1、 一、教材分析： 1、【教材的地位及作用】“二项式定理”是全日制普通高，结合新课标的理念，制订如下的教 学目标和教学重，难点）。 教学目标： 1、知识目标：通过对二项式定理的学习，使学生理解二项式定理，会利用二项式定理求二项展 开式。并理解和掌握二项展开式的规律，利用它能对二项式展开，进行相应的计算。还会区别“系 数”、“二项式系数”等概念，灵活正用和逆用展开式。级中学教科书数学第二册（下 A）的第 十章第四节，它既是安排在排列组合内容后的自成体系的知识块，也是初中学习的多项式乘法。它所 研究的是一种特殊的多项式二项式幂的展开式。它与后面学习的概率的二项分布有着内在的联 系，利用二项式定理还可
2、以进一步深化对组合数的认识。因此，二项式定理起着承上启下的作用，是 本章教学的一个重点。本小节约需3个课时，本节课是第一课时。 【学生情况分析】授课的对象是高中二年级中等程度班级的学生。他们具有一般的归纳推理能 力，学生思维也较活跃，但创新思维能力较弱。在学习过程中，大部分学生只重视定理、公式的结 论，而不重视其形成过程，因而对定理、公式不能做到灵活运用，更做不到牢牢记住。（根据以上分 析 2、能力目标：在学 3、情感目标：通过“二项式定理”的学习，培养学生解决数学问题的兴趣和信心，让学生感受 数学内在的和谐，对称美及数学符号应用的简洁美，进一步结合“杨辉三角”，对学生进行爱国主义 教育，激励
3、学生的民族自豪感和为国富民强而勤奋学习的热情，培养学生勇于探索，勇于创新的精 神。 一、教学重点，难点，关键： 重点： （1）使学生参与并深刻体会二项式定理的形成过程，理解和掌握二项展开式的规律。 （2）利用二项展开式的规律对二项式展开，进行相应的计算。 （3）区别“系数”、“二项式系数”等概念，灵活正用和逆用展开式。 难点： （1）二项展开式的规律的理解和掌握。 （2）“二项式系数”和“系数”的区别。 突破难点的关键：（1）利用组合数及性质分析“杨辉三角”中各数的关系；（2）利用组合的知 识归纳二项式系数；（3）充分利用二项展开式的规律。 二、教法、学法分析数学是一门培养人的思维发展的重要学
4、科。因此，在教学中让学生自己发现 规律、总结规律是最好的途径。正所谓“学问之道，问而得，不如求而得之，深固之。”本节课的教 法贯穿启发式教学原则以启发学生主动学习，积极探求为主，创设一个以学生为主体，师生互动，共 同探索的教与学的情境，采用引导发现法，由学生熟悉的多项式乘法入手，进行分析，也可利用组合 的有关知识加以分析，归纳，通过对二项式规律的探索过程，培养学生由特殊到一般，经过观察分 析，猜想，归纳（证明）来解决问题的数学思想方法，培养了学生观察，联想，归纳能力。不仅重视 知识的结果，而且注重了知识的发生，发现和解决的过程，贯彻了新课程标准的教学理念，培育了本 节课内容最佳的“知识生长点”
5、，这对于学生建立完整的认知结构是有积极意义的。 三、教学手段 制作多媒体课件，以增加课堂容量及知识的直观性，从而提高学生学习的兴趣，使学生进一步加 深对定理，概念的理解。 四、教学过程设计 【复习引入：】 复习回顾： 提问初中学过的完全平方公式是什么？ 你能写出（a+b） 3 ，（a+b） 4 的展开式吗？ 设计意图：通过复习旧知识，自然引入，在这里设计了层层递进多项式展开的问题，目的是为了 让学生了解知识发生，发展的过程，激发学生在认知的冲突，让学生明白二项式展开实质上是多项式 的乘法。 思路一：提问：（1）以（a+b） 2 a 2 +2ab+b 2 为例，展开式中各项字母的形式是什么？展开
6、式项 的系数又是什么？有几项？ （2）展开式中各项的系数与展开式中各项的次数有没有关系？ （3）你能猜想（a+b） 3 、（a+b） 4 （a+b） n 展开式的形式吗？观察下面等式： （a+b）a+b （a+b） 2 a 2 +2ab+b 2（a+b） 3 a 3 +3a 2 b+3ab 3 +b 4（a+b） 4 a 4 +4a 3 b+6a 2 b 2 +4ab 3 +b 4【设计意图：】由特殊的二项式来分析猜想一般的二项式展开式，培养学生由特殊到一般的思维 方式，培养学生大胆探索的精神和创新精神。 （1）展开式中各项是幂的形式，可按 a（或 b）的降幂排成： （2）展开式中各项系数的规
7、律：将上式中展开式的系数列成表如下： 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 发现： 发现每行两端都是 1，后一行其它各数是上一行肩上二数之和。再从一个数等于另二数之和联想 到结合数及其性质：于是各项系数可写成表中形式：由此猜想 展开式的各项系数： 【设计意图：】学生对各项是什么形式不难猜到，但对二项式系数不易想到，通过“杨辉三角” 中的数字规律，联想到组合数及性质，进而可用组合数来表示表中的数，从而猜想各项系数为，让学 生的思维从特殊到一般，由迷茫到大悟，使学生深深体会到数学内在的和谐，对称美。在此，适时对 学生进行爱国主义教育，激发学生的民族自豪感和学习数学的热情，思路二：
8、观察下式： （a+b） 4 （a+b）（a+b）（a+b）（a+b） 由多项式乘法知，其展开式的每一项是由 4 个括号各取一项相乘而得，故每一项都是形式，即各 项系数是由相同的项合并而成的，有几项其系数就是几，故含 a 4 的项只能由每个括号取 a 不取 b（或 说取 0 个 b）而得，即 C4 0 a 4 ，系数为：C4 0 含 a 3 b 的项只能由 3 个括号取 a，余下的 1 个括号取 b 而 得，即 C4 1 a 3 b，系数为：C4 1 ；含 a 2 b 2 的项只能由 2 个括号取 a，余下的 2 个括号取 b 而得，即 C4 2 a 2 b 2 ， 系数 C4 2 为；含的 a
9、b 3 的项只能由 1 个括号取 a，余下的 3 个括号取 b 而得，即 C4 3 a 3 b，系数为 C4 3 ，含 b 4 的项只能由4个括号都取 b而得，即 C4 4 b 4 ，系数为 C4 4 ；从而可得： （a+b） 4 a 4 +4a 3 b+6a 2 b 2 +4ab 3 +b 4提问：的展开式怎么写呢？引导学生回答：可以对 b 分类：不取 b，得取 1 个 b，取得 2 个 b，得取 k 个 b，得取 n1 个 b，得取 n 个 b，得将这 n+1 个式子相加，可得二项 式定理 （a+b） n Cn 0 a n b 0 + Cn 1 a n-1 b 1 + Cn 2 a n-2
10、 b 2 + Cn k a n-k b k + Cn n a 0 b n （nk,n,kN + ） 【设计意图：】本环节以问题为中心，由浅入深地引导学生大胆猜想。利用组合知识，充分揭示 二项展开式的内涵和外延。帮助学生建构和完善自己的认知结构，既显得合情合理，又科学严谨。进 一步强化学生的逻辑思维能力和归纳能力。 完善结论：把上述探索得到的结果叫做二项式定理，右边的多项式，共有 n+1 项，其中各项系数 Cn i （i=1,2,3,n）叫做二项式系数，其通项公式为：Tk+1=Cn k a n-k b k （k=1,2,3n）。说明： （1）猜证法是数学中常用方法，本定理是由不完全归纳法得出，需
11、加以证明。其证明因目前知识所限，留待以后完成，目前，只要求同学熟记并会应用。 （2）二项式定理是个恒等式，定理中字母 a,b 可表示数或式，其中式中 a 与 b 是用“+”连接 的。 （3）展开式共有 n+1项，各项次数为 n，它是按字母 a 降幂，b升幂排列。 （4）通项公式表示的是第 k+1 项，不是第 k 项，且 a,b 位置不能对换。 （5）二项式系数为 Cn k ，注意与项的系数的区别。 例如：（1x） 3 的第二项是C3 1 x，其二项式系数为： C3 1 ，第二项的系数为：C3 1 。 【设计意图：】对定理的特点加以说明，可使学生能熟练掌握定理的特点，以便今后在应用定理 解决问题
12、时能得心应手。 应用解析： 例：（1）展开 b a x x x 1 2 , 1 1（学生练习：）展开（a+b） 5 ,（a+b） 6（2）求展开式的第 3 项（3），求展开式的第 3项 【设计意图：】例（1）是对二项式定理的简单应用，目的在于对定理字母 a,b 所表示的数或式 的领会及运用定理的能力；例（2），（3）二题着重于学生对通项公式的掌握，体会二项式定理的展 开式中 a 与 b 位置不能对换，并注意到例（3）的结论正是例（2）展开式中的倒数第 3 项。应用解 析：例（4）（a+2b+3c） 7 ，的展开式中，a 2 b 3 c 2 项的系数是多少。 【设计意图：】 本题可先将其中的二项
13、看成一个整体，再用二项式定理展开，进而求出其系数，这种解法体现了 化归的意识，但本题如能根据二项式定理的形成过程中项的系数的探究，可得如下解法：从 7 个括号 的 2 个时取“a”得，再从余下的 5 个括号中的 3 个取“2b”得，最后剩下的 2 个括号里取“3c” 得：由分步计数原理得：通过本题的学习，有利于学生对知识的串联，累积，加工，使学生的思维有 一个升华过程，从而达到举一反三的效果，加深学生对数学本质的理解。小结思路一：由特殊的二项 式来分析猜想一般的展开式 思路二：根据多项式乘法，结合组合知识，通过猜想归纳得到二项式定 理： （a+b） n Cn 0 a n b 0 + Cn 1
14、a n-1 b 1 + Cn 2 a n-2 b 2 + Cn k a n-k b k + Cn n a 0 b n （nk,n,kN + ） 及通项公式：Tk+1=Cn k a n-k b k （k=1,2,3n） 注意事项（1），注意观察，分析，猜想，归纳（证明）的数学方法。 （b），二项式定理是个恒等式，定理中字母 a,b可表示数或式，其中。 （c），展开式共有 n+1项，各项次数为n，它是按字母 a降幂，b 升幂排列。 （d），通项公式表示的是第 k+1项，不是第 k项，且 a,b位置不能对换。 （e），二项式系数为Cn i （i=1,2,3n），注意与项的系数的区别。 布置作业 课本
15、作业：P109 1,(1),2(2),3(2),2，思考题：求的展开式中的系数，研究性题：的展开式中 x 的系数为19，求 x 2 的系数的最小值及此时 x 2 展开式中的系数。 【设计意图：】（1），本节课从知识上学习了二项式定理及通项公式，从方法上通过二项式定 理的形成过程，学会了观察，分析，猜想，归纳（证明）的数学方法，通过小结，使学生对本节课的 知识脉络更加清晰。 （2），通过作业巩固所学知识，发现和弥补教学中的疏漏与不足，强化基本技能训练，培养学 生良好的学习习惯和品质。 五、课后反思 本节课是二项式定理的第一节课，在教学中注意以下几点： 1，本节课以“二项式定理”的形成过程为主线，
16、让学生思维由特殊到一般，演绎，归纳，得出 定理。培养学生猜想，归纳，整节课以学生为主体，师生互动，体现了新课标的教学理念。 2，在例题，作业的配备上，我认为高中学习的特点是跨度大，思维能力要求高。因此，在题目 的设置上，加大了思维的含量，如例 4，让学生体会到二项式定理形成过程中的思维方式，培养了学 生的知识迁移能力，因此，我认为习题的搭配应力求让学生处理每一个问题都必须有所思考，使学生 体会到：数学不能生搬硬套，应该用数学的思想方法去学习数学，认识数学。 3，以学生为主体，让学生自己去探索，发现，再创造，最能调动学生的积极性，最有利于培养 数学能力，特别是创造性能力，从数学教育对人的发展的意义看，有效理解，主动探索的认识过程必 须伴随着学生心理意志，情感，品质的成长与完善，数学教学的最终目标并非唯一地指向数学具体知 识本身，其潜在的也是最重要的恰是指向学生的人性品质，生命成长。
