1、温馨提示：此题库为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，关闭 Word 文档返回原板块。 考点 44 曲线与方程、圆锥曲线的综合应用一、选择题1.（2012山东高考理科10）已知椭圆2:1(0)xyCab的离心率为32.双曲线 21xy的渐近线与椭圆 C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16，则椭圆 的方程为（ ）（A）218xy（B）216xy（C）2164xy（D）2105xy【解题指南】本题关键利用椭圆的对称性及双曲线 2的渐近线为 x，得出双曲线 21xy的渐近线与椭圆 有四个交点，然后加上条件离心率为32，即可求得椭圆的方程.【解析】选 D
2、.由于双曲线 21xy的渐近线为 xy，以及椭圆的对称性可知以渐近线与椭圆的四个交点为顶点的四边形为正方形，因为四边形面积为 16，所以边长为 4，所以椭圆过点（2,2）.所以 所以椭圆 C的方程为2105xy.二、解答题2.（2012湖北高考理科21）与（2012湖北高考文科21）相同设 A 是单位圆 x2+y2=1 上任意一点， 是过点 A 与 x 轴垂直的直线，D 是直线l与 x 轴的交点，点 M 在直线 上，且满足 当点 A 在圆上运l l动时，记点 M 的轨迹为曲线 C.（1）求曲线 C 的方程，判断曲线 C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标.（2）过原点斜率为 k 的直线交曲线 C
3、于 P，Q 两点，其中 P 在第一象限，它在y 轴上的射影为点 N，直线 QN 交曲线 C 于另一点 H，是否存在 m,使得对任意的k0，都有 PQPH？若存在，求 m 的值；若不存在，请说明理由.【解题指南】本题考查求轨迹的方法和直线与圆锥曲线之间的位置关系，解答本题的关键是把点 M 的坐标设出，用代入法求轨迹，再结合一定的运算能力求解.【解析】（1）如图 1.设 0(,),)MxyA，则由 得0001,xymm.又 A 是单位圆 x2+y2=1 上任意一点,则201. 把代入得曲线 C 的方程为: 21(0,)ym.当 (,) 曲线 C 为以点 22(1,0)(,)为焦点的椭圆; 当 (1
4、,) 曲线C 为以点 22),0m为焦点的椭圆 . (2)如图 2,3, 对任意的 k0 ,设 1211(,)(,)Q(-x,k)N(0,x)PxkHy则 ,直线 QN 的方程为: 1y=2kx+将其代入椭圆方程并整理得: 222m+4+-m=0.依题意设此方程的两根为: 12-x,对任意的 k0,都有 PQPH,又点 H 在直线 QN 上,所以于是.又 PQPH,则 PQ=0,即214(-m)kx=0+,也就是 2-m=0,=2.故存在 m= ,使得对任意的 k0，都有 PQPH. 3.（2012辽宁高考文科T20）如图，动圆 221:Cxyt,1t3,与椭圆 ： 相交于 A，B，C，D 四
5、点，点2C219xy分别为 2的左，右顶点 .2,A(1)当 t 为何值时，矩形 ABCD 的面积取得最大值？并求出其最大面积.(2)求直线 AA1与直线 A2B 交点 M 的轨迹方程.【解题指南】 （1）由于 A,B,C,D 四点的对称性，可设出它们的坐标，利用坐标的某个变量来表示矩形面积，建立函数，求最值.（2）利用点的坐标，据直线方程的点斜式写出直线方程，求交点坐标，用交轨法求轨迹方程.【解析】 （1）由于 A,B,C,D 四点的对称性，设 0000(,)(,)(,)(,)AxyBCxyDx则矩形 ABCD 的面积为 ，0024SABCyxy由点 在椭圆 上，所以0(,)Axy219xy
6、 2200199x从而 ，故 时， 20xy取得最大值94.222000(1)()4x20,xy从而 0SABCyy取得最大值 6.此时 5tt.（2）由 012(,)(,)(3,0)(,xA可得直线 1A的方程： 0()yx-直线 2B的方程： 0(3)yx-设直线 1A与直线 2B的交点 (,)Mxy由得20(9)yx-由（1）知2019y-代入整理得2(3,0)xyxy，因此点 M 的轨迹方程为21(,)9.4.（2012辽宁高考理科T20）如图，椭圆 0C：21(0xyab，a，b 为常数)，动圆 2211:Cxyt， 1bta.点 12,A分别为 的左，右顶点， 1C与 0相交于 A
7、，B，C，D 四点.(1)求直线 1A与直线 2B交点 M 的轨迹方程.(2)设动圆 2:Cxyt与 0C相交于 /,ABCD四点，其中 2bta，12t.若矩形 D与矩形 /的面积相等，证明： 1t为定值.【解题指南】 （1）由于 A,B 点的对称性，可设出它们的坐标，利用点的坐标，据直线方程的点斜式写出直线方程，求交点坐标，进而求轨迹方程（2）利用坐标的变量来表示矩形面积，建立等量关系.【解析】(1)设 0012(,)(,)(,0)(,AxyBAa，直线 1的方程： 0()xa- 直线 2AB的方程： 0()y- 设直线 1与直线 2AB的交点 (,)Mxy由得 -由 0(,)Axy在椭圆20:1xyCab上，故20:1xyCab，从而2200(1)b，代入 整理得2(,0)xy.（2）设 1(,)Axy，由矩形 ABCD 和矩形 ABCD面积相等得 014xy，即 20x，- 因为点 0(,)Axy， 1(,)xy均在椭圆20:1xyab上，所以2200(1)xyba，211()xyba，代入得2 22 220 01 1()()()()xxxxaa，进一步得到21002()()xa，由于 1201tx，所以2221010xa从而22001()()xybba，故 22ta为定值 . 关闭 Word 文档返回原板块。
