回,2.4 离散时间LTI系统：卷积和,卷积
5、性质及应用,卷积和的计算,离散LTI的响应,卷积和的定义,2004.09.08,13,信号分析与处理 高等教育出版社,性质二 结合律,交换律结合律的应用图示,图2.7所示的四个系统都是等价的。,后页,前页,2.4 离散时间LTI系统：卷积和,卷积性质及应用,卷积和的计算,离散LTI的响应,卷积和的定义,2004.09.08,14,信号分析与处理 高等教育出版社,图2.7交换律结合律的应用,返回,2.4 离散时间LTI系统：卷积和,卷积性质及应用,卷积和的计算,离散LTI的响应,卷积和的定义,2004.09.08,15,信号分析与处理 高等教育出版社,性质三 分配律,分配律的应用图示,分配律可以
6、直接由卷积定义式证得。,后页,前页,2.4 离散时间LTI系统：卷积和,卷积性质及应用,卷积和的计算,离散LTI的响应,卷积和的定义,2004.09.08,16,信号分析与处理 高等教育出版社,图2.9 分配律的应用,返回,2.4 离散时间LTI系统：卷积和,卷积性质及应用,卷积和的计算,离散LTI的响应,卷积和的定义,2004.09.08,17,信号分析与处理 高等教育出版社,四 卷积和的计算,后页,前页,例2.1的方法适合长序列的卷积运算；例2.2的方法适合短序列的卷积运算。,2.4 离散时间LTI系统：卷积和,卷积性质及应用,卷积和的计算,离散LTI的响应,卷积和的定义,2004.09.
7、08,18,信号分析与处理 高等教育出版社,例2.1,设 , 求 。,解 由卷积定义式得：,后页,前页,2.4 离散时间LTI系统：卷积和,卷积性质及应用,卷积和的计算,离散LTI的响应,卷积和的定义,第一项非零值的求和范围：,第二项非零值的求和范围：,2004.09.08,19,信号分析与处理 高等教育出版社,例2.1解(续),图2.9示意了各序列的图形。,后页,前页,2.4 离散时间LTI系统：卷积和,卷积性质及应用,卷积和的计算,离散LTI的响应,卷积和的定义,2004.09.08,20,信号分析与处理 高等教育出版社,图2.9 例2.1图,返回,2.4 离散时间LTI系统：卷积和,卷积
8、性质及应用,卷积和的计算,离散LTI的响应,卷积和的定义,2004.09.08,21,信号分析与处理 高等教育出版社,从例2.1总结出卷积和上下限确定规则:,后页,前页,2.4 离散时间LTI系统：卷积和,卷积性质及应用,卷积和的计算,离散LTI的响应,卷积和的定义,2004.09.08,22,信号分析与处理 高等教育出版社,例2.2,有限长序列 和 ,如图2.10所示，求 。,解,可以写成,后页,前页,卷积性质及应用,卷积和的计算,离散LTI的响应,卷积和的定义,2.4 离散时间LTI系统：卷积和,另:表格法,2004.09.08,23,信号分析与处理 高等教育出版社,图2.10 例2.2图
9、,返回,卷积性质及应用,卷积和的计算,离散LTI的响应,卷积和的定义,2.4 离散时间LTI系统：卷积和,2004.09.08,24,信号分析与处理 高等教育出版社,例2.2 表格法,2.4 离散时间LTI系统：卷积和,卷积性质及应用,卷积和的计算,离散LTI的响应,卷积和的定义,返回,续页,2004.09.08,25,信号分析与处理 高等教育出版社,例2.2 表格法(续),2.4 离散时间LTI系统：卷积和,卷积性质及应用,卷积和的计算,离散LTI的响应,卷积和的定义,前页,返回,2004.09.08,26,信号分析与处理 高等教育出版社,若有限序列 的非零区间为 , 的非零区间为 ,读者可
10、以按2.2中卷积和计算的方法,证明下列结论: 卷积后序列 的长度= 的长度+ 的长度-1=卷积后序列 的非零区间为,从例2.2总结出卷积和序列的长度和非零值范围:,2.4 离散时间LTI系统：卷积和,卷积性质及应用,卷积和的计算,离散LTI的响应,卷积和的定义,后页,前页,2004.09.08,27,信号分析与处理 高等教育出版社,2.5 连续时间LTI系统：卷积积分,信号分解：,即连续时间LTI系统的响应可表示为：,一 连续时间LTI系统的响应,记作：,2.5 连续时间LTI系统：卷积积分,后页,前页,卷积积分的计算,与冲激函数的卷积,连续LTI的响应,卷积积分定义性质,2004.09.08
11、,28,信号分析与处理 高等教育出版社,二 卷积积分的定义和性质,和 卷积积分定义为：,性质一 微积分性质,常用一阶特例：,后页,前页,2.5 连续时间LTI系统：卷积积分,卷积积分的计算,与冲激函数的卷积,连续LTI的响应,卷积积分定义性质,2004.09.08,29,信号分析与处理 高等教育出版社,性质二 交换律,性质三 结合律,性质四 分配律,若将上述卷积积分的性质应用于连续LTI系统，则具有与离散LTI系统相同的意义，如图2.11所示。,后页,前页,2.5 连续时间LTI系统：卷积积分,卷积积分的计算,与冲激函数的卷积,连续LTI的响应,卷积积分定义性质,2004.09.08,30,信
12、号分析与处理 高等教育出版社,图2.11 (a)卷积交换律的应用 (b)交换律结合律的应用 (c)分配律的应用,(c),返回,2.5 连续时间LTI系统：卷积积分,卷积积分的计算,与冲激函数的卷积,连续LTI的响应,卷积积分定义性质,2004.09.08,31,信号分析与处理 高等教育出版社,利用阶跃函数表示被积函数的非零区间，并通过对阶跃函数非零区间的讨论，确定积分上下限以及卷积后 变量的取值范围。这一方法和例2.1的方法完全类似。,三 卷积积分的计算,例2.3,例2.4利用卷积的图解过程求例2.3中信号的卷积。,后页,前页,2.5 连续时间LTI系统：卷积积分,卷积积分的计算,与冲激函数的
13、卷积,连续LTI的响应,卷积积分定义性质,2004.09.08,32,信号分析与处理 高等教育出版社,例2.3 求下面二信号的卷积：,如图,解,后页,前页,2.5 连续时间LTI系统：卷积积分,卷积积分的计算,与冲激函数的卷积,连续LTI的响应,卷积积分定义性质,2004.09.08,33,信号分析与处理 高等教育出版社,图2.12 例2.3图,返回,2.5 连续时间LTI系统：卷积积分,卷积积分的计算,与冲激函数的卷积,连续LTI的响应,卷积积分定义性质,2004.09.08,34,信号分析与处理 高等教育出版社,例2.3 解(续1),后页,前页,考虑到,2.5 连续时间LTI系统：卷积积分
14、,卷积积分的计算,与冲激函数的卷积,连续LTI的响应,卷积积分定义性质,2004.09.08,35,信号分析与处理 高等教育出版社,例2.3解(续2) 则可确定出:,后页,前页,2.5 连续时间LTI系统：卷积积分,卷积积分的计算,与冲激函数的卷积,连续LTI的响应,卷积积分定义性质,2004.09.08,36,信号分析与处理 高等教育出版社,例2.3解(续3),或写作：,后页,前页,2.5 连续时间LTI系统：卷积积分,卷积积分的计算,与冲激函数的卷积,连续LTI的响应,卷积积分定义性质,2004.09.08,37,信号分析与处理 高等教育出版社,从例2.3总结出卷积积分上下限确定规则:,后
15、页,前页,不作反转变化的阶跃函数决定了积分的下限;作反转变化的阶跃函数决定了积分的上限。例如本例中 和 决定了相应积分项积分下限为4和6; , 决定了相应积分项积分上限为t-1和t-5。 每项积分后限定t变化范围的阶跃函数形式为“ (上限下限)”。例如本例中 , , , 。,卷积积分的计算,与冲激函数的卷积,连续LTI的响应,卷积积分定义性质,2.5 连续时间LTI系统：卷积积分,2004.09.08,38,信号分析与处理 高等教育出版社,后页,前页,例2.4利用卷积的图解过程求例2.3中信号的卷积。,卷积积分的计算,与冲激函数的卷积,连续LTI的响应,卷积积分定义性质,2.5 连续时间LTI
16、系统：卷积积分,2004.09.08,39,信号分析与处理 高等教育出版社,四 与冲激函数的卷积,性质一,*性质二,*性质三,当 时:,当 时：,当 时:,后页,前页,卷积积分的计算,与冲激函数的卷积,连续LTI的响应,卷积积分定义性质,2.5 连续时间LTI系统：卷积积分,2004.09.08,40,信号分析与处理 高等教育出版社,例2.5 求下列卷积积分。,解(1),(2),(1)求,(2)已知 ,求,后页,前页,卷积积分的计算,与冲激函数的卷积,连续LTI的响应,卷积积分定义性质,2.5 连续时间LTI系统：卷积积分,2004.09.08,41,信号分析与处理 高等教育出版社,例2.6
17、利用卷积的性质以及冲激函数的卷积求例2.3中信号的卷积。,解,如图2.15,卷积积分的计算,与冲激函数的卷积,连续LTI的响应,卷积积分定义性质,后页,前页,2.5 连续时间LTI系统：卷积积分,2004.09.08,42,信号分析与处理 高等教育出版社,图2.15例2.6,卷积积分的计算,与冲激函数的卷积,连续LTI的响应,卷积积分定义性质,返回,2.5 连续时间LTI系统：卷积积分,2004.09.08,43,信号分析与处理 高等教育出版社,2.6 冲激响应和系统的性质,性质一 因果性,性质二 稳定性,若系统是因果的，则 或,若系统是稳定的，则其冲激响应必满足：,或,后页,前页,2.6 冲
18、激响应和系统的性质,2004.09.08,44,信号分析与处理 高等教育出版社,性质三 无记忆性,若系统是无记忆的，则,如果两个系统互为逆系统，则其冲激响应必满足:,或,性质四 可逆系统,或,如图2.16,后页,前页,2.6 冲激响应和系统的性质,2004.09.08,45,信号分析与处理 高等教育出版社,图2.16,返回,2.6 冲激响应和系统的性质,2004.09.08,46,信号分析与处理 高等教育出版社,2.7 微分方程描述系统的响应求解,2.7 微分方程描述系统的响应求解,2.7.1自由响应与强迫响应,一 解的结构与自由响应和强迫响应,二 通解的形式,特征方程为：,若特征方程无重根，
19、通解形式为：,若特征方程有重根:,后页,前页,零状态/零输入响应,*冲激响应时域求解,自由/强迫响应,t=0的状态跳变,2004.09.08,47,信号分析与处理 高等教育出版社, ,求系统的输出响应y(t),并指出自由,三 特解的形式,后页,前页,四 附加条件,见表2.1,解 (1)求齐次方程的通解 ：,(2)求非齐方程的特解 。,例2.7 已知描述系统的方程为 ,响应分量和强迫响应分量。,2.7 微分方程描述系统的响应求解,零状态/零输入响应,*冲激响应时域求解,自由/强迫响应,t=0的状态跳变,2004.09.08,48,信号分析与处理 高等教育出版社,表2.1,返回,2.7 微分方程描
20、述系统的响应求解,零状态/零输入响应,*冲激响应时域求解,自由/强迫响应,t=0的状态跳变,2004.09.08,49,信号分析与处理 高等教育出版社,例2.7解(续),(3)写出完全解并由附加条件确定完全解中的待定系数。,后页,前页,2.7 微分方程描述系统的响应求解,零状态/零输入响应,*冲激响应时域求解,自由/强迫响应,t=0的状态跳变,2004.09.08,50,信号分析与处理 高等教育出版社,2.7.2 状态跳变,考察一个最简单微分方程:,设,跳变是由激励中的冲激所导致的。,2.7 微分方程描述系统的响应求解,后页,前页,零状态/零输入响应,*冲激响应时域求解,自由/强迫响应,t=0
21、的状态跳变,2004.09.08,51,信号分析与处理 高等教育出版社,判断有无跳变产生的方法:,设N阶微分方程式(1.76)中 ,若方程右端或其各阶导数中含有最高为k阶的冲激函数导数 ,且 ,则系统在t=0时刻会发生状态的跳变。,2.7 微分方程描述系统的响应求解,后页,前页,零状态/零输入响应,*冲激响应时域求解,自由/强迫响应,t=0的状态跳变,2004.09.08,52,信号分析与处理 高等教育出版社,2.7.3 零输入响应和零状态响应,一 零状态响应的求解,二 零输入响应的求解,2.7 微分方程描述系统的响应求解,后页,前页,零状态/零输入响应,*冲激响应时域求解,自由/强迫响应,t
22、=0的状态跳变,2004.09.08,53,信号分析与处理 高等教育出版社,例2.8,已知描述系统的方程为 , , ,求系统的零输入响应和零状态响应。,2.7 微分方程描述系统的响应求解,后页,前页,解 本题和例2.7的方程相同，不同的是初始系统状态。(1) 求零输入响应 。,(2) 求零状态响应 。,方程右端没有t=0时的冲激,不会发生0时刻状态跳变,所以,因为是零状态,所以,零状态/零输入响应,*冲激响应时域求解,自由/强迫响应,t=0的状态跳变,2004.09.08,54,信号分析与处理 高等教育出版社,例2.8解续(1),通解形式:,特解形式:,代入原方程得 ,即:,零状态完全解:,将
23、 代入上两式:,解得:,所以:,后页,前页,2.7 微分方程描述系统的响应求解,零状态/零输入响应,*冲激响应时域求解,自由/强迫响应,t=0的状态跳变,2004.09.08,55,信号分析与处理 高等教育出版社,例2.8解续(2),后页,前页,系统的完全响应:,2.7 微分方程描述系统的响应求解,零状态/零输入响应,*冲激响应时域求解,自由/强迫响应,t=0的状态跳变,2004.09.08,56,信号分析与处理 高等教育出版社,三 用零输入响应、零状态响应表示完全响应,完全响应 = 自由响应 + 强迫响应 = 零状态响应 + 零输入响应,自由响应 = 零状态响应的一部分 + 零输入响应强迫响
24、应 = 零状态响应的另一部分,后页,前页,2.7 微分方程描述系统的响应求解,零状态/零输入响应,*冲激响应时域求解,自由/强迫响应,t=0的状态跳变,2004.09.08,57,信号分析与处理 高等教育出版社,*2.7.4 冲激响应的时域求解,一 冲激响应求解的常用方法,(1) 利用变换域分析方法求解。,(2) 微分方程的经典解法求出系统的阶跃 响应，再求冲激响应。,(3) 直接利用微分方程的经典解法求解。,后页,前页,2.7 微分方程描述系统的响应求解,零状态/零输入响应,*冲激响应时域求解,自由/强迫响应,t=0的状态跳变,2004.09.08,58,信号分析与处理 高等教育出版社,二
25、冲激响应时域求解的特殊性,后页,前页,2.7 微分方程描述系统的响应求解,三 微分方程右端只含 时冲激响应的求解,零状态/零输入响应,*冲激响应时域求解,自由/强迫响应,t=0的状态跳变,2004.09.08,59,信号分析与处理 高等教育出版社,三 微分方程右端只含,后页,前页,因为：,所以：,2.7 微分方程描述系统的响应求解,零状态/零输入响应,*冲激响应时域求解,自由/强迫响应,t=0的状态跳变,2004.09.08,60,信号分析与处理 高等教育出版社,例2.9,后页,前页,已知系统的微分方程为 ,求冲激响应h(t)。,解 齐次方程 的通解为:,将 , 代入得:,解得:,所以:,或:
26、,2.7 微分方程描述系统的响应求解,零状态/零输入响应,*冲激响应时域求解,自由/强迫响应,t=0的状态跳变,2004.09.08,61,信号分析与处理 高等教育出版社,四 一般情况下冲激响应的求解,若 是方程 的解,则 是方程 的解,对于一般微分方程式(1.76)的冲激响应的求解可以分为二步计算：,(1) 求出式(2.62)的冲激响应 。,(2) 式(1.76)的冲激响应 。,后页,前页,2.7 微分方程描述系统的响应求解,零状态/零输入响应,*冲激响应时域求解,自由/强迫响应,t=0的状态跳变,2004.09.08,62,信号分析与处理 高等教育出版社,例2.10,后页,前页,已知系统的
27、微分方程为 ,求冲激响应h(t)。,解 首先求 的冲激响应 。,由例2.9知:,则冲激响应h(t)为:,2.7 微分方程描述系统的响应求解,零状态/零输入响应,*冲激响应时域求解,自由/强迫响应,t=0的状态跳变,2004.09.08,63,信号分析与处理 高等教育出版社,五 由阶跃响应求冲激响应,为了避开直接求解跳变问题，可将上述方程的求解分为二步：,(2) 式(1.76)的阶跃响应为 。,求方程 的阶跃响应 。当 时方程右端无冲激，没有状态跳变。,后页,前页,2.7 微分方程描述系统的响应求解,零状态/零输入响应,*冲激响应时域求解,自由/强迫响应,t=0的状态跳变,2004.09.08,
28、64,信号分析与处理 高等教育出版社,例2.11,求微分方程 的阶跃响应,并由其阶跃响应求冲激响应。,解 (1)先求 的阶跃响应,即求解:,齐次方程的通解为:,完全解为:,后页,前页,2.7 微分方程描述系统的响应求解,零状态/零输入响应,*冲激响应时域求解,自由/强迫响应,t=0的状态跳变,2004.09.08,65,信号分析与处理 高等教育出版社,例2.11解(续1),后页,前页,将 代入上两式得:,解得:,所以,即,(2) 求 的阶跃响应 :,2.7 微分方程描述系统的响应求解,零状态/零输入响应,*冲激响应时域求解,自由/强迫响应,t=0的状态跳变,2004.09.08,66,信号分析
29、与处理 高等教育出版社,例2.11解(续2),(3) 求h(t):,后页,前页,2.7 微分方程描述系统的响应求解,零状态/零输入响应,*冲激响应时域求解,自由/强迫响应,t=0的状态跳变,2004.09.08,67,信号分析与处理 高等教育出版社,六 零状态响应的求解,在介绍了冲激响应的求解方法后，则可以利用卷积积分求解零状态响应。,另外在大多数情况下，激励信号本身(不包括其导函数)不含有冲激，采用和上面求解阶跃响应相同的方法求解零状态响应，可以避免状态跳变的求解问题。,后页,前页,零状态/零输入响应,*冲激响应时域求解,自由/强迫响应,t=0的状态跳变,2.7 微分方程描述系统的响应求解,
30、2004.09.08,68,信号分析与处理 高等教育出版社,例2.12,后页,前页,零状态/零输入响应,*冲激响应时域求解,自由/强迫响应,t=0的状态跳变,求系统 在激励时的零状态响应。,解法一 由上面的例题知该系统的冲激响应为,所以零状态响应为:,2.7 微分方程描述系统的响应求解,2004.09.08,69,信号分析与处理 高等教育出版社,例2.12解续(1),零状态/零输入响应,*冲激响应时域求解,自由/强迫响应,t=0的状态跳变,解法二 利用求冲激响应相同的方法求解,含冲激,有跳变,(1) 求,通解为：,特解形式为：,完全解为：,后页,前页,2.7 微分方程描述系统的响应求解,200
31、4.09.08,70,信号分析与处理 高等教育出版社,例2.12解续(2),后页,前页,(2)求方程 阶跃响应 :,零状态/零输入响应,*冲激响应时域求解,自由/强迫响应,t=0的状态跳变,2.7 微分方程描述系统的响应求解,2004.09.08,71,信号分析与处理 高等教育出版社,2.8 差分方程描述系统的响应求解,后页,前页,2.8.1自由响应与强迫响应,一 常系数线性差分方程解的结构,2.8 差分方程描述系统的响应求解,二 通解的形式,特征方程为：,若特征方程无重根，通解形式为：,若特征方程有重根:,零状态/零输入响应,*冲激响应时域求解,自由/强迫响应,2004.09.08,72,信
32、号分析与处理 高等教育出版社,例2.13 已知系统方程为 , , ,求输出响应 ，并指出自由响应分量和强迫响应分量。,后页,前页,三 特解的形式,见表2.2,四 附加条件,由特征方程 解得特征根为：,解 (1) 求齐次方程通解,所以,2.8 差分方程描述系统的响应求解,零状态/零输入响应,*冲激响应时域求解,自由/强迫响应,2004.09.08,73,信号分析与处理 高等教育出版社,代入原差分方程得： ,解得,例2.13解续(1),(2) 求非齐次方程的特解,激励函数为 ,故设 ,则,所以,(3) 写出完全解形式并由附加条件确定待定系数。,利用原方程迭代得,后页,前页,2.8 差分方程描述系统
33、的响应求解,零状态/零输入响应,*冲激响应时域求解,自由/强迫响应,2004.09.08,74,信号分析与处理 高等教育出版社,将 代入上式：,例2.13解续(2),完全解为：,联立解得,所求系统的响应为：,后页,前页,2.8 差分方程描述系统的响应求解,零状态/零输入响应,*冲激响应时域求解,自由/强迫响应,2004.09.08,75,信号分析与处理 高等教育出版社,表2.2,返回,2.8 差分方程描述系统的响应求解,零状态/零输入响应,*冲激响应时域求解,自由/强迫响应,2004.09.08,76,信号分析与处理 高等教育出版社,2.8.2 零输入响应和零状态响应,一 零状态响应的求解,二
34、 零输入响应的求解,2.8 差分方程描述系统的响应求解,后页,前页,零状态/零输入响应,*冲激响应时域求解,自由/强迫响应,2004.09.08,77,信号分析与处理 高等教育出版社,例2.14,2.8 差分方程描述系统的响应求解,后页,前页,已知系统方程为 , , ,求零输入响应和零状态响应。,解 本题已知条件和上例相同。(1) 求零输入响应,由 , 可确定,所以零输入响应为：,零状态/零输入响应,*冲激响应时域求解,自由/强迫响应,2004.09.08,78,信号分析与处理 高等教育出版社,例2.14解续(1),(2) 求零状态响应,通解：,特解：,零状态解：,将 , 代入上式:,解得:,
35、所以零状态响应为：,后页,前页,2.8 差分方程描述系统的响应求解,零状态/零输入响应,*冲激响应时域求解,自由/强迫响应,2004.09.08,79,信号分析与处理 高等教育出版社,例2.14解续(2),完全响应为:,与上例结果相同。,后页,前页,2.8 差分方程描述系统的响应求解,零状态/零输入响应,*冲激响应时域求解,自由/强迫响应,2004.09.08,80,信号分析与处理 高等教育出版社,三 用零输入响应、零状态响应表示完全响应,完全响应 = 零状态响应 + 零输入响应 = 自由响应 + 强迫响应,自由响应 = 零状态响应的一部分 + 零输入响应强迫响应 = 零状态响应的另一部分,2
36、.8 差分方程描述系统的响应求解,后页,前页,零状态/零输入响应,*冲激响应时域求解,自由/强迫响应,2004.09.08,81,信号分析与处理 高等教育出版社,*2.8.3 冲激响应的时域求解,一 冲激响应求解的常用方法,(1)通过差分方程的迭代求得h(n),简单但不易求得闭式解。,(2)通过前面介绍的差分方程的求解方法求h(n), 下面会作详细讨论。,(4)利用第五章介绍的z域分析方法求解h(n)。,(3)利用阶跃响应和冲激响应的关系求h(n)。,2.8 差分方程描述系统的响应求解,后页,前页,零状态/零输入响应,*冲激响应时域求解,自由/强迫响应,2004.09.08,82,信号分析与处
37、理 高等教育出版社,二 差分方程右端只含 时冲激响应的求解,当 时 :,后页,前页,零状态/零输入响应,*冲激响应时域求解,自由/强迫响应,2004.09.08,83,信号分析与处理 高等教育出版社,将 代入齐次解表达式中：,例2.15,2.8 差分方程描述系统的响应求解,已知系统的差分方程为 ,求其冲激响应。,解齐次解为：,由 ,迭代得：,解得:,在 必定满足上式，所以：,即,后页,前页,零状态/零输入响应,*冲激响应时域求解,自由/强迫响应,2004.09.08,84,信号分析与处理 高等教育出版社,三 一般情况下冲激响应的求解,例2.16,例2.17,四 由阶跃响应求冲激响应,(2) 式
38、(1.78)的冲激响应为,(1) 求出式(2.76)的冲激响应,后页,前页,2.8 差分方程描述系统的响应求解,零状态/零输入响应,*冲激响应时域求解,自由/强迫响应,2004.09.08,85,信号分析与处理 高等教育出版社,例2.16,后页,前页,已知系统的差分方程为 ，求该系统的冲激响应。,解 先求方程 的冲激响应,由2.16知:,原方程的冲激响应为:,由于,所以,2.8 差分方程描述系统的响应求解,零状态/零输入响应,*冲激响应时域求解,自由/强迫响应,2004.09.08,86,信号分析与处理 高等教育出版社,将 代入得:,例2.17,已知系统的差分方程为 ，求该系统的阶跃响应，并由
39、此求冲激响应。,解 (1)求阶跃响应,阶跃响应满足方程：,齐次方程通解为:,由于是阶跃激励，所以特解形式为：,代入方程,即,完全解形式为：,后页,前页,2.8 差分方程描述系统的响应求解,零状态/零输入响应,*冲激响应时域求解,自由/强迫响应,2004.09.08,87,信号分析与处理 高等教育出版社,例2.17解续,(2) 求冲激响应,所以,由于,解得,所以,后页,前页,2.8 差分方程描述系统的响应求解,零状态/零输入响应,*冲激响应时域求解,自由/强迫响应,2004.09.08,88,信号分析与处理 高等教育出版社,2.9 由微分方程或差分方程描述的系统及其方框图表示,2.9 由微分方程
40、或差分方程描述的系统及其方框图表示,2.9.1 用线性常系数微分方程或差分方程描述的系统为LTI系统的条件,如果在激励加入之前，系统没有能量存储(或称“松弛”)，则用线性常系数微分方程或差分方程描述的系统是线性时不变的(即LTI),且是因果的。,注意: 含有常数项的线性代数方程所描述的系统也不是线性系统。 例如:,后页,前页,差分方程方框图,微分方程方框图,LTI系统的条件,2004.09.08,89,信号分析与处理 高等教育出版社,2.9.2 差分方程描述系统的方框图表示,后页,前页,一 一阶系统的方框图描述,图2.17,图2.18,图2.19,二 N阶系统的方框图描述,图2.21,2.9
41、由微分方程或差分方程描述的系统及其方框图表示,差分方程方框图,微分方程方框图,LTI系统的条件,2004.09.08,90,信号分析与处理 高等教育出版社,图(2.17) (a)一阶非递归系统 (b)一阶递归系统,返回,2.9 由微分方程或差分方程描述的系统及其方框图表示,差分方程方框图,微分方程方框图,LTI系统的条件,2004.09.08,91,信号分析与处理 高等教育出版社,图(2.18)一阶递归-非递归级联：直接I型,图(2.19) 交换图(2.18)中的级联子系统,返回,2.9 由微分方程或差分方程描述的系统及其方框图表示,差分方程方框图,微分方程方框图,LTI系统的条件,2004.
42、09.08,92,信号分析与处理 高等教育出版社,图2.21 N阶差分方程所描述系统的方框图,返回,2.9 由微分方程或差分方程描述的系统及其方框图表示,差分方程方框图,微分方程方框图,LTI系统的条件,2004.09.08,93,信号分析与处理 高等教育出版社,2.9.3 微分方程描述系统的方框图表示,一 一阶系统的方框图描述,积分一次得：,令:,图2.23,图2.22,后页,前页,2.9 由微分方程或差分方程描述的系统及其方框图表示,差分方程方框图,微分方程方框图,LTI系统的条件,2004.09.08,94,信号分析与处理 高等教育出版社,图2.22 (a)一阶非递归系统 (b)一阶递归系统,图2.23 一阶递归-非递归级联：直接I型,
