1、 幂函数与二次函数高考考点：1求二次函数的解析式2求二次函数的值域与最值3利用幂函数的图象和性质分析解决有关问题【复习指导】本讲复习时，应从“数”与“形”两个角度来把握二次函数和幂函数的图象和性质，重点解决二次函数在闭区间上的最值问题，掌握求函数最值的常用方法：配方法、判别式法、不等式法、换元法、导数法等，注重分类讨论思想与数形结合思想的综合应用基础梳理1幂函数的定义一般地，形如 yx (R )的函数称为幂函数，其中底数 x 是自变量， 为常数2幂函数的图象在同一平面直角坐标系下，幂函数 yx ，yx 2， yx 3，y x ，yx 1 的图象12分别如右图3幂函数的性质yx yx 2 yx
2、3yx12yx 1定义域 R R R 0，)x|xR 且x0值 域 R 0，) R 0，)y|yR 且y0奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇单调性 增x0 ，)时，增x( ，0时，减增 增x(0，)时，减x(，0)时，减定点 (0,0)，(1,1) (1,1)4.二次函数的图象和性质解析式 f(x)ax 2bxc( a0) f(x)ax 2bxc( a0)图象定义域 (，) (，)值域 4ac b24a ， ) ( ，4ac b24a 单调性在 x 上单调递增 b2a， )在 x 上单调递增( ， b2a在 x 上单调递减( ， b2a在 x 上单调递减 b2a， )奇偶性 当 b0 时为偶函数
3、，b0 时为非奇非偶函数顶点 ( b2a，4ac b24a )对称性图象关于直线 x 成轴对称图形b2a5.二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f (x)ax 2bxc (a0)(2)顶点式：f (x)a(xh) 2k (a0)(3)两根式：f (x)a(xx 1)(xx 2)(a0)五个代表函数 yx，yx 2，y x 3，yx ，yx 1 可做为研究和学习幂函数图象和性质12的代表两种方法函数 yf(x) 对称轴的判断方法(1)对于二次函数 yf(x)对定义域内所有 x，都有 f(x1)f(x 2)，那么函数 yf(x)的图象关于 x 对称x1 x22(2)对于二次函数 yf(x)对定义
4、域内所有 x，都有 f(ax)f(ax)成立的充要条件是函数 y f(x)的图象关于直线 xa 对称(a 为常数)双基自测1(2011安徽 )设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)2x 2x ，则 f(1)( )A3 B1 C1 D3解析 f( x)为奇函数，f(1)f(1)3.答案 A2.(人教 A 版教材例题改编)如图中曲线是幂函数 yx n在第一象限的图象已知 n 取2， 四个值，则相应于曲线 C1，C 2，C 3，C 4 的 n 值依次12为( )A2， ，2 B2， ，21212 12 12C ，2,2， D2， 2，12 12 12 12答案 B3(2011浙
5、江 )设函数 f(x)Error!若 f()4，则实数 等于( )A4 或2 B4 或 2C 2 或 4 D2 或 2解析 由Error!或Error!得 4 或 2，故选 B.答案 B4已知函数 f(x)x 22x2 的定义域和值域均为 1，b，则 b 等于( )A3 B2 或 3 C2 D1 或 2解析 函数 f(x)x 22x2 在1，b上递增，由已知条件Error!即Error!解得 b2.答案 C5(2012武汉模拟 )若函数 f(x)(xa)( bx2a)(常数 a、bR)是偶函数，且它的值域为(，4 ，则该函数的解析式 f(x)_.解析 f( x)bx 2(ab2a)x2a 2由
6、已知条件 ab2a0，又 f(x)的值域为(，4 ，则Error!因此 f(x)2x 24.答案 2x 2 4考向一 二次函数的图象【例 1】(2010 安徽)设 abc0，二次函数 f(x)ax 2bx c 的图象可能是( )审题视点 分类讨论 a0，a0.解析 若 a0，则 bc0 ，根据选项 C、D，c0 ，此时只有 b0，二次函数的对称轴方程 x 0，选项 D 有可能；若 a0，根据选项 A，c 0，此时b2a只能 b0，二次函数的对称轴方程 x 0，与选项 A 不符合；根据选项b2aB，c0，此时只能 b0，此时二次函数的对称轴方程 x 0，与选项 Bb2a不符合综合知只能是选项 D
7、.答案 D分析二次函数的图象，主要有两个要点：一个是看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向；二是看对称轴和最值，它确定二次函数的具体位置对于函数图象判断类似题要会根据图象上的一些特殊点进行判断，如函数图象与正半轴的交点、函数图象的最高点与最低点等【训练 1】 已知二次函数 f(x)的图象如图所示，则其导函数 f(x)的图象的大致形状是( )解析 由函数 f(x)的图象知：当 x(，1时，f (x)为减函数，f (x )0；当x1，)时，f(x)为增函数，f(x)0.结合选项知选 C.答案 C考向二 二次函数的性质【例 2】函数 f(x)x 22x2 在闭区间t，t1(tR )上的最小
8、值记为 g(t)(1)试写出 g(t)的函数表达式；(2)作 g(t)的图象并写出 g(t)的最小值审题视点 分类讨论 t 的范围分别确定 g(t)解析式解 (1)f(x) (x1) 21.当 t11，即 t0 时，g(t)t 21.当 t1t1，即 0t1 时，g(t)f(1)1当 t1 时，g(t)f( t)(t1) 21综上可知 g(t)Error!(2)g(t)的图象如图所示，可知 g(t)在(，0上递减，在1，)上递增，因此 g(t)在0,1上取到最小值 1.(1)二次函数 yax 2bx c，在(， )上的最值可由二次函数图象的顶点坐标公式求出；(2)二次函数 yax 2bxc，在
9、m，n上的最值需要根据二次函数 yax 2bxc 图象对称轴的位置，通过讨论进行求解【训练 2】 已知函数 f(x)x 22ax2，x5,5(1)当 a1 时，求函数 f(x)的最大值和最小值(2)求实数 a 的取值范围，使 yf(x)在区间5,5上是单调函数解 (1)当 a 1 时，f(x)x 22x2(x 1) 21，x5,5，x1 时，f( x)取得最小值 1；x5 时，f( x)取得最大值 37.(2)函数 f(x)(xa) 22a 2 的图象的对称轴为直线 xa，yf(x) 在区间5,5上是单调函数，a5 或a5，故 a 的取值范围是 a5 或 a5.考向三 幂函数的图象和性质【例
10、3】已知幂函数 f(x)xm 22m3(mN *)的图象关于 y 轴对称，且在(0， ) 上是减函数，求满足(a1) (32a) 的 a 的取值范围m3 m3审题视点 由幂函数的性质可得到幂指数 m22 m30，再结合 m 是整数，及幂函数是偶数可得 m 的值解 函数在(0，) 上递减，m 22m30，解得1m3.mN *，m1,2.又函数的图象关于 y 轴对称，m 22m3 是偶数，而 222233 为奇数，122134 为偶数，m1.而 f(x)x 在(，0)，(0，)上均为减函数，13(a 1) (32a) 等价于 a132a013 13或 0a132a 或 a1032a.解得 a1 或
11、 a .23 32故 a 的取值范围为 .a|a 1或 23 a 32本题集幂函数的概念、图象及单调性、奇偶性于一体，综合性较强，解此题的关键是弄清幂函数的概念及性质解答此类问题可分为两大步：第一步，利用单调性和奇偶性(图象对称性)求出 m 的值或范围；第二步，利用分类讨论的思想，结合函数的图象求出参数 a 的取值范围【训练 3】 幂函数 yx a，当 a 取不同的正数时，在区间 0,1上它们的图象是一族美丽的曲线(如图) 设点 A(1,0)，B(0,1)，连接 AB，线段 AB 恰好被其中的两个幂函数 yx ，yx 的图象三等分，即有| BM|MN| |NA |.那么， ( )A1 B2 C
12、3 D无法确定解析 法一 由条件得 M ，N ，由一般性，可得 ， ，即(13，23) (23，13) 13 (23) 23 (13)log ，log .所以 log log 1.2313 1323 2313 1323lg13lg23lg23lg13法二 由解法一，得 ， ，13 (23) 23 (13)则 a ，即 1.(13) (13) (23) 13答案 A 规范解答 4如何求解二次函数在某个闭区间上的最值【问题研究】 二次函数在闭区间上的最值问题，一定要根据对称轴与区间的相对位置关系确定最值，当函数解析式中含有参数时，要根据参数的取值情况进行分类讨论，避免漏解【解决方案】 对于二次函数
13、 f(x)ax 2bxc(a0)而言，首先确定对称轴，然后与所给区间的位置关系分三类进行讨论【示例】(本题满分 12 分)(2011 济南模拟)已知 f(x)4x 24ax4aa 2 在区间0,1内有最大值 5，求 a 的值及函数表达式 f(x)求二次函数 f(x)的对称轴，分对称轴在区间的左侧、中间、右侧讨论解答示范 f(x)4 24a，(x a2)抛物线顶点坐标为 .(1 分)(a2， 4a)当 1，即 a2 时，f(x) 取最大值4a 2.a2令4a 25，得 a21，a12(舍去)；(4 分)当 0 1，即 0a2 时，x 时，a2 a2f(x)取最大值为4a.令4a5，得 a (0,
14、2)；(7 分)54当 0，即 a0 时，f(x) 在0,1内递减，a2x0 时，f( x)取最大值为4aa 2，令4aa 25，得 a24a50，解得 a5 或 a1，其中5(，0(10 分)综上所述，a 或 a5 时，f(x) 在0,1内有最大值 5.54f(x)4x 25x 或 f(x)4x 220x5.(12 分)10516求解本题易出现的问题是直接利用二次函数的性质最值在对称轴处取得，忽视对称轴与闭区间的位置关系，不进行分类讨论【试一试】 设函数 yx 22x，x2，a，求函数的最小值 g(a)尝试解答 函数 yx 22x(x1) 21，对称轴为直线 x1，而 x1 不一定在区间2，a 内，应进行讨论当2a1 时，函数在2，a上单调递减，则当 xa 时，y mina 22a；当a1 时，函数在2,1 上单调递减，在1，a 上单调递增，则当 x1 时，ymin1.综上，g(a) Error!
