1、4.1 圆的对称性 （第一课时） 教案昌邑市外国语学校 冯秀丽教学目标：1.探索并了解圆的轴对称性质2.探索并证明垂径定理及推论，能运用它们解决有关的实际问题3.在学习中逐步形成数形结合、转化、分类的数学思想方法一课前延伸1.圆的有关概念：弦:_弧:_2.轴对称图形：定义:_性质:_二课内探究（一）垂径定理1. 在一张半透明纸片上画一个圆，标出它的圆心 O 并任意作出一条直径 AB，将O 沿直径折叠，你发现了什么？由此你得出什么结论？学生活动：通过操作、思考、组内交流得到结论圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴 2. 如图：AB 是 O 的直径，作弦 CD，使 CDAB，记垂足为
2、E，将O 沿直径 AB 折叠，你发现弧 AC 与弧 AD 有什么关系？弧 BC 与弧 BD 有什么关系？线段 CE 与 DE 有什么关系？师生活动：学生通过操作、观察与思考及组内交流去发现垂径定理，然后教师启发学生利用圆的对称性给出定理的证明（证明过程见课本 108 ）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并平分弦所对的两条弧教师点拨学生注意对垂径定理的理解：（ 1）两个条件：直径 垂直于弦（可以为直径）三个结论：平分弦平分弦所对的一弧平分弦所对的另一弧（2）对直径的理解：可延伸为直径所在直线的一部分如图中的 OA（半径） 、 OE（弦心距） 、AE、BE（弓高）（3）半径、弦心距及弓高的关系B
3、E（弓高）=OB（半径）OE（弦心距）AE（弓高）=OA（半径）OE（弦心距）（4）半径 OC、弦的一半 CE 及弦心距 OE 构成一个 RtOCE,能够运用勾股定理解决问题学有所用：如图，一座桥的桥拱是圆弧形（水面以上部分） ，测量时只测到桥下水面宽 AB 为 16m，桥拱最高处离水面 4m.（1）求桥拱半径；（2）大雨过后，桥下面河面宽度为 12m， 水面涨高了多少 m？教师引导学生分析题意，作出适当的辅助线，（1）在 RtAPO 中，由（R-4） 2+82=R2求出桥拱半径，（2）问是求弦心距 OQ 与 OP 的差，此题教师应板书解题步骤相应训练1. O 的半径为 10cm，弦 AB=1
4、2cm，则圆心到 AB 的距离为_.2.如图， O 的直径 CD 为 10cm，弦 AB=8cm，ABCD，垂足为 M，则 DM 的长为_.3.如图，两个圆都以 O 为圆心，若 AC=12cm，求线段 BD 的长4.在半径为 5 厘米的圆中，两条平行弦的长度分别为 6 厘米和 8 厘米，这两条弦之间的距离是_厘米师生活动：1、2 题学生独立完成，然后小组内交流答案，必须注重知识点的应用3、4、题学生合作交流完成，包括所作辅助线，解题思路和依据，分类讨论的思想方法等教师要提醒学生养成随手画草图的好习惯，即数形结合（二）垂径定理的推论如图，如果 CD 是O 的弦（不是直径） ，过 CD 的中点 E
5、 作O 的直径 AB，你发现 AB 与 CD 垂直吗？弧 AC 与弧 AD 的大小有什么关系？弧 BC 与弧 BD 的大小有什么关系？证明你的结论。学生通过合作交流可能得到结论推论：平分弦的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的两条弧教师提问弦 CD 是O 的直径行吗？为什么？你能举出反例吗？动手画画看学生任意画两条直径去观察发现平分不一定垂直推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的两条弧想一想：在垂径定理的五个量中若把任意两个作为条件，其余的作为结论都成立吗？试在小组内互相说说看，能证明你的结论吗？学以致用例 1.1300 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的
6、跨度（弧所对的弦长）为 37.4 米，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫弓形的高）为 7.2 米，求桥拱的半径。 （精确到 0.1 米）图片链接； http:/ 109 页规范解题步骤如图，MN 所在的直线垂直平分 AB，利用这样的工具，最少两次就可以找到圆形工件的圆心，你能说出理论依据吗？（垂直平分弦的直线必过圆心）自我体验：谈一下自己本节课的收获！你还存在哪些困惑？大显身手：1.下列说法不正确的是（ ）A 平分弦的直径垂直于弦B 平分弦的直径也平分弦所对的两条弧C 弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧D 平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦2.如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧） ，其跨度为
7、 24 米，拱的半径为 13 米，则拱高为_米3.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的玻璃，小明带到商店去的一块碎片应该是第_块4. O 的直径为 10，弦 AB=8，P 为弦 AB 上的一动点，那么 OP 长的取值范围是_.5.如图，O 的直径 AB 垂直弦 CD 于 P，且 P 是半径 OB 的中点，CD=6cm，则直径 AB 的长时_cm.师生活动：学生独立完成后教师出示答案并反馈目标达成度课后提升1. 如图所示，O 的直径 AB 和弦 CD 相交于点E，AE=6cm，EB=2cm，BED=30 0，求 CD 的长2. 如图，有一座圆弧形的拱形，桥下水平宽的 7.2 米，拱顶高出水面 2.4 米，现有一货船，送一货箱欲从桥下经过，已知货箱长 10 米，宽 3 米，高 2 米（货箱底与水平面持平） ，该货船能否顺利通过该桥？教后体会1. 对垂径定理及其推论的理解：知二得三2. 主要应用：弦心距、弦的一半及半径构成直角三角形，运用勾股定理解决问题
