1、第 18 讲 代数不等式题一：设 a，b，c 为正实数，求证： abc 2 1a3 1b3 1c3 3题二：已知 a，b，c 都是实数，求证：a 2b 2c 2 (a bc) 2abbcac13题三：已知 a，b，c 均为正实数，且 abbcca 1求证：(1)abc ；(2) ( )3abc bac cab 3 a b c题四：已知实数 满足 ， ，试求 的最,dd22365da值题五：已知函数 f(x)m|x2|，m R，且 f(x2) 0 的解集为1,1(1)求 m 的值； (2)若 a，b，cR ，且 m，求 a2b3c 的最小值1a 12b 13c题六：已知正数 满足 zyx, 04
2、5zyx（1）求证： ；（2）求 的最小值59316422 29yzx第 19 讲 数列的生成函数题一： 已知数列 中，各项都是正数，且满足：na， 01a(4),2nN证明： 1,题二： 数列 中， ， ( 为常数， ) ，na121nnaac11,23n且 328（）求 的值； c（）证明： ； 1na2（）比较 与 的大小，并加以证明 1nka14039n题三： 已知数列 n对任意的 ,2*N满足: nnaa21，则称 n为“Z数列”(1)求证：任何的等差数列不可能是“Z 数列”；(2)已知正数列 nb，若数列 nblg是“Z 数列”，数列 nb是否可能是等比数列，说明理由，构造一个数列
3、 c，使得 是“Z 数列” ；(3)若数列 a是“Z 数列” ，设 ,*tsmts且 求证 .stmst aa题四： 已知函数 ()yfx对任意的实数 ,()()(10xyfyfxyf都 有 且(1) ，nN*， ，设 且 为等比数列，求 的值；na1niSa2nSbnb1a(2)在(1)的条件下，设 2nC 证明： (i) 对任意的 20,1nnxaxx， N；(ii) 212n， N题五： 已知数列 满足 ， nx142134nx()求证： ；()求证： 3n1n题六： 对于任意的 *N，若数列 na同时满足下列两个条件，则称数列 na具有“性质 m”： 12nna；存在实数 M,使得 n
4、成立(1)数列 na、 b中， 、 6si2bn( 5,4321)，判断 n、 b是否具有“性质 ”；(2)若各项为正数的等比数列 nc的前 项和为 nS，且 3c, 7S，求证：数列nS具有“性质 m”；(3)数列 d的通项公式 nntd21)3( *N)对于任意 10,3n且 *Nn，数列 n具有“性质 ”，求实数 的取值范围第 18 讲 代数不等式题一： 见详解详解：因为 a，b，c 为正实数，由均值不等式可得 3 ，即 1a3 1b3 1c3 31a31b31c3 1a3 1b3 1c3 3abc所以 abc abc而 abc2 2 1a3 1b3 1c3 3abc 3abc 3abc
5、abc 3所以 abc2 1a3 1b3 1c3 3题二： 见详解详解：a 2b 22ab，b 2c 22bc ，a 2c 22ac，2a 22b 22c 2 2ab2bc 2ac，3(a 2b 2c 2)(abc) 2，即 a2b 2c 2 (abc) 213由 a2b 2c 2ab bc ac，a 2b 2c 22ab2bc 2ac3ab3bc3ac，(abc) 23(abbcac ) (abc) 2abbcac13综上所述，a 2b 2c 2 (abc) 2abbc ac，命题得证13题三： 见详解详解：(1)要证明 abc ，3a，b，c 为正实数， 只需证明( abc) 23，即证明
6、 a2b 2c 22ab2bc 2ac3又 abbcac 1，只需证明 a2b 2c 2abbc ac上式可由 abbcca a 2b 2c 2 证得，a2 b22 b2 c22 c2 a22原不等式成立(2) abc bac cab a b cabc又由(1)已证 abc ，3原不等式只需证明 ，1abc a b c即证明 a b c abbcca bc ac ab而 a ，b ，c bc abacab ac2 ac ab bc2 ab ac bc2a b c abbc ca 成立原不等式成立bc ac ab题四： ， maxin1详解：由柯西不等式得，有；即22213636bcdbcd 2
7、2236bcdbc由条件可得， ；解得， ；当且仅当 时，等号成立，225a1a11236代入 得， ；1,36bcdmax当 时， 2in1题五： （1）1；（2）9详解：(1)因为 f (x2)m|x |，所以 f (x2)0 等价于|x|m，由|x| m 有解，得 m0，且其解集为x|mxm又 f(x2) 0 的解集为1,1，故 m1(2)由(1) 知 1，又 a，b，cR ，1a 12b 13c由柯西不等式，得： 2111()()(23)923abcc所以 a2b3c 的最小值为 9题六： （1）见详解；（2）18详解：（1）根据柯西不等式，得 459316425)()53()4( 2
8、2yxzzyyxxzy 25x因为 ,所以 1034zy 52014593164522 yxzzyyx（2）根据均值不等式，得 ，22293xxyxzz当且仅当 时，等号成立2zyx根据柯西不等式，得 ，10)45()345)( 2222 zyx即 ，当且仅当 时，等号成立)(22zyxzyx综上， 29318第 19 讲 数列的生成函数题一： 见详解详解：1当 n=0 时， a 0a 12，命题正确0103,(4),2aa2假设 n=k 时有 ak1a k2则 n=k+1 时，1211(4)()()(4),kkk kkaaa而 ak1ak04a k1ak0，a k ak+10又 n=k+1
9、时命题正确2()4(),22 由 1、2知，对一切 nN 时，有 ana n+12题二： （） ；（） （）见详解c详解：（）由 ，得 ，3218a2118cc解得 ，或 （舍去） （）证明：因为 ，221 ()0nnnaa当且仅当 时， 2a因为 ，所以 ，即 ( ) 110n1n,3下面证明：对于任意 ，有 成立 *N2当 时，由 ，显然结论成立假设结论对 时成立，即n 1k2.ka因为 ，且函数 在 时单调递增， 21 3()nnaa2()yx1x所以 即当 时，结论也成立3()k1于是，当 时，有 成立*Nn（）由 ，可得 ，21naa11()(2)nnnaa从而 因为 ，1n所以 1
10、111 .222nkkknnaaaa121140403939(53)(8)()92nnkn naa 因为 ，由（） ( ) 1a12na*N由 及 ， 经计算可得n231.8a， 所以，当 时， ；当 时， ；214039a1409当 时，由 ，38n得 111 11 1(5)(83)40 400 939239n nn nk kaaa 题三： 见详解详解：(1)设等差数列 n的首项 1，公差 d， dn)(102)(211 aan所以任何的等差数列不可能是“Z 数列”或者根据等差数列的性质： nn21所以任何的等差数列不可能是“Z 数列”(2)假设 为正数列， lg是“Z 数列” ，na lg
11、是“Z 数列 ”，所以 nnnaalgl11 ，21na所以 n不可能是等比数列等比数列 ,01qccn只要首项 0c公比 q其他的也可以：2b， )(4n等比数列 n的首项 1,公比 ,通项公式 1 211 nnn ccc02qq恒成立, 01c 补充说明：分析： 11nnaa, )()(nan 根据几何意义只要 fc的一阶导函数单调递减就可以 (3)因为 ssb1, 121ssb, 232ssb, 11tttb 21.tttttstsa a一 共 项同理： 12112.tmstm smtmttsstsaaaabb 一 共 项因为数列 n满足对任意的 ,1*nNn均 有 所以 ,2211 s
12、msttmtt mstst aa题四： (1)31a；(2)见详解详解：(1) )()(yfxyf对于任意的 x R均成立, )1()(fnf,即 .1an ,01 ),(0Nan n是 以 为首项, 1为公比的等比数列, n1当 ，时1Sn,此时 ,2nb不是等比数列, .1a b成等比数列, 32b成等比数列, 32 1111 2)()(,2aaa ,322113 21() 96,()a，解得 31a(2)在(1) 的条件下, ,n知 03nc,(i) )32()1xx )12()1xxn= ccnn22= ()1ncx ,原不等式成立 解法二 (i)设 )3()12xf n,则 24(1
13、()1)xfx= 32()nx 0)(3,0，fn时当 ；当 0)(32，fn时 ；当 )(xfxn时取得最大值 .1nnc原不等式成立(ii)由 (i)知，对任意的 x0，有 2221 )1()3(1xxccn )()3(xxn= )33nx取 (1nn322 )= )1()1(n, 则 13)3(2221 naa n原不等式成立 题五： 见详解详解：() 证明：用数学归纳法证明(1)当 时， 所以结论成立n143x(2)假设 时结论成立，即 ，()kkx则 221()33044kkkx所以 即 时,结论成立由(1)(2)可知对任意的正整数 ，都有 k1nn3nx() 证明： 22133(1
14、)4424nnn nxxx 因为 ，所以 ，即 所以 3nx()02nx10n1nx题六： （1） na不具有“性质 m”； nb具有“性质 ”；（ 2）见详解；（3） t详解：(1)在数列 中，取 1，则 32aa，不满足条件 ，所以数列 n不具有“性质 ”；在数列 b中， 1， 2b， 3， 4b， 15，则 31, 34, 423bb，所以满足条件； 6sin2( 5,)满足条件,所以数列 n具有“性质 m”(2)由于数列 c是各项为正数的等比数列,则公比 0q,将 413c 代入 3S4732q得： 162,解得 2或 q(舍去)所以 1c, 1n, 1nS 对于任意的 *N， 122 nnS且 2 所以数列 nS满足条件和,所以数列 具有“性质 m” (3)由于 dnt13,则 11)(3ntd, 22)(3nntd 由于任意 0,且 *,数列 具有“性质 ”,所以 1nd 即 nt212)(nt 12)(nt，化简得： 1)(t, 即 t对于任意 ,3且 *N恒成立,所以 11)(nnnttd= 1)(nt由于 0,3及,所以 nd1即 10,3n时，数列 nd是单调递增数列，所以 d最大项的值为 101023t满足条件只需 Mt2即可，所以这样的 存在，所以 1t即可
