1、1,第五章,线性定常系统的综合,2,第五章 线性定常系统的综合,建立系统的状态空间表达式 求控制系统状态表达式的解 运动性分析 线性系统能控性和能观性分析 稳定性分析线性定常系统的综合,3,主要内容,线性反馈控制系统的基本结构及其特性 极点配置问题 系统镇定问题 系统解耦问题 状态观测器 利用状态观测器实现状态反馈的系统,第五章 线性定常系统的综合,4,5.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性,第五章 线性定常系统的综合,反馈控制系统 输出反馈和状态反馈,状态反馈,状态反馈是将系统的每一个状态变量乘以相应的反馈系数，然后反馈 到输入端与参考输入相加形成控制律，作为受控系统的控制输入。,5,状
2、态反馈,受控对象的状态空间表达式,状态线性控制律u为,状态反馈闭环系统的状态空间表达式,第五章 线性定常系统的综合,或,或,6,状态反馈,闭环系统的传递函数,比较开环系统和闭环系统可以看出， D=0时，状态反馈阵K的引入，并不增加系统的维数，但可以通过K的选择自由的改变闭环系统的特征值，从而使系统获得所要求的性能。,第五章 线性定常系统的综合,或,反馈影响系统的特征值,7,输出反馈,输出反馈是采用输出矢量y构成线性反馈律。在经典控制理论中主要讨论这种反馈形式。,受控对象的状态空间表达式,第五章 线性定常系统的综合,或,8,输出反馈,状态线性控制律u为,输出反馈闭环系统的状态空间表达式,闭环系统
3、的传递函数,第五章 线性定常系统的综合,D=0时,反馈影响系统的特征值,9,输出反馈,比较状态反馈和输出反馈可以看出，D=0时，输出反馈中的HC与状态反馈中的K相当。 只有当C=I时，HC=K，两种反馈才完全等同。,受控系统的传递函数,Wo(s)和WH(s)存在关系如下,或,第五章 线性定常系统的综合,10,从输出到状态矢量导数的反馈,从系统输出到状态矢量导数的线性反馈形式在状态观测器获得应用。,受控对象的状态空间表达式,第五章 线性定常系统的综合,11,从输出到状态矢量导数的反馈,整理得闭环系统的状态空间表达式,当D=0时，闭环系统的传递函数,闭环系统的状态空间表达式,反馈影响系统的特征值,
4、第五章 线性定常系统的综合,12,动态补偿器,常常要通过引入一个动态子系统来改善系统性能，这种动态子系统，称为动态补偿器。,使用状态观测器的状态反馈系统，就是典型的动态补偿器。系统的维数等于受控系统与动态补偿器二者维数之和。,有更好的系统性能,第五章 线性定常系统的综合,13,闭环系统的能控性和能观性,问题：引入各种反馈成闭环系统后，系统的能控性和能观性是否受影响？ 定理5.1.1 状态反馈不改变受控系统0=（A,B,C)的能控性。但不保证系统的能观性不变。 定理5.1.2: 输出反馈不改变受控系统的能控性和能观性。,第五章 线性定常系统的综合,14,例5-1 试分析系统引入状态反馈K=（-1
5、， 0）后的能控性与能观性。,解：,状态反馈闭环系统的状态空间表达式,闭环系统的状态矩阵为,第五章 线性定常系统的综合,15,能控性矩阵的秩,能控性矩阵的秩,原系统是能控且能观的，引入状态反馈后，闭环系统的能控性不变，系统不再是状态完全可观的。,第五章 线性定常系统的综合,16,5.2 极点配置问题,控制系统的性能主要取决于系统极点在根平面上的分布 极点配置：通过选择反馈增益矩阵，将闭环系统的极点恰好配置在根平面上所期望的位置，以获得所希望的动态性能。,第五章 线性定常系统的综合,17,以3阶能控标准型为例，设计状态反馈控制律,状态反馈控制律为,得到闭环系统,第五章 线性定常系统的综合,采用状
6、态反馈（单输入单输出系统）,18,期望的闭环系统的特征多项式为,闭环系统的特征多项式为,实现极点配置，需满足,第五章 线性定常系统的综合,19,能控标准型极点配置,3阶能控标准型系统，极点配置问题可解 推导出了极点配置状态反馈控制律 极点配置状态反馈控制律是唯一的 可以推广到n阶的一般能控标准型模型,第五章 线性定常系统的综合,20,例5-2 对系统,设计状态反馈控制律，使得闭环系统的极点是-2和-3.,解：设控制律为,闭环系统的状态方程为,第五章 线性定常系统的综合,21,可得,极点配置状态反馈控制律为,第五章 线性定常系统的综合,22,采用状态反馈（单输入单输出系统）,定理5.2.1 采用
7、状态反馈对系统0=(A,b,c)任意配置极点的充要条件是0完全能控。采用状态反馈进行极点配置的步骤： 1 判断系统可控性 2 把系统转换为能控标准型 3 加入状态反馈增益阵，求闭环系统的特征方程式,第五章 线性定常系统的综合,23,采用状态反馈进行极点配置的步骤：（续）,4、使闭环极点与给定的期望极点相符，根据特征方程，求增益阵 。 5、求对应于原状态变量的K， 闭环系统的特征值可通过下式计算,第五章 线性定常系统的综合,24,例5-3 设系统的传递函数为,试设计状态反馈控制器，试闭环系统的极点为-2，-1j.,解：1）系统传递函数没有零极点对消，所以系统能控且能观。能控标准I型实现为,第五章
8、 线性定常系统的综合,25,3）根据给定的极点值，期望的特征多项式为：,4）比较特征多项式对应项的系数，得,2）加入状态反馈阵K=(k0,k1,k2)。闭环系统特征多项式为：,第五章 线性定常系统的综合,26,优点：能控标准型使得计算简单，可以直接计算状态反馈阵K。 缺点：能控标准型所需的状态变量信息难以检测，给工程实现增加困难,串联实现，系统的状态方程为,假定状态反馈阵为K=(k0,k1,k2),第五章 线性定常系统的综合,27,闭环系统的特征方程为,根据给定的极点值，期望的特征多项式为：,比较两个特征方程得,第五章 线性定常系统的综合,28,关于极点配置的问题,n个极点以共轭对的形式出现
9、主导极点 考虑零点的影响 系统的响应速度并非越快越好 单输入系统，系统极点配置不影响系统的零点 单输入系统能控，控制器唯一，多输入系统，控制器不唯一。,29,采用输出反馈,定理5.2.2 对完全能控的单输入-单输出系统 0=(A,b,c)， 不能采用输出线性反馈来实现闭环系统极点的任意配置。 定理5.2.3 对完全能控的单输入-单输出系统0=(A,b,c)， 通过带动态补偿器的输出反馈实现极点任意配置的充要条件是： 0完全能观 动态补偿器的阶数为n-1,第五章 线性定常系统的综合,30,定理 5.2.4 对系统0=(A, b, c)采用从输出到 的线性反馈实现闭环极点任意配置的充要条件是0完全
10、能观。 采用输出到 反馈进行极点配置的步骤： 1 判断系统可观性 2 把系统转换为能观标准型 3 加入输出反馈增益阵，求闭环系统的特征方程式,采用从输出到 反馈,第五章 线性定常系统的综合,31,采用输出到状态变量微分反馈进行极点配置的步骤：（续）,4.使闭环极点与给定的期望极点相符，根据特征方程，求增益阵 。 5.求对应于原状态变量的G， 闭环系统的特征值可通过下式计算,第五章 线性定常系统的综合,32,例5-4 对系统,试选择反馈增益矩阵G,使得闭环系统的极点是-5和-8.,解：（1）系统的能观性矩阵为,系统是能观的。,第五章 线性定常系统的综合,33,（2） 设 ，得闭环特征多项式：,（
11、3）期望特征多项式为：,（4）比较系数得,第五章 线性定常系统的综合,34,5.3 系统镇定问题,系统镇定：对受控系统0=(A,B,C)通过反馈使其极点均具有负实部，保证系统为渐进稳定。 如果一个系统通过状态反馈使其渐进稳定，则称系统是状态反馈能镇定的。 如果一个系统通过输出反馈使其渐进稳定，则称系统是输出反馈能镇定的。,第五章 线性定常系统的综合,35,状态反馈,定理 5.3.1 对系统0=(A, B, C)，采用状态反馈能镇定的充要条件是其不能控子系统为渐进稳定。 证明：（1）设系统是不完全能控的，可以通过线性非奇异变换按能控性分解为：,为能控子系统,为不能控子系统,第五章 线性定常系统的
12、综合,36,（2）由于线性变换不改变系统的特征值，所以有,（3）由于系统在按能控性分解前后能控性和稳定性是不变的。考虑对分解后的状态空间表达式引入反馈阵：,得闭环系统的状态矩阵：,第五章 线性定常系统的综合,37,闭环系统的特征多项式为,比较引入状态反馈前后的特征多项式，可以看出，引入状态反馈矩阵 ,只能通过选择 使 得 的特征值均具有负实部，从而使能控子系统为渐进稳定。但 的选择并不能影响不能控子系统的特征值分布。因此，当且仅当不能控子系统状态矩阵 特征值均具有负实部，即不能控子系统是渐进稳定的，整个系统才是状态反馈镇定的。,第五章 线性定常系统的综合,38,输出反馈,定理5.3.2 系统0
13、=(A, B, C)通过输出反馈能镇定的充要条件是0结构分解中的能控且能观子系统是输出反馈能镇定的，其余子系统是渐进稳定的。 证明：（1）对系统0=(A, B, C)进行能控性能观性分解，有：,第五章 线性定常系统的综合,39,（2） 系统在分解前后能控性和能观性和能镇定性不变，所以分解系统后引入输出反馈阵 ，可得闭环系统的状态矩阵：,第五章 线性定常系统的综合,40,闭环系统的特征多项式为,从闭环系统的特征多项式可以看出，当且仅当 的特征值均具有负实部时，闭环系统才为渐近稳定。,对一个能控且能观的系统，既然不能通过输出线性反馈任意配置极点，自然也不能保证这类系统一定具有输出反馈的能镇定性。,
14、第五章 线性定常系统的综合,41,输出到状态变量导数的反馈,定理 5.3.3 对系统0=(A, B, C)，采用从输出到 反馈实现镇定的充要条件是0的不能观子系统为渐近稳定。 证明：（1）将系统0=(A, B, C)进行能观性分解，得：,第五章 线性定常系统的综合,42,特征多项式为,要使系统获得镇定，不能观的子系统必须为渐近稳定,（2） 由于系统在按能观性分解前后能控性和稳定性不变，对系统 引入从输出到 的反馈阵 ，于是有：,第五章 线性定常系统的综合,43,5.4 系统解耦问题,解耦问题是多输入一多输出系统综合理论中的重要组成部分。其设计目的是寻求适当的控制规律，使输入输出相互关联的多变量
15、系统实现每一个输出仅受相应的一个输入所控制，每一个输入也仅能控制相应的一个输出，这样的问题称为解耦问题。,第五章 线性定常系统的综合,44,若其传递函数矩阵：,是一个对角型有理多项式矩阵，则称该系统是解耦的。,第五章 线性定常系统的综合,设 是一个m维输入、m维输出的受控系统，即,45,多变量解耦系统示意图,解耦前,解耦后,46,实现系统解耦的方法,前馈补偿器解耦 只需要在待解耦系统的前面串接一个前馈补偿器，使串联组合系统的传递函数矩阵成为对角形的有理函数矩阵。（使系统的维数增加） 状态反馈解耦 （不增加系统的维数）,第五章 线性定常系统的综合,47,前馈补偿器解耦,48,式中， 为串接补偿器
16、后系统的传递函数矩阵。,49,状态反馈解耦,状态反馈解耦系统的结构如下图所示：,50,1)定义 ，是满足不等式：,且介于0到m-1之间的一个最小整数l。,式中， 为系统输出矩阵C中的第i 行向量 ，因此，di 的下标i 表示行数。,2）根据di定义的矩阵,51,定理5.4.1 受控系统 采用状态反馈能解耦的充要条件是mm维矩阵E 为非奇异。即,2. 能解耦性判据,52,积分型解耦系统,定理5.4.2 若系统 是状态反馈能解耦的，则闭环系统 ：,是一个积分型解耦系统。其中状态反馈矩阵为：,输入变换阵为,53,5.5 状态观测器,状态反馈可以提高系统的性能，但需要用到所有的状态信息 系统的状态可能
17、不是物理量，不能测得 即使是物理量，也可能不能直接测得 没有状态信息，就不能实现状态反馈 构造状态观测器,第五章 线性定常系统的综合,54,状态观测器定义,设线性定常系统0=(A,B,C)的状态矢量x不能直接检测。如果动态系统 以0的输入u和输出y作为其输入量，能产生一组输出量 渐近于x，即,则称 是0的一个状态观测器。,第五章 线性定常系统的综合,55,构造状态观测器的原则,1) 观测器 应以0的输入u 和输出y 为其输入量。,4) 在结构上应尽量简单。即具有尽可能低的维数，以便于物理实现。,3) 的输出 应以足够快的速度渐近于 ，即 应有足够宽的频带。但从抑制干扰角度看，又希望频带不要太宽
18、。因此，要根据具体情况予以兼顾。,2）为满足 ，0必须完全能观，或其不能观子系统是渐近稳定的。,第五章 线性定常系统的综合,56,状态观测器的存在性,定理5.5.1 对线性定常系统0=(A,B,C)，状态观测器存在的充分必要条件是0的不能观子系统为渐近稳定的。 定理5.5.2 若线性定常系统0=(A,B,C)完全能观，则其状态矢量x可由输出y和输入u进行重构。,第五章 线性定常系统的综合,57,若系统完全能观，rank(N)=n，则有,第五章 线性定常系统的综合,58,利用y和u重构状态x,开环观测器,第五章 线性定常系统的综合,59,渐近状态观测器,第五章 线性定常系统的综合,60,反馈矩阵
19、G的设计,状态估计值 和状态真值x 之间的误差矢量为,状态误差方程为,微分方程的解为,第五章 线性定常系统的综合,61,如果 ，则在t0的所有时间内， 即状态估计值与状态值严格相等。如果 ，二者初值不相等，但(A-GC)的特征值均具有负实部，则 将渐近衰减至零，观测器的状态将渐近地逼近实际状态。状态逼近的速度取决于G的选择和(A-GC)特征值的配置。 如果系统（A,B,C)不是状态完全能观的，但不能观子系统是渐近稳定的，则仍可构造状态观测器，但观测器状态趋近状态的速度不能由G任意选择。,第五章 线性定常系统的综合,62,已知系统：,设计状态观测器使其极点为-10，-10.,解: (1) 检验能
20、观性,N满秩，系统能观，可构造观测器,第五章 线性定常系统的综合,63,（2）将系统化成能观标准II型,第五章 线性定常系统的综合,64,（4） 根据期望极点的期望特征多项式,（5）比较各项系数得：,（3）引入反馈阵 ，得观测器特征多项式为：,第五章 线性定常系统的综合,65,（6） 反变换到x状态下,（7）状态观测器方程为：,第五章 线性定常系统的综合,66,当系统维数比较低时，在检验能观性后也可以不经过化成能观标准型直接按特征多项式比较来确定反馈阵G。,第五章 线性定常系统的综合,67,降维观测器,全维观测器 降维观测器 降维观测器设计步骤： 通过线性变换把状态按能检测性分解成两部分，一部
21、分需要重构，一部分由输出y直接获得。 构造降维观测器,第五章 线性定常系统的综合,68,设系统0=(A,B,C):,第五章 线性定常系统的综合,69,选择变换阵,第五章 线性定常系统的综合,70,将系统按能检测性分解的结构图,第五章 线性定常系统的综合,z,71,需重构状态变量对应的子系统,令,对系统 设计观测器,令,第五章 线性定常系统的综合,72,整个状态矢量 的估计值为：,再变换到 的状态下有,因为 是直接可测的，所以这m个状态分量没有估计误差。,状态估计误差方程为：,第五章 线性定常系统的综合,73,降维观测器结构图,第五章 线性定常系统的综合,74,第五章 线性定常系统的综合,75,
22、（2）构造线性变换阵做线性变换,状态变量x3可有y直接提供，故只需设计二维状态观测器。,第五章 线性定常系统的综合,76,（3）引入状态观测矩阵 ，得新的状态矩阵为,特征多项式为,（4）期望的特征多项式为,（5）比较多项式系数得,第五章 线性定常系统的综合,77,（6）系统的观测器方程为,第五章 线性定常系统的综合,78,（7）做线性变换得到原系统的状态估计,第五章 线性定常系统的综合,79,降维观测器结构图,第五章 线性定常系统的综合,80,5.6 利用状态观测器实现状态反馈的系统,第五章 线性定常系统的综合,系统的结构与状态空间表达式,设能控能观的受控系统0=（A,B,C)为,状态观测器G
23、为,反馈控制律为：,81,带状态观测器的状态反馈系统,整个闭环系统的状态空间表达式：,写成矩阵的形式为：,2n维的闭环控制系统,第五章 线性定常系统的综合,82,闭环系统的基本特性,闭环极点设计的分离性,闭环系统的极点包括0直接状态反馈系统K(A+BK,B,C)的极点和观测器G的极点两部分。二者独立，相互分离。,设状态估计误差为,第五章 线性定常系统的综合,83,引入等效变换，令变换矩阵为：,经线性变换后的系统为：,可以展开成,第五章 线性定常系统的综合,84,带观测器状态反馈系统的等效结构图,线性变换不改变系统的极点，系统的极点为：,第五章 线性定常系统的综合,85,第五章 线性定常系统的综
24、合,86,带观测器状态反馈系统与带补偿器输出反馈系统的等价性,仅就传递特性而言，带观测器的状态反馈系统完全等效于同时带有串联补偿器和反馈补偿器的输出反馈系统。,带观测器的状态反馈系统,W0(s)为受控系统0的传递函数阵,*G为带反馈阵K的观测器系统,第五章 线性定常系统的综合,87,系统 *G 的状态空间表达式为：,对上式取拉氏变换，推导*G 的传递特性,第五章 线性定常系统的综合,88,带观测器状态反馈系统传递特性的等效变换,第五章 线性定常系统的综合,89,根据反馈系统传递函数阵计算，得,为系统(A-GC+BK), B, K, I)的传递函数,由补偿器构成的闭环系统结构图,第五章 线性定常
25、系统的综合,90,解： （1） 系统的传递函数没有零极对消，所以系统是能观能控的，存在状态反馈和状态观测器。根据分离特性分别进行设计。 （2）求状态反馈增益矩阵 为方便观测器设计，直接写出系统的能观标准II型实现为：,第五章 线性定常系统的综合,91,设K=（k1, k2), 的闭环系统矩阵为：,闭环系统的特征多项式为：,期望闭环系统的特征多项式为：,第五章 线性定常系统的综合,92,比较特征多项式系数得,即,（3） 求全维观测器 设,得观测器的状态矩阵,特征多项式为,第五章 线性定常系统的综合,93,期望的特征多项式,比较特征多项式的系数得：,全维观测器的微分方程为：,第五章 线性定常系统的综合,94,全维观测器闭环系统结构图,第五章 线性定常系统的综合,+,-,95,（4） 求降维观测器,状态变量x2可以直接观测，对状态变量x1设计降为状态观测器G=(g),第五章 线性定常系统的综合,96,降维观测器的方程为：,降维观测器闭环系统结构图,第五章 线性定常系统的综合,
