1、线性规划模型的应用,线性规划与运筹学,线性规划属于最优化的一个分支，研究在线性目标函数和线性约束条件下的最优化问题 线性规划在实践中有非常多的应用。西方的所谓管理科学其实主要是运筹学，而线性规划是运筹学的一个主要内容。 下面先介绍什么是最优化问题,什么是优化问题,1.1 运筹学模型 假设有一项工作需要5周完成，其间要往返于甲地与乙地之间。每周一要乘飞机从甲地出发，周三返回 普通往返机票价格为400元 如果往返时间跨越周末，则可享受20%的优惠 单程机票的价格是普通往返机票价格的75% 如何安排购票策略，使得总费用最小？,什么是优化问题,做一件工作，有多种方法，哪种方法做好呢？ 列出所有可行方案
2、，逐一评价 什么样的方法是可行的？实际问题有哪些约束？ 如何评价解决方案？ 求解问题的策略 往往不能一步求到最优解 先找到一个可行的方案，再尝试改进它 问题可能是离散型的，也可能是连续型的 机票购买的问题属于.,如何改进方案？如何判断已达最优？,1.1 运筹学模型,对方案的限制：每周周一从甲至乙，周三返 可能的方案 1、购买五张普通的甲-乙-甲往返票，每周一出发，周三返回 2、购买一张甲-乙的单程机票和4张跨周末的甲-乙-甲往返票，再买一张乙-甲单程票 3、先购买一张第一周周一出发、最后一周星期三返程的甲-乙-甲往返票，再购买4张跨周末的乙-甲-乙往返票,1.1 运筹学模型,评价：以最小费用为
3、标准 方案1：5*400=2000 方案2：0.75*400+4*(0.8*400)+0.75*400=1880 方案3：5*(0.8*400)=1600,1.1 运筹学模型,考虑用一段长为L的电线来围成一个矩形，要让这个矩形的面积最大，其长和宽该取多少呢？ 与前面购买机票问题不同，这里的长和宽是连续变化的，可能方案的个数有无穷多种！ 我们可以控制的因素是矩形的长与宽，记为w和h 可行方案要满足： w+h=L/2 w=0,h=0 下面建立该问题的模型,1.1 运筹学模型,max z=wh s.t. 2(w+h)=L,w,h=0 第一部分为目标函数，这里是求wh的最大值，目标函数即为评价方案优劣
4、的标准(指标) 通常求效益、成绩、利润时求最大值 求费用、风险、代价时求最小值 第二部分为约束条件，表明可行方案必须满足的条件,基本概念,满足所有约束条件的解称为可行解(feasible) 所有可行解构成问题的可行域或可行解集合 所有可行解中取得最好目标值的解称为最优解(optimal) 如果在模型求解的过程中丢掉了部分可行解，则得到的最优解可能实际上只是局部最优解或次优解 除非明确的可排除部分区域(确定不可行或最优解一定不在其中)，否则不要丢掉可能方案！,可行解、最优解、次优解,对于离散型的机票购买问题，可行方案是有限多的 若问题的规模较小，总可以枚举出所有解，求得最优解 问题规模较大时，只
5、能找到满意解或可行解 对于连续型的问题，可行方案有无限多种 不能采用枚举的方法，需要找到最优解所满足的充分性条件 最优性条件可能是局部的，也可能是全局的 最优解不仅与目标函数有关，还与可行域有关,1.2 运筹学模型的求解,运筹学模型在数学上实际就是最优化模型：在满足一定约束条件下(也可能是没有约束的)，求目标函数的最小值(或最大值) 运筹学问题通常是用某些算法求解出来的，往往要借助于计算机 有时求出最优解非常困难，这时使用启发式方法转而求取较好的可行解,1.2 运筹学模型的求解,困难 实际运筹学问题的目标和约束可能很难用数学式来描述 不好的模型会加重求解的复杂度，所以要不断调整模型 化简问题，
6、抓住关键因素：很多问题在数学上是非常困难的，但是加上实际背景的约束，往往可得到简化,仅有数学是不够的,最忌讳的是生搬硬套模型，一定要从问题的背景出发仔细分析，这样才能理解模型和改进模型 产生一个问题的因素有很多，要分析出哪些是实际可以操作的环节 建模竞赛(尤其是美国赛)的题目往往从实践中来，又要求返回到实际中去,MCM 2007 The Airplane Seating Problem,Airlines are free to seat passengers waiting to board an aircraft in any order whatsoever. It has become
7、customary to seat passengers with special needs first, followed by first-class passengers (who sit at the front of the plane). Then coach and business-class passengers are seated by groups of rows, beginning with the row at the back of the plane and proceeding forward.,MCM 2007 The Airplane Seating
8、Problem,Apart from consideration of the passengers wait time, from the airlines point of view, time is money, and boarding time is best minimized. The plane makes money for the airline only when it is in motion, and long boarding times limit the number of trips that a plane can make in a day. The de
9、velopment of larger planes, such as the Airbus A380 (800 passengers), accentuate the problem of minimizing boarding (and deboarding) time.,MCM 2007 The Airplane Seating Problem,Devise and compare procedures for boarding and deboarding planes with varying numbers of passengers: small (85210), midsize
10、 (210330), and large (450800). Prepare an executive summary, not to exceed two single-spaced pages, in which you set out your conclusions to an audience of airline executives, gate agents, and flight crews.,MCM 2007 The Airplane Seating Problem,An article appeared in the NY Times Nov 14, 2006 addres
11、sing procedures currently being followed and the importance to the airline of finding better solutions. The article can be seen at: http:/ 2007 The Airplane Seating Problem,这道题目要用仿真算法来检验各种登机方案 困难：不可能穷举所有可能的方案 问题：能否按照前面的图引导乘客？为什么？,1.6 运用运筹学的几个步骤,其实与数学建模的步骤非常类似 问题定义 目标、限制、假设 模型构造 实际的问题往往不能使用标准模型而要加以改动
12、 模型求解 有时很容易，有时很困难，尤其是数据量较大时 可能需要返回去修改模型！ 注意灵敏度分析！,1.6 运用运筹学的几个步骤,模型验证 模型是否正确(模型是在一定假设和简化下作出的)？是否符合实际？ 有时可以用仿真来检验 实施 针对实际操作的人，使用不那么数学的语言解释方案,线形规划模型,2.1 二维变量的线形规划模型 例2.1-1 某公司使用M1和M2两种原料生产内、外墙涂料内墙涂料的日需量不超过外墙涂料的日需量加1吨，内墙涂料的最大日需量是2吨,2.1 二维变量的线形规划模型,下面建立求日总利润最大的生产方案的线性规划模型 线形规划模型的构成 决策变量 目标函数 约束条件,2.1 二维
13、变量的线形规划模型,例2.1-1 很自然设内、外墙涂料的日产量为x1和x2 目标函数：利润 Z=5*x1+4*x2 这里是求利润的最大值 Max Z=5*x1+4*x2,约束条件,原料数量的约束 M1只有24吨6x1+4x2=0,2.1 二维变量的线形规划模型,例2.1-1 Max Z=5*x1+4*x2 6x1+4x2=0,线性规划模型的性质,线性体现在目标函数和约束条件都是决策变量的线性函数 线性蕴含着线性规划必须满足的3条基本性质 比例性 每个决策变量无论在目标函数中还是在约束条件中其贡献与决策变量的值成比例。 目标函数中决策变量的系数称为价值系数 约束条件中决策变量的系数称为工艺系数,
14、线性规划模型的性质,线性蕴含着线性规划必须满足的3条基本性质 可加性 所有变量在目标函数和约束中的总贡献等于每个变量各自贡献的直接和 NaCl=Na+Cl- ? 1+1=？ 确定性 线性规划中的系数都是确定的 如果不是确定的，则可能要用概率模型来描述,思考,假定涂料厂采用按量打折销售的方法，把它的外墙涂料卖给某个批发商。如果批发商每日的购买量不超过2吨，则工厂每吨的利润是5000元，否则是4500元。 给出目标函数的数学表达式，得到的函数还是线性的吗？,2.2 线性规划的图解法,对只有两个决策变量的线型规划问题，可以通过图解法直观的求解 图解法的步骤： 1.求可行解集合：分别求出满足每个约束包
15、括变量非负要求的区域，其交集为可行解集合，或称可行域 2.绘制目标函数图形。先过原点作一条矢量指向点（c1,c2)，矢量的方向就是目标函数增加的方向，称为梯度方向，再作一条与矢量垂直的直线，这条直线就是目标函数的等值线；,2.2 线性规划的图解法,图解法的步骤： 3.求最优解。依据目标函数求最大或最小移动目标函数直线，直线与可行域相交的点对应的坐标就是最优解。 一般地，将目标函数直线放在可行域中求最大值时直线沿着矢量方向移动求最小值时沿着矢量的反方向移动,思考,思考,2 确定下列情况中Z的增加方向 max z=x1-x2 max z=-5x1-6x2 max z=-x1+2x2 max z=-
16、3x1+x2,x1,x2,O,10,20,30,40,10,20,30,40,(3,4),(15,10),最优解X=(15,10),最优值Z=85,注意观察可行域的几何特征及最优解在可行域中的位置,2,4,6,x1,x2,2,4,6,最优解X=(3,1) 最优值Z=5,(3,1),min Z=x1+2x2,(1,2),可行域无界,注意观察可行域的几何特征及最优解在可行域中的位置,2,4,6,x1,x2,2,4,6,X（2）（3,1）,X（1）（1,3）,(5,5),min Z=5x1+5x2,有无穷多个最优解 即具有多重解,通解为,01,当=0.5时，=(x1,x2) =0.5(1,3)+0.
17、5(3,1)=(2,2),注意观察可行域的几何特征及最优解在可行域中的位置,2,4,6,x1,x2,2,4,6,(1,2),无界解(无最优解),max Z=x1+2x2,x1,x2,O,10,20,30,40,10,20,30,40,50,50,无可行解 即无最优解,max Z=10x1+4x2,线性规划解的形式,由以上例题可知，线性规划的解有4种形式： 1.有唯一最优解 2.有多重解 3.有无界解 4.无可行解 1、2情形为有最优解 3、4情形为无最优解,线性规划解的特点,由以上例题可知，两个变量的线性规划的可行域和最优解有如下特点： 1.可行域为多边形 2.若可行域有界，则必有最优解 3.
18、若存在最优解，则一定出现在边界上 4.最优值一定在边界的顶点取到,2.3 线性规划应用选讲,例 2.3-1 城市更新模型 某市由于财政预算不足，决定征用一块市内的住宅区域进行现代化开发，以增加税收来源。 改造工程包括： 拆除不符合标准的旧住宅以腾出空地 新建住宅,2.3 线性规划应用选讲,例 2.3-1 城市更新模型 拆除大约300套旧住宅，每套占地0.25英亩。拆除成本为每套2000美元 新的单、双、三和四户住宅单元的土地面积分别为0.18、0.28、0.4和0.5英亩。 街道、开阔地和公共设施占可利用土地面积的15% 三户与四户住宅单元的总和至少占总住宅单元的25%。单户和双户住宅单元数分
19、别至少占总单元数的20%和10%,2.3 线性规划应用选讲,例 2.3-1 城市更新模型 单、双、三和四户住宅每单元征税额分别为1000$、 1900$、2700$和3400$ 单、双、三和四户住宅每单元的建筑成本分别是50000$、70000$、130000$和160000$。 通过当地银行最高可筹措到15 000 000$ 问题：应建多少单元各种类型的住宅使得税收总额达到最大？,建立数学模型,要考虑的因素 如何评价一个决策方案的优劣？ 从哪些方面进行优化，优化的目标是什么？ 这个目标如何用数学式表达？ 很自然首先要列出决策变量，也就是在这个问题中哪些因素是我们可以控制的。最终目标函数用决策
20、变量来表达。 决策变量及其范围在一定程度上给出了系统的边界 超出边界的因素不是模型中要考虑的,建立数学模型,决策变量的设置有时相当简单，有时富于技巧性 原则便于表述和理解，把内在联系或规律表示清楚便于求解 以上两个要求可能是矛盾的！ 在这个例子中，我们可以决定的量是要拆除的旧单元的数目和每种新单元建设的数目 分别设x1、x2、x3和x4为单、双、三、四户住宅单元的建造数；设x5为拆除旧住宅单元的数目,下面就要用xi来表示目标函数和约束 目标：约束 土地可用量：新建住宅面积=净可用面积 0.18x1+0.28x2+0.4x3+0.5x4=0.85*(0.25x5) 被拆除的旧住宅数量不超过300
21、套 x5=300,C称作价值系数,建立数学模型,各种类型住宅单元数量的限制 三户与四户住宅单元的总和至少占总住宅单元的25%。 x3+x4=0.25(x1+x2+x3+x4) 单户和双户住宅单元数分别至少占总单元数的20%和10% x10.2(x1+x2+x3+x4) x20.1(x1+x2+x3+x4) 总预算资金的限制 (50x1+70x2+130x3+160x4)+2x5=15 000,建立数学模型,完整的模型,建立数学模型,求解 注：这个问题严格的讲要使用整数规划模型，因为住宅的数量不可以是小数！,实战要点,简单的讲，数学模型就是用数学符号构造数学表达式来表示量与量之间的数学关系 首先
22、要弄清楚的问题： 哪些因素是变量 哪些因素是常量或参数 谁是谁的函数因果关系 前两个问题涉及到题目的限制和论文的假设部分 假设条件太多太特殊，模型缺乏一般性 假设条件太少，模型太复杂不易建立或求解,2007全国赛A题：中国人口增长预测,中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是。 近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。2007年初发布的国家人口发展战略研究报告(附录1) 还做出了进一步的分析。,2007全国赛A题：
23、中国人口增长预测,关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。附录2就是从中国人口统计年鉴上收集到的部分数据。 试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考附录2中的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测；特别要指出你们模型中的优点与不足之处。 看一看所给的数据！,2007全国赛A题：中国人口增长预测,已有数据包括（分为城市、城镇和乡村三类） 各年龄段男、女性占总人口的比率 各年龄段育龄妇妇女生育率 各年龄段男、女性人口死亡率 题目中涉及的因素还有 总和生育率 人口扶养比 老龄化率 出生人口性别比
24、 人口红利,这些因素之间是什么样的因果关系？ 谁决定了谁？,用什么样的模型来描述这个问题？,题目中给出了2001年到2005年的市、镇和乡人口不同性别的人在该类人口中所占的百分比（），以及死亡率数据和生育率数据 非机理模型：内部机制未知，从外部观测(黑盒模型) 将各年总人口数据进行插值外推得到 这个模型对这个问题合适吗？ 机理模型 差分方程模型：Leslie模型 微分方程模型,用什么样的模型来描述这个问题？,x年龄段t年人口数*该年龄段存活率=x+1年龄段t+1年人口数若考虑到人口迁移，人口数向量之间有关系其中的矩阵A即为Leslis矩阵,Leslis矩阵模型,其中B表示出生率，S表示存活率，
25、g表示迁入量 如何计算这些量？这些量是常数吗？,01-05各年龄平均死亡率的变化趋势,01-05年各年龄妇女平均生育率,生育率曲线是常数吗？,如何处理异常数据,2003年的平均生育率与其他组数据有明显差异，将其剔除，其他年曲线基本重合，因此在短期预测时，各年龄妇女生育率可以对各年求平均得到。 2003年：非典影响生育率？ 2003年：羊年 异常数据中有可能包含了没有发现的规律 和教科书上的题目不同，建模竞赛的题目是会包含错误的！因为在建模的过程中我们往往会面对错误的信息和数据！,城乡差别,数据说话 城市与乡村在生育率和死亡率上有显著差别 乡村生育率曲线峰值较城市高，年龄偏小 乡村死亡率比城市提
26、前加速 数据背后的原因：合情、合理的假设和解释 生育率和死亡率是常数吗？ 什么决定了生育率曲线和死亡率曲线的形状？,思考,人口短期预测和长期预测在模型上有什么不同的要求？,例2.3-6 多周期生产平滑模型,一家公司在未来的4个月内（4、5、6和7月）生产某种产品。每月的需求量为520、720、520、620件。 公司有正式工10人，如果需要可以通过雇佣和解雇临时工人来适应生产要求的变动。 每个月雇佣和解雇一个工人的成本是200$和400$ 正式工每月的产量是12件，临时工只能生产10件 公司可以在每个月生产多于需求的产品，在经过每个月每件50$的库存环节后再出售 请给出该公司最优的雇佣、解雇方
27、案,例2.3-6 多周期生产平滑模型,首先，每月正式工的产量为10*12，所以必须雇佣临时工才能满足生产需求 由于每月需求并不相等，所以简单按最大产量雇佣会使得在某些月份会多出人来 灵活使用临时工人和库存策略会改进成本 对于这样的简单的经典问题，建模实际上就是用数学模型描述所有的可能，优化算法会给出其中成本最低的最优解，关键在于不要多加约束或少加约束,例2.3-6 多周期生产平滑模型,由于10名正式工人是固定的条件，所以从每月的需求中减去这10名工人的产量，得到实际需要临时工人产出的产量为：400、600、400和500件 由于零时工人的雇佣成本和解雇成本是常数，所以该问题的变量可以简化处理
28、假设，雇佣发生在每月月初，解雇发生在每月月末（或者理解为工作不足一月按月为单位计算成本） 设xi为第i个月初临时工人的数量 Si为第i个月初雇佣或解雇临时工人的数量 Ii为第i个月月末的库存产品件数,例2.3-6 多周期生产平滑模型,xi=0,Ii=0 Si实际上是临时工人的变化数，可以是正(人数增加，新雇佣工人)，也可以是负(人数减少，解雇工人) 目标是最小化总成本，包括雇佣与解雇成本和库存成本 库存成本=50*(I1+I2+I3) 为什么没有I4? 雇佣与解雇成本=200*(3月、4月、5月和6月初雇佣临时工人的数量)+400*(3月、4月、5月和6月初解雇临时工人的数量),例2.3-6
29、多周期生产平滑模型,每个月库存量之间的约束 上月库存+当月产量=当月需求量+当月库存 已知临时工人各月的产量为10xi，则有10x1=400+I1 3月I1+10x2=600+I2 4月I2+10x3=400+I3 5月I3+10x4=500 6月x1,x2,x3,x4=0, I1,I2,I3=0,例2.3-6 多周期生产平滑模型,雇佣和解雇量之间的约束 当月零时工人人数=上月临时工人人数+变动量 Si=xi-xi-1 关键在于变动量即前面的Si表示雇佣或解雇数量是可正可负的，为了建立线性规划模型，还需进一步处理 令Si=Si-Si+ Si-是临时(增加)雇佣工人的数量，Si-=0 Si+是临
30、时解雇(减少)工人的数量, Si+=0,如果这样表示会出现什么问题？,例2.3-6 多周期生产平滑模型,Si=Si-Si+ 上式对Si-和Si+有什么逻辑上的要求？ 雇佣和解雇成本 雇佣成本=200(S1-+S2- +S3-+S4-) 解雇成本=400(S1+S2+ +S3+S4+),例2.3-6 多周期生产平滑模型,例2.3-6 多周期生产平滑模型,最优解 z=19500$ x1=50,x2=50,x3=45,x4=45 S1-=50,S3+=5 I1=100,I3=50 思考：如果解雇费用和雇佣时间的长短有关系，每月的生产成本和库存成本都不同，则该如何建模？,Bob要接一个4个月的建设工程
31、，需要雇佣卡车。他现在手头上有20辆，但是从第一到第四个月这20辆车只有1，2，3，1辆可以使用，其他的都有任务，而最郁闷的是这个工程4个月里面分别需要10，12，14，8辆卡车。 卡车可以雇佣1，2，3，4个月的，Bob要考虑分别雇佣时间长度为14个月的卡车需要多少辆才能使自己的雇佣花费最少。,例 2.3-8 公交车调度安排,某市正在研究寻求能满足运输需求的最少公交车数 经研究发现，所需的最少公交车数随一天中的时间不同而变化，而且所需要的最少公交车数在若干连续的4小时间隔内可被近似为常数 为了完成所需的日常维护，每辆公交车一天只能连续运行8小时 要求：确定每班运行公交车的数量，以满足最小需求
32、，使所运行的公交车总数量最少,例 2.3-8 公交车调度安排,0:00,12,8,4,8:00,12:00,16:00,20:00,0:00,4:00,8,10,7,12,4,4,例 2.3-8 公交车调度安排,定义变量,例 2.3-8 公交车调度安排,目标：总的车辆最少 min z=x1+x2+x3+x4+x5+x6 约束：满足各时段的需求 x1 +x6 =4 x1+x2 =8x2+x3 =10x3+x4 =7x4+x5 =12x5+x6 =4,为什么不用等于号？,线性规划模型的软件求解,Excel：直观，但变量数和约束数有限制 Matlab：常用，但是有的功能使用不方便 Lingo：专业，
33、强大，大家自学,第3章 单纯形方法和灵敏度分析,本次讲座由于内容的限制不深入线性规划的求解方法单纯形法，虽然就方法本身而言是一个体现优化思想的极好例子。 在日常学习、工作和比赛中可以方便的使用软件求解模型，因而对于大家实际的重点在于如何构造线性规划模型。 这里只给出一些概念上的澄清,3.1 等式形式的线性规划模型,单纯形法要求线性规划模型具有下述的称为标准型的形式： 约束都是等式 具有非负的右端项 变量非负 这个要求只针对单纯性方法，很多软件并无此限制,3.1.1 将不等式转化为等式,小于等于 右端项减左端项将大于等于0 在左端加上左端比右端少的量则可转化为等式约束 6x1+4x2+s1=24
34、,s1=0 s1称为松弛变量,3.1.1 将不等式转化为等式,同理在大于等于约束式的左端减去一个大于等于0的量可使不等式变为等式 x1+x2=800 x1+x2-S1=800 S1称为剩余变量 右端项为负值的处理 -x1+x2=-3 -x1+x2+s1=-3 x1-x2-s1=3,3.1.1 将不等式转化为等式,不等式转化为等式的目的 线性不等式组容易求解还是线性等式组容易求解？ 化为等式后可用采用线性方程组的解法求解,3.1.2 处理无限制变量,若xi=0,xi=0,从线性代数方程组的角度讨论,化为等式后，线性规划模型可表示如下Max Z=CXAX=bX=0 其中A属于Rm*n，通常而言，m
35、n时，称为超定方程组，往往是矛盾的无解 转化为求解最小二乘解 当mn时，称为待定方程组，往往有多解 优化问题往往是允许多解的问题,单纯形方法,细节不在课堂上解释 要求大家掌握软件求解 单纯形方法的细节体现了优美的迭代过程的构造,3.6 灵敏度分析,在线性规划模型或其他数学模型中，外部约束(表现为各种参数，如线性规划模型中的价值系数、工艺系数和资源限量)决定模型的解。 这些参数有的是有客观取值的，有的则是主观估计的，可能跟准确值有较大出入 出于以上考虑，线性规划理论中专门讨论所谓的灵敏度分析，找出在不改变最优解/最优基的情况下输入参数允许变化的范围,3.6 灵敏度分析,线性规划的灵敏度分析问题，更一般性地可对应到输入输出系统中的稳定性分析，即输出对输入的微小变化的敏感性。 在数学模型中，这首先取决于实际系统的性态，其次取决于所建立的数学模型 在实际建模的例子中，通常数值算例是针对一组输入参数的。 要注意我们的成果是一个模型(一个方法)而不是一个简单的结果，所以通常要变化输入参数以给出在不同情况下对实际问题的建议。,3.6 灵敏度分析,见：灵敏性分析的意义.ppt,
