1、线性代数试卷班级_ 姓名_ 学号_ 成绩 _一、填空题（每小题 3 分，共 6 小题，总分 18 分）1、四阶行列式 展开式中，含有因子 且带正号的项为43421321412a a 3214a_2、设 A 为 n 阶可逆方阵，将 A 的第 i 行和第 j 行对换后得到的矩阵记为 B，则AB-1=_3、已知向量组 线性相关，则)2- 5,40( ,)t0 ,2( ,)1- 2,( 31 t =_4、设三阶方阵 ，其中 都是三维列向) , (B ), ,(2121A , 21量且 ，则 _ ,5、A 为 n 阶正交矩阵， 为 A 的列向量组，当 i j 时， ,21n=_)21 ,3(ji6、三阶
2、方阵 A 的特征值为 1，-2，-3，则 =_; E+A-1 的特征值为 _二、单项选择题（每小题 2 分，共 6 小题，总分 12 分）1、 设齐次线性方程组 AX=0 有非零解，其中 A= ，A ij 为 aij (i,j=1,2,n) nija的代数余子式，则（ ）(A) (B) 01niiAa01niiAa(C) (D) nii1 nii12、若 A-1+ E, E+A, A 均为可逆矩阵，E 为单位矩阵，则(A -1+ E)-1=( )(A) A+E (B) (A+E)-1 (C) A-1+ E (D) A(A+E)-13、设 A, B 为 n 阶方阵 ，A*,B*分别为 A, B
3、对应的伴随矩阵，分块矩阵，则 C 的伴随矩阵 C* =( ) 0AC(A) (B) *B 0 *BA 0(C) (D) 0A 4、若向量组 的秩为 r，则（ ） ,21m(A) 必有 rm (B)向量组中任意小于 r 个向量的部分组线性无关 (C) 向量组中任意 r 个向量线性无关 (D) 向量组中任意 r+1 个向量必线性相关5、已知 是四元非齐次线性方程组 AX=B 的三个解，且 r(A)=3, 已知,321，C 为任意常数，则 AX=B 通解 X=( ) )32,1 0( )4 (3(A) (B) (C) (D) 1432C3454321654321C6、设 A 为三阶方阵，有特征值 1
4、=1， 2= -1， 3=2，其对应的特征向量分别为 ，记 P=( )，则 P-1AP=( ) ,32132 ,(A) (B) (C) (D) - 1-21-2 1-三、计算下列行列式 （12 分）1、D= 1-3 -4 052-2、D n= n 1 31 四、已知 A、B 同为 3 阶方阵，且满足 AB=4A+2B (12 分)（1） 证明：矩阵 A-2E 可逆（2） 若 B= ，求 A2 01 -五、求向量组 ， )1,- ( ,)321 ,(265-4 )3, 1( 3的一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表7-5示 （10 分）六、已知线性方程组 ，讨论参数 a、b 为何值方
5、程组bxxa43214321 6 -173 0有解，在有解时，求出通解 （12分）七、用正交变换化二次型为标准形，并写出相3231212321321),( xxxxf 应的正交变换 （16 分）八、已知 是 AX = 0 的一个基础解系，若 ,4321， ,讨论 t 为何值，32tt 1443,tt是 AX = 0 的一个基础解系 ,4321（8 分）546456 班级_ 姓名_ 学号_ 成绩 _三、填空题（每小题 3 分，共 5 小题，总分 15 分）1、 是五阶行列式展开式中带正号的一项，则 i=_, j=_jia53422、设 n 阶方阵 A 满足 A2 =A，则 A+E 可逆且（A+E
6、 ） -1=_(E为 n 阶单位阵)3、已知向量组 若该向)06, 1-,( ,)2k- ,31( ,)- 1,( 32 量组的秩为 2，则 k =_4、已知四阶方阵 A 相似于 B，A 的特征值为 2，3，4，5，E 是单位阵，则_ EB5、 向量=（4，0，5）在基 下的坐)1 ,-(,)0 1,( ,) ,1(32 标为 _四、单项选择题（每小题 2 分，共 5 小题，总分 10 分）1、 设 是三阶方阵 A 的行列式，A 的三个列向量以 表示，则 =（ ,A）(A) (B) (C) (D) 2、设 A, B，C 为 n 阶方阵 , 若 AB = BA, AC = CA, 则 ABC=(
7、 )(A) BCA (B) ACB (C) CBA (D) CAB3、 A, B 均为 n 阶方阵, A*为 A 的伴随矩阵， ，则3B 2,A= ( )21A(A) (B) (C) (D) 312n321n21n21n4、已知向量组 线性无关，则向量组（ ）,4321(A) 线性无关 1421 , (B) 线性无关 3 , (C) 线性无关1421 , (D) 线性无关3 ,5、若 A B，则 有 ( )(A) A 、B 有相同的特征矩阵 (B) B A(C) 对于相同的特征值，矩阵 A 与 B 有相同的特征向量 (D) A 、B 均与同一个对角矩阵相似三、计算下列行列式 （13 分）3、D
8、= 2-3 011- 4、D n= 1 1x x11 a) 设 B= ，C= ,且矩阵 A 满足1 0- - 2 0 13 4, 试将关系式化简并求 A (12 分)ECBA)(1b) 求向量组 ，, )41- 2,(1 )23, 10(2 ,)140 7,3(的一个极大无关组，并将其余向 ,)10 5,2( 4)0 2,- ,(5量用该极大无关组线性表示 （13 分）六、k 为何值时，线性方程组 有无穷多个解并kxx 910 5- 3)5(231 6 431431求出通解 （14 分）七、用正交变换化二次型 为标准形，并写312321321 4),( xxxf 出相应的正交变换 （16 分）
9、八、若矩阵 A= 有三个线性无关的特征向量，证明： x y = 00y 1- x（7 分）45645654班级 姓名 学号 成绩 一、填空题（每小题 3 分，共 18 分）1、A 是三阶方阵，且|A|6，则 |(3A) -1| 。2、若 n 阶方阵满足 A2AE，其中 E 是 n 阶单位矩阵，则 AE可逆，且(AE) -1 。3、已知向量组 ， 若, )1-2,(1 )0k, 2( ,)2-5 4,(3矩阵 A( 123)的秩为 3，则 k 。4、齐次线性方程组 A57XO 的基础解系中含有两个线性无关的解，那么方程组中非自由未知量有 个。5、在三维向量空间 R3 中，由自然基 1， 2， 3
10、，到基的过渡矩阵 Q ) ,-(,)0 1,( ,)2 ,1( 6、设 是 n 阶实对称矩阵 A 对应于 的特征向量，则矩阵(P -1AP)对应于特征值 的特征向量为 。二、单项选择题（每小题 2 分，共 12 分）1、a 32a2ra14a51a4s 是五阶行列式展开式的一项，则对 r，s 的取值，及该项的符号，正确的选择是（ ） 。(A)r3，s5，符号为 + ； (B)r3， s5，符号为 - ；(C)r 3， s2，符号为 + ； (D)r5， s3，符号为 - 。2、A 为任意 n (n3)阶方阵，则 kA 的伴随矩阵(kA) * （ ） 。(A) kA* (B) kn-1A* (C
11、) knA* (D) k-1A*3、A、B 是同阶方阵，则下列叙述正确的是（ B ） 。(A)若 A、B 可逆，则 A+B 可逆； (B)若 A、B 可逆，则 AB 可逆；(C) A+B 可逆，则 A-B 可逆；(D) A+B 可逆，则 A、B 均可逆。4、设 A 为 n 阶方阵，则|A|=0 的必要条件是（ ） 。(A)两行 (列)元素对应成比例； (B)A 中有一行元素全为零；(C)必有一行为其余行的线性组合；(D)任意行为其余行的线性组合。5、设非齐次线性方程组 AXB ，未知量个数为 n，方程的个数为m，系数矩阵的秩为 r，则（ ） 。(A)rm，方程组 AXB 有解 ；(B) rn，
12、方程组 AXB 有唯一解 ；(C)n m，方程组 AXB 有唯一解 ；(D)rn，方程组 AXB 有无穷多个解。6、n 阶方阵 A 与某对角矩阵相似，则方阵 A（ ） 。(A)秩为 n； (B)有 n 个不同的特征值 ；(C)有 n 个线性无关的特征向量 ； (D)一定是对称矩阵。三、计算 n 阶行列式（8 分）Dn xnxn 321321四、若 A , B 满足 A*BA2BA8E，其中 A ，E 为单位102矩阵，A *是 A 的伴随矩阵，求 B。(10 分)五、 向量组 ，, )421,- (1 )21,3 0(2 ,)147 0,3(的一个极大无关组，并将其0, 4 5,5余向量用该极
13、大无关组线性表示 （12分）六、问 a、 b 为何值时，方程组 1232)3(4141axxb有唯一解、无解和有无穷多个解；在有无穷多个解时，用其导出组的基础解系来表示该方程组的全部解。(14 分)七、用正交变换化二次型f(x1 ,x2 ,x3 )x 122x 222x 324x 1x24x 1x38x 2x3 为标准形，并写出相应的正交变换。 （14 分）八、证明题（每小题 6 分，共 12 分）1、若 1,2 ,3 线性无关，证明 1 2， 2 4 3， 3 5 1 也线性无关。2、n 维向量 矩阵 ，其中 E,)210 , 21(， EBA,为 n 阶单位矩阵，证明 A-1B。45654
14、6班级_ 姓名_ 学号_ 成绩 _一、填空题（每小题 3 分，共 18 分）1、在五阶行列式中， 取负号，则 i= ，j= 。jia3245142、设 Aij 是行列式 D 中元素 aij 的代数余子式，且 is，则。snisisi Aa213、若 是四维列向量，且四阶行列式 ，13, m132，则 = 。n2121234、设 4 阶方阵的秩为 2，则其伴随矩阵 A*的秩为 。5、向量 = 在基 下的坐标)0,( )1,0(,)1,( ,)0 ,(321 为 。6、三阶方阵 A 的特征值为 1，-2，-3，则 =_ _，E+A -1 的特征值为_。A二、单项选择题（每小题 2 分，共 12 分
15、）1、设 A 为 n 阶方阵 ，A*为 A 的伴随矩阵,则 =（ ） 。*（A） ；（B） ；（C） ；（D ） 。2n1-2nAnA2 A2、若 A-1+ E, E+A, A 均为可逆矩阵，E 为单位矩阵，则(A -1+ E)-1=( )(A) A+E (B) (A+E)-1 (C) A-1+ E (D) A(A+E)-13、设 线性无关，则与向量组 等价的向量组为（ ） 。321,321,(A) ； (B) ；3 214, (C) ；(D) 。31312121 , 13 , 4、 是四元非齐次线性方程组 AX=B 的三个解，且 r(A)=3, 已知 ,3，C 为任意常数，则 AX=B 通解
16、 X=( )。 ), 0(,)4(321 (A) ； (B) ； (C) ； (D) 。1432C3214543265431C5、n 阶方阵 A 与某个对角矩阵相似的充分必要条件是（ ）（A）方阵 A 的秩等于 n；（B）方阵 A 有 n 个不同的特征值；（C）方阵 A 一定是对称矩阵；（D）方阵 A 有 n 个线性无关的特征向量。6、二次型 的矩阵为( ) 。212321 54),( xxxf (A) ；(B) ；(C) ；(D) 。5 5020521三、计算行列式（12 分）5、1、D= 2-3 01- 2、 a 0 1 a10Dn 四、设矩阵 A 的伴随矩阵 且 ，其中8031* EBA
17、31E 为 4 阶单位矩阵，求矩阵 B 。 （12 分）五、求向量组 ， )5-1,3 ( ,)13 ,(21 的一个极大无关组，并将)0- 2,6( 43 ,(其余向量用该极大无关组线性表示。 （10 分）六、设非齐次线性方程组 ，问 a,b 为何值时，方程组有唯一5324021xax解、无解和有无穷多个解；在有无穷多个解时，用其导出组的基础解系来表示该方程组的全部解。 （14 分）七、设 求正交矩阵 T，使得 T -1AT 为对角矩阵 。 （14 分）201A八、设 A 是 n 阶方阵， 是 n 维列向量，若 An-1 0，而 A n =0，试证明 ，A ，A n-1 线性无关。 （8 分）
