1、1 第1 课时 圆的标准方程 学习目标 1.掌握圆的定义及标准方程.2.能根据圆心、半径写出圆的标准方程，会用待 定系数法求圆的标准方程. 知识点一 圆的标准方程 思考1 确定一个圆的基本要素是什么？ 思考2 在平面直角坐标系中，如图所示，以(1,2)为圆心，以2 为半径的圆能否用方程 (x1) 2 (y2) 2 4 来表示？ 梳理 (1)方程(xa) 2 (yb) 2 r 2 (r0)叫做以点(a，b)为圆心，r 为半径的圆的标准方 程. (2)以原点为圆心，r 为半径的圆的标准方程为x 2 y 2 r 2 . 知识点二 点与圆的位置关系 思考 点A(1,1)，B(4,0)，C( ， )同圆
2、x 2 y 2 4 的关系如图所示，则OA，OB，OC 同 2 2 圆的半径r2 是什么关系？ 梳理 点M(x 0 ，y 0 )与圆C：(xa) 2 (yb) 2 r 2 的位置关系及判断方法 位置关系 利用距离判断 利用方程判断 点M 在圆上 CMr (x 0 a) 2 (y 0 b) 2 r 2 点M 在圆外 CMr (x 0 a) 2 (y 0 b) 2 r 2 点M 在圆内 CMr 2 . 2.求圆的标准方程时常用的几何性质 求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标和半径，为此常用到圆的以下几何性质： (1)弦的垂直平分线必过圆心. (2)圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心. (3
3、)圆心与切点的连线长是半径长. (4)圆心与切点的连线必与切线垂直. 3.求圆的标准方程常用的方法 (1)待定系数法.(2)直接法.5 答案精析 问题导学 知识点一 思考1 圆心和半径 思考2 能 知识点二 思考 OA2，OC2. 题型探究 例1 (1)(x2) 2 y 2 9 (2)(x5) 2 (y3) 2 25 跟踪训练1 解 设圆心为(a,0)， 则 a52012 ， a12032 解得a2， 故r . 252012 10 所以圆C 的标准方程为(x2) 2 y 2 10. 例2 解 方法一 (待定系数法) 设圆的标准方程为(xa) 2 (yb) 2 r 2 ， 则有Error! 解得
4、Error! 圆的标准方程为(x4) 2 (y3) 2 25. 方法二 (直接法) 由题意知OP 是圆的弦，其垂直平分线为xy10. 弦的垂直平分线过圆心， 由Error!得Error! 即圆心坐标为(4，3)， 半径为r 5. 4232 圆的标准方程为 (x4) 2 (y3) 2 25. 跟踪训练2 解 方法一 设所求圆的标准方程是(xa) 2 (yb) 2 r 2 ，因为A(0,5)， B(1，2)，C(3，4)都在圆上， 所以它们的坐标都满足圆的标准方程，6 于是有Error! 解得Error! 故所求圆的标准方程是(x3) 2 (y1) 2 25. 方法二 因为A(0,5)，B(1，2
5、)，所以线段AB 的中点坐标为( ， )，直线AB 的斜率为 1 2 3 2 k AB 7，因此线段AB 的垂直平分线的方程是y (x )，即x7y100.同 25 10 3 2 1 7 1 2 理可得线段BC 的垂直平分线的方程是2xy50. 由Error! 得圆心坐标为(3,1) 又圆的半径长r 5， 302152 故所求圆的标准方程是(x3) 2 (y1) 2 25. 例3 解 (1)方法一 设圆心为C(a，b)，半径为r， 则由C 为MN 的中点， 得a 4，b 5， 35 2 82 2 由两点间的距离公式，得 rCM . 432582 10 所求圆的标准方程为(x4) 2 (y5)
6、2 10. 方法二 直径所对的圆周角是直角， 对于圆上除M，N 外任意一点P(x，y)， 有PMPN，即k PM k PN 1， 1(x3 且x5)， y8 x3 y2 x5 化简得x 2 y 2 8x10y310， 即(x4) 2 (y5) 2 10. 又M(3,8)，N(5,2)的坐标满足方程， 所求圆的标准方程为(x4) 2 (y5) 2 10. (2)分别计算点到圆心的距离： CP 1 422582 ， 13 10 CP 2 ， 432522 10 CP 3 ， 462572 8 10 因此，点P 2 在圆上，点P 1 在圆外，点P 3 在圆内 跟踪训练3 (，1)(1，)7 当堂训练 1(1，5)， 2.x 2 (y2) 2 1 3 30,1) 4.xy30 5解 (1)由题意知，AC 为直径，则AC 的中点为圆心， 圆心坐标为(4,1)，半径为 r AC 2 532642 2 ， 104 2 26 圆的标准方程为(x4) 2 (y1) 2 26. (2)由几何知识知，CD 的垂直平分线经过圆心，由k CD 1，CD 的中点坐标为 31 11 (0,2)， CD 的垂直平分线方程为yx2. 则圆心坐标为(2,0)， r ， 122102 10 圆的标准方程为(x2) 2 y 2 10.
