1、 第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题一、思考题1对偶问题和对偶变量的经济意义是什么？2简述对偶单纯形法的计算步骤。它与单纯形法的异同之处是什么？3什么是资源的影子价格？它和相应的市场价格之间有什么区别？4如何根据原问题和对偶问题之间的对应关系，找出两个问题变量之间、解及检验数之间的关系？5利用对偶单纯形法计算时，如何判断原问题有最优解或无可行解？6在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量（或剩余变量） 0knx，其经济意义是什么？7在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量 knx的检验数 （标准形为求最小值） ，其经济意义是什么？8将 ijibca,的变化直接反映到最优单纯形表中，表中原问题和对偶
2、问题的解将会出现什么变化？有多少种不同情况？如何去处理？二、判断下列说法是否正确1任何线性规划问题都存在且有唯一的对偶问题。2对偶问题的对偶问题一定是原问题。3若线性规划的原问题和其对偶问题都有最优解，则最优解一定相等。4对于线性规划的原问题和其对偶问题，若其中一个有最优解，另一个也一定有最优解。5若线性规划的原问题有无穷多个最优解时，其对偶问题也有无穷多个最优解。6已知在线性规划的对偶问题的最优解中，对偶变量 0iy，说明在最优生产计划中，第 i种资源已经完全用尽。7已知在线性规划的对偶问题的最优解中，对偶变量 i，说明在最优生产计划中，第 种资源一定还有剩余。8对于 ijibca,来说，每
3、一个都有有限的变化范围，当其改变超出了这个范围之后，线性规划的最优解就会发生变化。9若某种资源的影子价格为 u，则在其它资源数量不变的情况下，该资源增加 k个单位，相应的目标函数值增加 k。10应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量 0ix，且 i所在行的所有元素都大于或等于零，则其对偶问题具有无界解。三、写出下列线性规划的对偶问题（1） 321maxxZ （2） 4321maxz0,93745213x； 无 约 束4321432,0,xx；（3） inz （4） 2inz无 约 束3213,0,1475x； 无 约 束321,0,457x；（5） 32147maxxz （6） 321
4、45minxz无 约 束231,0,56xx； 无 约 束132,0,65887x。四、用对偶单纯形法求解下列线性规划问题（1） 31minZ （2） 324maxz0,4632132x； 0,564732131x；（） 432168inxz （） 324inxz0,4321x； 0,1536721x；五、对下列问题求最优解、相应的影子价格及保持最优解不变时 jc与 ib的变化范围。（） 1maz （） 4989maxz0,3231x； 0, 6413213x；（） 214axz （） 4286axz0,62312x； 0,1324535414x六、已知下表（表 31）为求解某线性规划问题的最
5、终单纯形表，表中 54,x为松弛变量，问题的约束为 形式表 311x2x453x5/2 0 1/2 1 1/2 15/2 1 1/2 0 1/6 1/3jzc0 0 （）写出原线性规划问题；（）写出原问题的对偶问题；（）直接由表写出对偶问题的最优解。七、某厂利用原料、生产甲、乙、丙三种产品，已知生产单位产品所需原料数、单件利润及有关数据如表 14 所示，分别回答下列问题：表 甲 乙 丙 原料拥有量AB6334554530单件利润 4 1 5（1）建立线性规划模型，求该厂获利最大的生产计划；（2）若产品乙、丙的单件利润不变，产品甲的利润在什么范围变化，上述最优解不变？（3）若有一种新产品丁，其原
6、料消耗定额：为单位，为单位，单件利润为单位问该种产品是否值得安排生产，并求新的最优计划；（4）若原材料市场紧缺，除拥有量外一时无法购进，而原材料如数量不足可去市场购买，单价为，问该厂应否购买，以够劲多少为宜？（5）由于某种原因该厂决定暂停甲产品的生产，试重新确定该厂的最优生产计划八、某厂生产甲、乙、丙三种产品，分别经过、三种设备加工。已知生产单位产品所需的设备台时数、设备的现有加工能力及每件产品的利润见表。表 甲 乙 丙 设备能力（台时）单位产品利润（元） （）建立线性规划模型，求该厂获利最大的生产计划；（）产品丙每件的利润增加到多大时才值得安排生产？如产品丙每件的利润增加到50/6 ，求最优
7、生产计划。（）产品甲的利润在多大范围内变化时，原最优计划保持不变？（）设备 A 的能力如为 100+10 ，确定保持原最优基不变的 的变化范围。（）如有一种新产品丁，加工一件需设备 A、B、C 的台时各为 1、4、3 小时，预期每件的利润为 8 元，是否值得安排生产？（）如合同规定该厂至少生产 10 件产品丙，试确定最优计划的变化。运筹学第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题解答二解：（1） （2 ）（3）X（4 ）(5) （6）（7）X（8 ）X（9）X（10 ）X三、 （1） 321975minyyw （2 ） 321minyw0,1231y； 无 约 束231,0,1yyy；（3） 32
8、75maxw （4 ） 356maxw无 约 束321321,0,413yy； 0,02421533131yy无 约 束 ，（5） 215minw （6 ） 8maxz无 约 束321,0,4647yy； 无 约 束3212,0,6475yy。四、解：（1）用对偶单纯形法求得的最终单纯形表如下： 表 1x23x45x64x12xjzc 由于基变量 4x所在行的 jia值全为非负，故问题无可行解。（）最优解为 TXz0,2.1,8.2；（）最优解为 51；（）最优解为 ,34,；五、解：用单纯形法求得的最终单纯形表分别见表 (1) , 2(2) , 2(3) , 2(4) （1）表 （）jc1
9、1 3 0 0BCXbx2x45x 3x 05 .5 0 5 15 0.5 1jz 15 1.5 0jzc 0.5 .5 0由此表可以看出，资源 1 的影子价格为 1.5 ，资源 2 的影子价格为 0 。且 32,5.,3cc ；60bb。(2)表 3 2（2） jc9 8 50 19 0 0BCXb1x23x45x619 4x2 2 4/3 0 2/3 5/350 31 .5 1/3 1 1/6 2/3jz 1 26/3 50 19 13/3 5/3jc4 2/3 0 13/3 5/3由此表可以看出，资源 1 的影子价格为 13/3 ，资源 2 的影子价格为 5/3 。且 25.18,5.7
10、,326,3 431 cc ；.5.245bb。（3）表 32（3）jc1 1 3 0 0BCXbx2x45x4 2x .5 1 0 1 0.53 0 1 1 1jz10 4 1 1jc 0 由此表可以看出，资源 1 的影子价格为 1 ，资源 2 的影子价格为 1 。且 4,63,321x ；8463b。(4) 表 32（4）jc2 3 5 0 0 0 0BCXb1x23x45x67x0 4x1 0 0 0 3/2 1/8 1/42 1 1 0 0 0 3/2 1/8 3/45 3x2 0 0 1 0 1/4 1/23 3/2 0 1 0 3/4 3/16 1/8jz16.5 2 3 5 0
11、1/4 7/16 5/8jc0 0 0 1/4 7/16 5/8由此表可以看出，资源 1 的影子价格为 0 ，资源 2 的影子价格为 1/4 ，资源 3 的影子价格为 7/16 ，资源 2 的影子价格为 5/8 。且 42115,368,.28.1 3xc ；084,2bbb 。六、解：（）原线性规划问题： 2maxz0,13213；（）原问题的对偶规划问题为：2105minyw0,6321y； （）对偶规划问题的最优解为： )2,4(Y。七、解：（）设 3,x分别为产品甲、乙、丙的产量，其模型为2154maz0,36213x；得此问题的最终单纯形表如下：（表 33）表 33jc4 1 5 0
12、 0BCXbx23x45x4 1x5 1/3 0 1/3 1/35 33 0 1 1 0.2 04jz5 4 11/3 5 1/3 2/3jc0 8/3 /3 2/3可得TX3,0， z；（2）产品甲的利润变化范围为 3，6 。（3）安排生产丁有利，新最优计划为生产产品丁 15 件，而 0321x；（4）购进原料 B 15 单位为宜；（5）新计划为 0,zT。八、解：（1）设 321,x分别为产品甲、乙、丙的产量，其模型为3460maz0,25131x；得此问题的最终单纯形表如下：（表 34）表 34jc10 6 4 0 0 0BCXb1x23x5x66 2x200/3 0 1 5/6 5/3 1/6 010 1100/3 1 0 1/6 2/3 1/6 00 6x100 0 0 4 0 1jz2200/3 10 6 20/3 10/3 2/3 0jc0 0 8/3 10/3 2/3 0可得TX,3/2,/10， 3/2z；（2） 5675；（3） 6c； （4） ；（5）该产品值得安排生产； （6）TX10,/75,/9。
