1、学优中考网 动态型问题知识点一: 动点问题例 1 （2009遂宁市）如图，已知矩形 ABCD 中，AB=4cm，AD=10cm，点 P 在边 BC 上移动，点 E、F、G、H 分别是 AB、AP、DP、DC 的中点.求证：EF+GH=5cm；求当APD=90 o时， 的值GHEF解析：矩形 ABCD，AD=10cm，BC=AD=10cmE、F、G、H 分别是 AB、AP、DP、DO 的中点，EF+GH= BP+ PC= BC，21EF+GH=5cm矩形 ABCD，B=C=90 o，又APD=90 o，由勾股定理得 AD2=AP2+DP2=AB2+BP2+PC2+DC2=BP2+(BC-BP)2
2、+2AB2=BP2+(10-BP)2+32,即 100=2BP2-20BP+100+32解得 BP=2 或 8(cm)当 BP=2 时,PC=8,EF=1,GH=4,这时 41GHEF当 BP=8 时,PC=2,EF=4,GH=1,这时 的值为 或 4GHEF1知识点二 动线问题例 2 （2009东营市） 某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施该设施的下部 ABCD 是矩形，其中 AB=2 米， BC=1 米；上部 CDG 是等边三角形，固定点 E 为 AB 的中点 EMN 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风） ， MN 是可以沿设施边框上下滑动
3、且始终保持和 AB 平行的伸缩横杆学优中考网 （1）当 MN 和 AB 之间的距离为 0.5 米时，求此时 EMN 的面积；（2）设 MN 与 AB 之间的距离为 x米，试将 EMN 的面积 S（平方米）表示成关于 x 的函数；（3）请你探究 EMN 的面积 S（平方米）有无最大值，若有，请求出这个最大值；若没有，请说明理由EA BGNDMC解析：（1）由题意，当 MN 和 AB 之间的距离为 0.5 米时， MN 应位于 DC 下方，且此时EMN 中 MN 边上的高为 0.5 米.所以， S EMN= =0.5（平方米）.5021即 EMN 的面积为 0.5 平方米. 2 分（2）EA BG
4、NDMC图 2HFNEBBGDMA BC如图 1 所示，当 MN 在矩形区域滑动，即 0 x1 时， EMN 的面积 S= = ；x2如图 2 所示，当 MN 在三角形区域滑动，即 1 x 时，3E图 1 图 2学优中考网 如图，连接 EG，交 CD 于点 F，交 MN 于点 H， E 为 AB 中点， F 为 CD 中点， GF CD,且 FG .3又 MN CD， MNG DCG ，即 GFHDCMN231x故 EMN 的面积 S ；x)31(2综合可得： 313102，xxS（3）当 MN 在矩形区域滑动时， ，所以有 ；S10S当 MN 在三角形区域滑动时， S= .xx)3(2因而，
5、当 （米）时, S 得到最大值，231abx最大值 S= = = （平方米）.c42）（ ）（ 3 ，13 S 有最大值，最大值为 平方米.32知识点三 动形问题例 3 （2009台州市）如图，已知直线 交坐标轴于 两点，以线段12yxBA，为边向上作正方形 ，过点 的抛物线与直线另一个交点为 ABABCD，E（1）请直接写出点 的坐标；,（2）求抛物线的解析式；学优中考网 （3）若正方形以每秒 个单位长度的速度沿射线 下滑，直至顶点 落在 轴上时停5ABDx止设正方形落在 轴下方部分的面积为 ，求 关于滑行时间 的函数关系式，并写出xSt相应自变量 的取值范围；t（4）在（3）的条件下，抛物
6、线与正方形一起平移，同时 停止，求抛物线上 两EC, 点间的抛物线弧所扫过的面积 y x12y解析：（1）由题意，得： ；)3,1(2,DC（2）设抛物线为 ，抛物线过 ，cbxay),10()3,(2解得 .239,1cba5,617,.bc 16752xy（3）当点 A 运动到点 F 时， 当 时，如图 1，,t0t图 1 ， OFAGB,21tanOFA备用图学优中考网 ,215tantGBF,5t ； 2 421ttSGFB当点 运动到 轴上时， ，当 时，如图 2，Cx1图 2 2 15,AB ，,5tF2tGA ，2tHB ；1)ABGSHAB梯 形 （ 5)25(21tt 4t
7、当点 运动到 轴上时， ，当 时，Dx3t3t ，25t ，253 ttG ，1,21OASAOF DH ，2 )(SAOFG ，2 )53(tHGD学优中考网 = 22 35)GABCHtS五 边 形 （ ） （ 425152t（解法不同的按踩分点给分）（4） , ,3t53 BCADSS阴 影 矩 形 矩 形= AD= 153图 4随堂检测：1. （2009甘肃省兰州市）如图，正方形 ABCD 中，点 A、 B 的坐标分别为（0，10） ，（8，4） ， 点 C 在第一象限动点 P 在正方形 ABCD 的边上，从点 A 出发沿 A B C D 匀速运动，同时动点 Q 以相同速度在 x 轴
8、正半轴上运动，当 P 点到达 D 点时，两点同时停止运动，设运动的时间为 t 秒(1)当 P 点在边 AB 上运动时，点 Q 的横坐标 （长度单位）关于运动时间 t（秒）的函数图象如图所示，请写出点 Q 开始运动时的坐标及点 P 运动速度；(2)求正方形边长及顶点 C 的坐标；(3)在（1）中当 t 为何值时， OPQ 的面积最大，并求此时 P 点的坐标；(4)如果点 P、 Q 保持原速度不变，当点 P 沿 A B C D 匀速运动时， OP 与 PQ 能否相等，若能，写出所有符合条件的 t 的值；若不能，请说明理由学优中考网 2. （2009内蒙古省包头市）如图，已知 中， 厘米， 厘米，A
9、BC 108BC点 为 的中点DAB（1）如果点 P 在线段 BC 上以 3 厘米/秒的速度由 B 点向 C 点运动，同时，点 Q 在线段 CA上由 C 点向 A 点运动若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过 1 秒后， 与 是否全等，PD 请说明理由；若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度为多少时，能够使与 全等？BPD C（2）若点 Q 以中的运动速度从点 C 出发，点 P 以原来的运动速度从点 B 同时出发，都逆时针沿 三边运动，求经过多长时间点 P 与点 Q 第一次在 的哪条边上相遇？A ACAQCDB P3. （2009湖南省娄底市）如图 1
10、1，在 ABC 中， C=90， BC=8， AC=6，另有一直角梯形 DEFH（ HF DE， HDE=90）的底边 DE 落在 CB 上，腰 DH 落在 CA 上，且DE=4， DEF= CBA， AH AC=23（1）延长 HF 交 AB 于 G，求 AHG 的面积.（2）操作：固定 ABC，将直角梯形 DEFH 以每秒 1 个单位的速度沿 CB 方向向右移动，直到点 D 与点 B 重合时停止，设运动的时间为 t 秒，运动后的直角梯形为 DEFH（如图 12）.学优中考网 探究 1：在运动中，四边形 CDHH 能否为正方形？若能，请求出此时 t 的值；若不能，请说明理由.探究 2：在运动
11、过程中， ABC 与直角梯形 DEFH 重叠部分的面积为 y，求 y 与 t 的函数关系.4. （2009广东中山）正方形 边长为 4， 、 分别是 、 上的两个动点，ABCDMNBCD当 点在 上运动时，保持 和 垂直，MBC（1）证明： ；RttN （2）设 ，梯形 的面积为 ，求 与 之间的函数关系式；当 点运动到xyxM什么位置时，四边形 面积最大，并求出最大面积；A（3）当 点运动到什么位置时 ，求 的值RttBMAN 5. （2009河北省）如图，在 Rt ABC 中， C=90， AC = 3， AB = 5点 P 从点 C 出发沿 CA 以每秒 1 个单位长的速度向点 A 匀速
12、运动，到达点 A 后立刻以原来的速度沿 AC 返回；点 Q 从点 A 出发沿 AB 以每秒 1 个单位长的速度向点 B 匀速运动伴随着 P、 Q 的运动， DE保持垂直平分 PQ，且交 PQ 于点 D，交折线 QB-BC-CP 于点 E点 P、 Q 同时出发，当点 Q 到达点 B 时停止运动，点 P 也随之停止设点 P、 Q 运动的时间是 t 秒（ t0） （1）当 t = 2 时， AP = ，点 Q 到 AC 的距离是 ；（2）在点 P 从 C 向 A 运动的过程中，求 APQ 的面积 S 与 t 的函数关系式；（不必写出 t学优中考网 的取值范围）（3）在点 E 从 B 向 C 运动的过
13、程中，四边形 QBED 能否成为直角梯形？若能，求 t 的值若不能，请说明理由；（4）当 DE 经过点 C 时，请直接写出 t 的值A CBPQED随堂检测答案1. 【解析】第（1）小题考查一次函数图象，直接读图即可；第（2）小题考查勾股定理和全等三角形的知识，利用图形的性质求点 C 的坐标；第（3）小题考查二次函数的最值问题，要先建立变量 OPQ 的面积与变量 t 的函数关系式；第（4）小题考分类思想。【答案】解：（1） （1，0 ） ， 点 P 运动速度每秒钟 1 个单位长度Q（2） 过点 作 BF y 轴于点 ， 轴于点 ，则 8， BFBExBF4OBE 046AF在 Rt AFB 中
14、， 28610过点 作 轴于点 ，与 的延长线交于点 CGxFBH ABF BCH 90,ABC 6,8HF 814,12OGG所求 C 点的坐标为（14，12） （3） 过点 P 作 PM y 轴于点 M， PN 轴于点 N，x则 APM ABF ABF1068tAP 345MtPt， 3410,55NOtNPMtABCDEFGHMNPQO xy学优中考网 设 OPQ 的面积为 （平方单位）S （0 10） 213473(0)5210Sttt 0 当 时， OPQ 的面积最大10a362()10t此时 P 的坐标为（ ， ） 945（4） 当 或 时， OP 与 PQ 相等3t21t2. 【
15、解析】第（1）小问考查BPD 和CQP 全等的判定，根据“SAS”可以判定；第（2）小问可以根据BPD 和CQP 全等，确定 BP 的长,易求出点 Q 的运动速度；第（3）小问可以根据题意列出方程求解。【答案】 解：（1） 秒，1t 厘米，3BPCQ 厘米，点 为 的中点，0ADAB 厘米5又 厘米，8， 厘米，83PC BD又 ，A ， PCQ ， ，vB又 ， ，则 ，D C45BPCQBD，点 ，点 运动的时间 秒，PQ43t 厘米/秒5143Cvt（2）设经过 秒后点 与点 第一次相遇，xP学优中考网 由题意，得 ，1532104x解得 秒80点 共运动了 厘米P83 ，8024点 、
16、点 在 边上相遇，QAB经过 秒点 与点 第一次在边 上相遇3PAB3.【 解析】根据相似三角形的性质易求 AHG 的面积；解（2）探究 1，要利用“有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形” ，得出 CD=CH=2。解探究 2，要动中找静，分别画出各种类型情况下的图形，再综合利用相似性、梯形和三角形面积公式、方程等知识。【答案】 （1） AH AC=23， AC=6 AH= AC= 6=423又 HF DE， HG CB， AHG ACB = ，即 = ， HG= AHCGB468163 SAHG = AHHG= 4 = 122（2）能为正方形 HH CD， HC HD ，四边形
17、CDHH 为平行四边形又 C=90，四边形 CDHH 为矩形又 CH=AC-AH=6-4=2当 CD=CH=2 时，四边形 CDHH 为正方形此时可得 t=2 秒时，四边形 CDHH 为正方形（） DEF= ABC， EF AB当 t=4 秒时，直角梯形的腰 EF 与 BA 重合. 当 0 t4 时，重叠部分的面积为直角梯形 DEFH 的面积.过 F 作 FM DE 于 M， =tan DEF=tan ABC= = = FEACB6834学优中考网 ME= FM= 2= ， HF=DM=DE-ME=4- = 4383834直角梯形 DEFH的面积为 （4+ ）2= 1216 y= 16（）当
18、 4 t5 时，重叠部分的面积为四边形3CBGH 的面积-矩形 CDHH 的面积.而 S 边形 CBGH=SABC -SAHG = 86- =12340S 矩形 CDHH =2 t y= -2t403（）当 5 t8 时，如图，设 HD 交 AB 于 P.1BD=8-t又 =tan ABC= PDB34 PD= DB= （8- t） 34重叠部分的面积 y=S PDB= PDDB12= （8- t） （8- t）12= （8- t） 2= t2-6t+2438重叠部分面积 y 与 t 的函数关系式：y= （0 t4）16403-2t（4 t5 ）3t2-86t+24（5 t8）【点评】本题属于
19、运动变化型问题。关键在于抓住图形变化过程中的不变量，以不变应万变。4. 【解析】第(1)小题关键是证明 ；第（2）小题是利用相似三角形CMNAB对应边成比例和梯形面积公式建立二次函数模型；第（3）小题探究成立的条件，须用到（ 1）的结论。RttABMN 学优中考网 【答案】 （1）在正方形 中， ，ABCD490CDB， ，AMN，90C在 中， ，RtB 90AMB，NttC （2） ，RN ，4ABxMC，2xN，22214118()0ABCxySxxA梯 形当 时， 取最大值，最大值为 102x（3） ，90MN要使 ，必须有 ，AB ABNM由（1）知 ，C，当点 运动到 的中点时，
20、，此时 MBAB 2x【点评】本题考查相似三角形、二次函数的最值，三个问题环环相扣，综合性强。5. 【解析】第（1）小题利用相似三角形的性质求点 Q 到 AC 的距离；第（2）小题利用三角形面积公式和相似三角形的性质列出关于变量 S 与 t 的函数关系式；第（3）小题可先假设能成为直角梯形，然后分情况，从直角梯形的特征出发列方程求解；第（3）小题先画出DE 经过点 C 的示意图，再利用线段垂直平分线的性质。解：（1）1， 85； （2）作 QF AC 于 点 F， 如图 3， AQ = CP= t， 3At由 AQF ABC， 24， A C)BPQD图 3E)F学优中考网 得 45QFt 4
21、5t 1(3)2St，即 65t（3）能当 DE QB 时，如图 4 DE PQ， PQ QB，四边形 QBED 是直角梯形此时 AQP=90由 APQ ABC，得 AQPCB，即 35t 解得 98t 如图 5，当 PQ BC 时， DE BC，四边形 QBED 是直角梯形此时 APQ =90由 AQP ABC，得 AQPBC，即 35t 解得 158t（4） 2t或 4t【注：点 P 由 C 向 A 运动， DE 经过点 C方法一、连接 QC，作 QG BC 于 点 G， 如图 6t， 222234(5)(5)tt由 2PC，得 222ttt，解得 t方法二、由 QPA，得 QCA，进而可得B，得 B， 52 t 点 P 由 A 向 C 运动， DE 经过点 C， 如图 722234(6)(5)(5)ttt， 451】A CBPQED图 4A CBPQED图 5A C(E)BPQD图 6GA C(E)BPQD图 7G学优中考网 学优*中考，网
