1、二次函数与一元二次方程教学目标一、教学知识点1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系。2、理解二次函数与 x 轴交点的个数与一元二次方程的根的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根。 3、理解一元二次方程的根就是二次函数与 y =h 交点的横坐标。二、能力训练要求1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精神2、通过观察二次函数与 x 轴交点的个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想。3、通过学生共同观察和讨论，培养合作交流意识。三、情感与价值观要求1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系
2、的过程，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。2、具有初步的创新精神和实践能力。教学重点1.体会方程与函数之间的联系。2.理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根。 3.理解一元二次方程的根就是二次函数与 y =h 交点的横坐标。教学难点1、探索方程与函数之间的联系的过程。2、理解二次函数与 x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。 教学方法：讨论探索法教学过程：1、设问题情境，引入新课我们已学过一元一次方程 kx+b=0 (k0)和一次函数 y =kx+b (k0)的关系，你还记得吗？它们之间的关系是：当一次函数中的函数值 y =0 时
3、，一次函数 y =kx+b 就转化成了一元一次方程 kx+b=0，且一次函数的图像与 x 轴交点的横坐标即为一元一次方程 kx+b=0 的解。现在我们学习了一元二次方程和二次函数，它们之间是否也存在一定的关系呢？本节课我们将探索有关问题。2、新课讲解我们已经知道，竖直上抛物体的高度 h (m )与运动时间 t (s )的关系可以用公式 h =5t 2+v 0t +h 0表示，其中 h 0(m)是抛出时的高度，v 0(m/s )是抛出时的速度。一个小球从地面被以 40m/s 速度竖直向上抛起，小球的高度h(m)与运动时间 t(s)的关系如下图所示，那么 （1）h 与 t 的关系式是什么？（2）小
4、球经过多少秒后落地？你有几种求解方法？小组交流，然后发表自己的看法。学生交流：（1）h 与 t 的关系式是 h =5t 2+v 0t +h 0， 其中的 v 0为40m/s，小球从地面抛起，所以 h 0=0。把 v 0,h 0带入上式即可求出 h 与 t 的关系式 h =5t 2+40t（2）小球落地时 h 为 0 ，所以只要令 h =5t 2+v 0t +h 0中的 h=0 求出t 即可。也就是 5t 2+40t=0 t 28t=0 t（t8）=0 t=0或 t=8t=0 时是小球没抛时的时间，t=8 是小球落地时的时间。也可以观察图像，从图像上可看到 t=8 时小球落地。议一议来源:学优高
5、考网二次函数y=x 2+2x y=x 22x+1y=x 22x +2 的图像如下图所示（1）每个图像与 x 轴有几个交点？（2）一元二次方程 x2+2x=0 , x22x+1=0 有几个根？解方程验证一下, 一元二次方程 x22x +2=0 有根吗？（3）二次函数的图像 y=ax2+bx+c 与 x 轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0 的根有什么关系？（课件展示）学生讨论后，解答如下：（1）二次函数y=x 2+2x y=x 22x+1y=x 22x +2 的图像与 x 轴分别有两个交点、一个交点，没有交点。（2）一元二次方程 x2+2x=0 有两个根 0，-2 ；x 22x+1=0
6、 有两个相等的实数根 1 或一个根 1 ；方程 x22x +2=0 没有实数根 （3）从图像和讨论知，二次函数 y=x2+2x 与 x 轴有两个交点（0,0）,(-2,0) ，方程 x2+2x=0 有两个根 0，-2;二次函数 y=x22x+1 的图像与 x 轴有一个交点(1,0),方程 x22x+1=0 有两个相等的实数根 1 或一个根 1来源:学优高考网二次函数 y=x22x +2 的图像与 x 轴没有交点, 方程 x22x +2=0 没有实数根由此可知，二次函数 y=ax2+bx+c 的图像与 x 轴交点的横坐标即为一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根。小结：二次函数 y=ax2+b
7、x+c 的图像与 x 轴交点有三种情况：有两个交点、一个交点、没有焦点。当二次函数 y=ax2+bx+c 的图像与 x 轴有交点时，交点的横坐标就是当 y =0 时自变量 x 的值，即一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根。基础练习1、判断下列各抛物线是否与 x 轴相交，如果相交，求出交点的坐标。（1）y=6x2-2x+1 （2）y=-15x2+14x+8 （3）y=x2-4x+42、已知抛物线 y=x2-6x+a 的顶点在 x 轴上，则 a= ；若抛物线与 x 轴有两个交点，则 a 的范围是 3、已知抛物线 y=x2-3x+a+1 与 x 轴最多只有一个交点，则 a 的范围是 。来源:学优
8、高考网 gkstk来源:学优高考网4、已知抛物线 y=x2+px+q 与 x 轴的两个交点为（-2，0），（3，0），则 p= ，q= 。5. 已知抛物线 y=-2(x+1) 2+8 求抛物线与 y 轴的交点坐标;求抛物线与x 轴的两个交点间的距离.6、抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的图象全部在轴下方的条件是（ ）来源:gkstk.Com（A） a0 b2-4ac0（B）a0 b2-4ac0（B） （C）a0 b2-4ac0 (D)a0 b2-4ac0想一想在本节一开始的小球上抛问题中，何时小球离地面的高度是 60 m？你是怎样知道的？学生交流：在式子 h =5t 2+v 0t +h 0
9、中 v 0为 40m/s， h 0=0，h=60 m，代入上式得5t 2+40t=60t 2?8t+12=0t=2 或 t=6因此当小球离开地面 2 秒和 6 秒时，高度是 60 m。课堂练习 66 页小结：本节课学习了如下内容：1、若一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两个根是 x1、x2， 则抛物线 y=ax2+bx+c与 x 轴的两个交点坐标分别是 A（x1，0 ）， B（ x2，0 ）2、一元二次方程 ax2+bx+c=0 与二次三项式 ax2+bx+c 及二次函数 y=ax2+bx+c这三个“二次”之间互相转化的关系。体现了数形结合的思想3、二次函数 y=ax2+bx+c 何时为一
10、元二次方程?第二课时教学目标：1 会用函数图象的交点解释方程的根的意义；2 能结合二次函数的图象与 x 轴的交点的个数判断一元二次方程的根的存在性和根的个数；3 了解函数的零点与对应方程根的联系教学重点：根据二次函数的图象与 x 轴的交点的个数判断一元二次方程的根的个数教学难点：根据二次函数的图象与 x 轴的交点的个数判断一元二次方程的根的个数教具准备：多媒体课件、打印好的作业教学过程：一、 提出统摄性问题，创设适宜情境，引入新课我们知道，等式 x2-2x-3=0 是关于 x 的一元二次方程，关系式 y =x2-2x-3则是关于自变量 x 的一个二次函数，那么，二次函数与对应的一元二次方程有什
11、么关系？它们有哪些联系？这些联系对于研究函数问题有怎样的作用？这就是我们这节课所要研究的问题（引入新课，书写课题二次函数与一元二次方程）二、 学生活动（一） 探究二次函数与对应的一元二次方程之间的关系问题 1：你能快速地求出一元二次方程 x22x3=0 的根吗？请画出二次函数 y =x2-2x-3 的图象（生动手画图，师生共同归纳画二次函数图象的步骤）方法引导：画二次函数简图的步骤：（） 先根据二次项系数确定图象的开口方向，即当 a时，图象开口向上；当 a0)的根的个数及其判别式与二次函数 y= ax2+bx+c=0(a0)的开口方向和顶点位置之间有什么联系？（师生共同结合函数 ax2+bx+
12、c=0(a0)的图象的不同情形，得出如下结论）方程 ax2+bx+c=0(a0)有两个不相等的实数根 判别式 对应的二次函数 y =ax2+bx+c(a0)的开口向上且顶点在 x 轴下方；方程 ax2+bx+c=0(a0)有两个相等的实数根 判别式 对应的二次函数 y =ax2+bx+c(a0)的开口向上且顶点在 x 轴上；方程 ax2+bx+c=0(a0)没有实数根 判别式 对应的二次函数 y =ax2+bx+c(a0)的开口向上且顶点在 x 轴上方也就是说，判断一个方程是否有解以及解的个数的问题，可以转化为讨论对应的二次函数的图象开口方向以及顶点与 x 轴的位置问题也可以通过二次函数对应的
13、二次方程的根的个数来判断二次函数的开口方向以及顶点位置思考：当二次函数 y =ax2+bx+c(a0)时，是否也有类似的结论呢？（二） 函数与方程关系的应用例 1求证：一元二次方程 2x2+3x-7=0 有两个不相等的实数根根据我们前面研究的结论，你觉得应该如何完成上题的证明呢？证法：因为一元二次方程 2x2+3x-7=0 的判别式 =32-42（-7）=650,所以方程 2x2+3x-7=0 有两个不相等的实数根思考：该题还有其他证法吗？请同学们回顾一下确定一个二次函数的解析式都有哪些方法呢？学生交流归纳求二次函数解析式的常见方法方法一：设函数解析式为 y =ax2+bx+c(a0)，再根据
14、题意得到关于a、b、c 的三个方程，联立方程，解方程组确定出 y =ax2+bx+c(a0)方法二：根据题中具体要求，也可设函数的解析式为 y=a(x-x1)(x-x2),进而求出函数的对应变量的值方法三：也可设解析式为顶点式，进而求出函数的解析式问：你能根据题目的具体条件选拔具体的方法确定上题中函数的解析式吗？（师板书解题过程）（三）目标检测课本第 76 页练习第 1、2、3、4 题三、 课堂小结1 一元二次方程根的个数的判断方法；2一元二次方程 与二次函数的关系四、 布置作业课本第 81 页习题 2.5 第 1、2 、3 题活动与探究：若方程 x2+2m+3=0 的两根都小于 1，试求 m 的取值范围？数学教学中进行探究性的一点体会创设适宜情境提出立体开放的问题进行结构性变式变式后的反思提炼
