1、典案一 教学设计来源:学优高考网 gkstk课题 第 2 课时 二次函数 yax 2c 的图象与性质 授课人知识技能 经历探索二次函数 yax2和 yax 2c(a0)的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验来源:学优高考网 gkstk数学思考 会作 yax2和 yax 2c(a0)的图象，并能比较它们与 yx 2的异同，理解 a 与 c 对二次函数图象的影响问题解决 经历探索二次函数 yax2c 图象的画法和性质的过程，增强对二次函数图象的理解，体会数形结合的思想方法教 来源: 学优高考网来源:gkstk.Com学目标情感态度 进一步获得将表格、表达式、图象
2、三者联系起来的经验，体会知识的 转化，加深对图象移动的理解，感受数学数形之间的转化魅力教学重点 作二次函数 yax2和 yax 2c 的图象，比较它们的异同，了解它们的性质教学难点由函数图象概括出二次函数 yax 2，yax 2c 的性质，由性质来分析函数图象的形状和位置授课类型 新授课 课时教具 多媒体课件教学活动教学步骤 师生活动 设计意图回顾1.填空：二次函数 y2x 2 的图象是_抛物线_，它的开口方向_向上_，顶点坐标是_(0，0)_，对称轴是_y 轴_，在对称轴的左侧，y随 x 的增大而_减小_，在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而_增大_，当 x_0_时，函数有_小_值，其最值为
3、_0_二次函数 y2x 2 呢？2.二次函数 y2x 21 和 y2x 21 的图象与二次函数 y2x 2 图象的开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同？学生自主解答问题 1，教师根据学生的回答做好总结，同时提出问题 2，从而引入新课.通过复习二次函数yax 2的图象及其性质，进一步巩固旧知，同时又为学习新知打好基础，做好铺垫.活动一：创设情境导入新课【课堂引入】1.许多桥梁都采用抛物线型设计，小明将他家乡的彩虹桥按比例缩小后，绘制成如图2218 所示的示意图，图中的三条抛 图 22182.物线分别表示桥上的三条钢梁，x 轴表示桥面，y 轴经过中间抛物线的最高点，左右两条抛物线关于 y 轴对称经过
4、测算，中间抛物线的表达式为 y x210，你能计算出中间抛物线的最高140点离桥面的高度吗？通过对抛物线实际问题的导入，激发学生的学习兴趣和探究新知的欲望，还能对抛物线y x210 进行初步140的了解和认识.(续表)活动一：创设情境导入新课2.问题：二次函数 yx 2 与 yx 2 的图象一样吗？它们有什么相同点？有什么不同点？学生回顾交流展示，教师利用课件出示(多媒体展示) 二次函数 yx 2 与 yx 2 的图象及基性质：二次函数 yx 2 yx 2图象 抛物线 抛物线对称轴 y 轴 y 轴顶点坐标 (0，0) (0，0)开口方向 向上 向下增减性当 x0 时，y随 x 的增大而增大当
5、x0 时，y 随 x 的增大而减小最值 当 x0 时，y 有最小值，最小值是 0 当 x0 时，y 有最大值，最大值是 0通过填表回顾上节课所学习的知识，进一步意识到抛物线的开口方向与 a的符号有关，为本节课的学习做好铺垫.活动二：实践探究交流新知【探究 1】 二次函数 yax 2 的图象和性质.师：作出二次函数 y2x 2 的图象.生：完成下表：(教师巡视，对学习有困难的学生进行指导，等学生完成后出示下列问题)二次函数 y2x 2 的图象是什么形状？它与二次函数 yx 2 的图象有什么相同点和不同点？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？它与二次函数 yx 2 的图象的相同点：开口方向相
6、同，都向上.对称轴都是 y 轴.顶点都是原点，坐标为(0，0).在 y 轴左侧，都是 y 值随 x 值的增大而减小；在 y 轴右侧，都是 y 值随 x值的增大而增大.都有最低点，即原点.函数都有最小值.不同点：y2x 2 的图象在 yx 2 的图象的内侧，开口较小y2x 2 中函数值的增长(减小) 速度较快.同学们回答得很好，请想一想，在同一直角坐标系中作二次函数 yx 2 和y2x 2 的图象，会是什么样的？你是怎么知道的？生：二次函数 y2x 2 的图象形状与 yx 2 一样，仍是抛物线抛物线y2x 2 和 yx 2 可分别看作抛物线 y2x 2 和 yx 2 沿 x 轴对折所得的.师：你
7、能说出所得抛物线 y2x 2 和 yx 2 的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么吗？哪一个开口大？生：抛物线 y2x 2，开口向下，对称轴是 y 轴，顶点坐标为(0，0).生：抛物线 yx 2，开口向下，对称轴是 y 轴，顶点坐标为(0，0).生：抛物线 yx 2的开口较大留给学生足够的时间作出完整的图象，真正让学生借助图象归纳得出yax 2的性质，直观形象地掌握二次项系数 a 的作用，提高学生运用数形结合的思想解决问题的能力.(续表)活动二：实践探究交流新知师：同学们回答得很好，你能说出抛物线 yax 2 的对称轴、顶点坐标分别是什么吗？抛物线 yax 2 的开口方向和开口大小与什么有关？
8、你能说出其中的规律吗？生 1：对称轴是 y 轴，顶点坐标为(0，0) 生 2：a 的符号决定开口方向，|a|决定开口大小当 a0 时，开口向上；当a0 时，开口向下|a|越大，开口越小【探究 2】 二次函数 yax 2c 的图象和性质师：(多媒体展示)在同一直角坐标系内作出函数 y2x 2 与 y2x 21 的图象，并比较它们的性质生：展示图象如图 2219 所示结合图象比较性质如下相同点：它们的图象都是抛物线，且形状相同，开口方向相同它们都是轴对称图形，且对称轴都是 y 轴 图 2219在 y 轴左侧，y 随 x 的增大而减小；在 y 轴右侧，y 随 x 的增大而增大都有最低点，y 都有最小
9、值不同点：它们的顶点不同，抛物线 y2x 2 的顶点在原点，坐标为(0，0) ；抛物线y2x 21 的顶点在 y 轴上，坐标为(0，1) 虽然函数 y 都有最小值，但 y2x 2 的最小值为 0，y2x 21 的最小值为1.师：二次函数 y2x 2 与 y2x 21 的图象有什么联系？生：二次函数 y2x 21 的图象可以看成是由 y2x 2 的图象整体向上平移1 个单位长度得到的师：你能说出二次函数 y3x 2 与 y3x 21 的图象的对称轴、顶点坐标吗？生：(类比上面的学习说出答案)y3x 2 的对称轴是 y 轴，顶点坐标为(0，0) ；y3x 21 的对称轴是 y 轴，顶点坐标为(0，
10、1)师：(多媒体展示)二次函数 y3x 2 与 y3x 21 的图象如图 22 20 所示：让学生作出完整的二次函数图象，通过类比学习，进一步体验二次函数yax 2的系数 a 对图象的影响；从图象直观地理解二次函数图象之间(a 相同 )的平移关系，培养学生的动态思维和自觉学习意识，顺其自然地完成本节课的学习任务.你能结合图象说出函数的最值及 y 随 x 的变化规律吗？两个图象有什么联系？生：在抛物线 y3x 2 中，当 x0 时，y 取得最小值是 0；当 x0 时，y 随 x 的增大而增大.在抛物线 y3x 21 中，当 x0 时，y 取得最小值是1；当 x0 时，y 随 x 的增大而增大.生
11、：二次函数 y3x 21 的图象可以看成是由 y3x 2 的图象整体向下平移1 个单位长度得到的. 图 2220(续表)活动二：实践探究交流新知师：你能类比归纳出二次函数 yax 2 与 yax 2c 的图象及性质的相同之处和不同之处吗？二者有什么联系？(学生通过合作交流进行归纳总结)生：形状相同，开口方向相同，对称轴也相同，只是顶点不同，函数的最大值或最小值不同yax 2c 的图象可以看成是由yax 2 的图象整体上下平移得到的当 c0 时，向上平移|c| 个单位长度；当 c0 时，向上a0 时，向上a0 时，向上平移|c| 个单位长度；当c0)时，y 随 x 的增大而增大，而在对称轴左侧(
12、x 0)时，y 随 x 的增大而减小，正确 C 项，y ，k10，在1x每个象限里，y 随 x 的增大而减小，错误D 项，yx 21，图象是抛物线，开口向下，对称轴是 y 轴，当图象在对称轴右侧(x0) 时，y 随 x 的增大而减小，而在对称轴左侧 (x0)时，y 随 x 的增大而增大，错误故选 B.2张家界中考 若正比例函数 ymx(m 0)，y 随 x 的增大而减小，则它和二次函数ymx 2m 的图象大致是( A )图 2223解析 正比例函数 ymx(m 0)，y 随 x 的增大而减小，该正比例函数的图象经过第二、四象限，且 m0， 二次函数 ymx 2m 的图象开口方向向下，且与 y
13、轴交于负半轴综上所述，符合题意的只有 A 选项3如果抛物线 y(2a)x 2 的开口方向向下，那么 a 的取值范围是_a2_解析 因为抛物线 y(2 a)x 2 的开口方向向下，所以 2a0，即 a2.4已知正方形的面积为 y(cm2)，周长为 x(cm)(1)请写出 y 与 x 的函数表达式；(2)判断 y 是否是 x 的二次函数解：(1)正方形的周长为 x，正方形的边长为 x，14y 与 x 的函数表达式为 y x x x2.14 14 116(2)利用二次函数的定义得出 y 是 x 的二次函数5已知抛物线 yax 2n 与抛物线 y2x 2 的形状相同，且其图象上离 x 轴最近的点到 x
14、 轴的距离为 3.(1)求 a，n 的值；(2)在(1)的情况下，指出抛物线 yax 2 的开口方向、对称轴及顶点坐标解：(1)抛物线 yax 2n 与抛物线 y2x 2 的形状相同，a 2.又抛物线yax 2n 上离 x 轴最近的点到 x 轴的距离为 3，n3.(2)当 a2 时，抛物线为 y2x 2，开口向上，对称轴是直线 x0，顶点坐标是(0 ，0)；当 a2 时，抛物线为 y2x 2，开口向下，对称轴是直线 x0，顶点坐标是(0，0) 四、挑战课标中考1长沙中考 函数 y 与 yax 2(a0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(D)ax图 2224解析 当 a0 时，函数 y 的图象
15、位于第一、三象限，函数 yax 2 的图象位于第一、ax二象限且经过原点；当 a0 时，函数 y 的图象位于第二、四象限，函数 yax 2 的图象位ax于第三、四象限且经过原点，纵观各选项，只有 D 选项图象符合解题策略 本题考查了二次函数的图象，反比例函数的图象，熟记反比例函数图象与二次函数图象的性质是解题的关键，难点在于分情况讨论2淮安中考 将二次函数 y2x 21 的图象沿 y 轴向上平移 2 个单位长度，所得图象对应的函数表达式为_y2x 21_解析 二次函数 y2x 21 的图象沿 y 轴向上平移 2 个单位长度，所得图象对应的函数表达式为 y2x 2122x 21.故答案为 y2x 21.解题策略 此题主要考查了二次函数与几何变换，熟练掌握平移规律是解题关键
