1、第十三章 全等三角形1.了解逆命题与逆定理的含 义,能够判断真命题与假命题,感受证明的必要性、证明过程的严谨性以及结论的确定性 .2.了解全等图形的概念 ,能识别全等多边形(三角形)的对应顶点、对应角、对应边,知道全等多边形(三角形)的对应边 、对应角分别相等 .3.熟 练掌握三角形全等的判定方法,并会运用这些判定方法判定两个三角形全等 .4.了解尺规作图的步 骤,能利用基本作图方法作三角形 .5.在教学中,注意知 识的形成过程和所学内容与现实生活的联系;注重让学生经历操作、观察、推理、想象等探索过程 .1.通 过探究知 识的 过程,了解全等图形和全等三角形的判定,以及尺规作图之间的内在联系
2、.2.使学生有效地使用逻辑推理的方式认识几何图形,知道证明的过程可以有不同的表达方式,学会演绎推理证明的格式 .3.掌握全等三角形的证明思路和方法 .1.让 学生通 过动手操作 ,感受知识的形成过程,树立认真的学习态度,激发学生的学习热情 .2.利用小组合作学 习的方法,在学习中多与同学进行交流,多种感官参与教学,主动探索,发现规律,归纳概括,形成能力,养成学数学、 爱数学的情感 .学生已经学过线段、角、相交线、平行 线以及三角形的有关知识,这些为学习命题和全等三角形的有关内容做了准备 .通过本章的学习,可以丰富和加深学生对已学图形的认识 .全等三角形是研究图形的重要工具,学生只有掌握了全等三
3、角形的相关知识,并且能够灵活运用它,才能学好以后要学的四边形 .在本章中,全等三角形的判定既是重点,也是难点,同时也是中考的热点 .全等三角形在中考中主要考查全等三角形的判定证明,并会将有关知识应用到综合题的解题过程中去,如把某些问题转化为三角形的问题求解,能从复杂的图形中寻求全等的三角形以获得自己需要的信息也是中考的要点 .【重点】1.命 题、定理的有关概念 .2.全等三角形的性质及各种判定三角形全等的方法 .3.证 明的基本 过程 .4.尺 规作 图 .【难点】1.根据不同条件合理选用三角形全等的判定方法,特别是对“SSA”不能判定三角形全等的认识 .2.证 明的格式 .1.在命 题 与证
4、明的教学中 ,要让学生通过大量的例子,分清命题的条件和结论,让学生逐步熟悉命题的形式,要通过学生自主探索、合作交流 ,让学生归纳出举反例判断假命题 的方法,在进行定理的教学时,还应让学生确认可以通过逻辑推理证明的真命题才有可能作为定理,成为以后证明的依据 .2.对 全等三角形的教学时,要引导学生正确分类,能根据所给数据画出三角形,通过比较,直观感知全等三角形的判定方法,同时也要让学生能通过说理确认全等三角形的判定方法的正确性 .在证明的过程中要指导学生注意规范书写格式,规范推理过程,让学生的推理过程有理有据,同时要注重分析思路,让学生学会思考问题,让学生学会对问题有清晰的思路过程 .有必要养成
5、固定的思考过程模式,如:证等角全等三角形找到相关三角形找全等条件联系已知条件 .3.在教学尺规作图时 ,应要求学生采用先画草图分析作法,再进行尺规作图;对于“作一个角等于已知角”的教学时,要注意引导学生进行分析,要让学生先自主探究,后合作交流,同时要让学生在动手操作的基础上总结作图的步骤 .13.1 命题与证明 1 课时13.2 全等图形 1 课时13.3 全等三角形的判定 4 课时13.4 三角形的尺规作图 1 课时回顾与思考 1 课时13.1 命题与证明1.理解逆命题的概念 ,能够判断命题的真假 .2.会把命题改写成 “如果那么”的形式 .3.了解逆定理及证 明的概念,会对一个真命题进行证
6、明 .1.感受几何中推理的严谨性,掌握推理的方法 .2.通 过对 几何问题 的演绎推理,体会证明的必要性,培养学生的逻辑推理能力 .通过积极参与,获取正确的数学推理方法,理解数学的严谨性,并培养与他人合作的意识 .【重点】1.让 学生弄清命 题 的条件和结论,熟悉命题的形式 .2.理解逆定理和证 明的概念,能进行简单的证明 .【难点】 理解证明的必要性 .【教师准备】 课件 15.【学生准备】 复习以前学过的几何定理等知识 .导入一:情境:小亮和小刚正在津津有味地阅读我们爱科学 .小亮:“ 哈 !这个黑客 终于被逮住了 .”小刚:“ 是的 ,现在网 络广泛应用于我们的生活中,给我们带来了方便,
7、但” .坐在旁边的两个人一边听着他们的谈话,一边也在悄悄议论着 .“这个黑客是小偷吗 ?”“可能是喜欢穿黑衣服的 贼 .”你听完这节片段的故事,有何想法?同学们各抒己见,老师给予同学的各种回答评价后,发表自己的看法:在日常生活中,我们会遇到许多概念,假如不对这些概念下定义,别人就无法理解这些概念的含义,以致无法正常地进行交流 .同样,在数学学习中,要进行严格的论证,也必须首先对所涉及的概念下定义 .本节我们就一起学习命题与证明 .导入二:在电影流浪者中,法官和流浪者有这样一段对话,法官说:“贼的儿子永远是贼,因为你是贼的儿子,所以永远是贼 .”同学们 ,法官这个推理对吗 ?显然是错误的,你知道
8、这个荒 谬的结论错在哪里吗?学完本节课“ 命题与证明” 你就会明白了 .设计意图 通过风趣幽默的对话,让学生感知证明的重要性,从而激 发学生的求知欲望,能够更好地投入到本节课的学习之中,为学习本节课的知识做好铺垫 .导入三:师:我们已经学过一些图形的特性,如“三角形的内角和等于 180 度”“三条边相等的三角形是等边三角形”等 .根据我们已学过的图形的特性,试判断下列句子是否正确 .1.如果两个角是对顶 角,那么这两个角相等 .2.两直 线 平行,同位角相等 .3.同旁内角相等,两直 线平行 .4.平行四边形的四条 边相等 .5.直角都相等 .设计意图 通过对以前学过知识的掌握能够判断一个命题
9、的真假, 初步感知真命题和假命题,从而自然地引入新知 .活动一:真假命题与互逆命题思路一【课件 1】 观察下面两个命 题:(1)两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;(2)两条直线被第三条直线所截,如果这两条直线平行,那么同位角相等 .引导学生思考:(1)在这两个命题中,其中一个命题的条件和结论,与另一个命题的条件和结论有怎样的关系?(2)请再举例说明两个具有这种关系的命题 .归纳:像这样,一个命题的条件和结论分别为另一个命题的结论和条件的两个命题,称为互逆命题 .在两个互逆的命题中,如果我们将其中一个命题称为原命题,那么另一个命题就是这个原命题的逆命题 .让学生完成教
10、材第 32 页“ 做一做”, 指出原命题和逆命题的真假性 .教师在学生思考的基础上指导学生注意语言的规范性和逻辑性 .知识拓展 每一个命题都有逆命题,只要将原命题的条件改成结论 ,并将结论改成条件,便可得到原命题的逆命题,但有很多命题的逆命题并不是简单地将原命题的条件与结论互换,必须正确运用数学语言 .强调:每个命题都有逆命题,但原命题正确,它的逆命题未必正确 .要说明一个命题是假命题,只要举出反例就可以了 .例如:“ 若 ,则 a=b”这个命题是假命题,只要举出两个数的绝对值相等,但这两个数不相等的情况|=|就可以判断这个命题是假命题 .如: ,但 5-5.|5|=|-5|让学生举出反例说明
11、:“如果 a+b0,那么 a-b0”是个假命题 .设计意图 明确真、假命题与互逆命 题,通过区分两类概念,从中体会要说明一个命题是假命题,只要举出一个反例就可以了,培养学生举反例进行说明的能力 .思路二过渡语 刚才通过实例,我们初步了解了推理的重要性,首先我 们来学习真假命题与互逆命题 .1.命 题的条件和 结论教师讲解:在数学中,许多命题是由已知条件、结论两部分组成的 .条件是已知事项,结论是由已知事项推出的事项 .这样的命题常可以改写成“ 如果那么” 的形式,用“ 如果” 开始的部分是条件,“那么”开始的部分是结论 .有的命题的条件和结论不十分明显,可以将它写成“如果那么”的形式,就可以分
12、清它的条件和结论了 .例如:命题“ 直角都相等” 可以写成 “如果两个角是直角,那么这 两个角相等” .【课件 2】 下列命 题的条件是什么?结论是什么?(1)对顶角相等 .(2)如果 ab,bc,那么 a=c.引导学生把(1 )先改写成“如果那么”的形式,再确定条件和结论 .解:(1)条件:两个角是对顶角 .结论:这两个角相等 .(2)条件: ab,bc,结论: a=c.2.真假命题过渡语 命题有真命题和假命题,真命题就是条件成立,结论也一定成立的命 题;而假命题是条件成立时,不能保证结论总是成立的命题 .请同学们看下面的问题 .【课件 3】 判断下列句子是否正确 .(1)三角形的内角和是
13、180 度 .(2)同位角相等 .(3)同角的余角相等 .(4)一个锐角与一个钝角的和是 180 度 .让学生根据已有的知识进行判断,并说明理由 .3.互逆命题教师讲解:例如“两直 线平行,内错角相等” 这个命题,条件为“如果两条直线被第三条直线所截,且两直线平行”, 结论 是“ 那么内 错角相等” .如果把这个命题的条件和结论互换 一下位置,新句子也是一个命题,这时条件为“ 如果两条直线被第三条直线 所截,内错角相等”, 结论变为“那么 这两条直线平行” .这样我们就说后一个命题是前一个命题的逆命题,前一个命题也是后一个命题的逆命题 .这两个命题互为逆命题 .一般来说,在两个命题中,如果第一
14、个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论是第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互逆命题 .如果把其中一个命题叫做原命题,那么另一个命题叫做这个原命题的逆命题 .活动二:证明与互逆定理过渡语 要说明一个命题是真命题,则要从命题的条件出发,根据已 经学过的基本事实、定 义、性质和定理等,进行有理有据的推理,这种推理叫做证明 .【课件 4】 证明:平行于同一条直 线的两条直线平行 .让学生首先判断这个命题的真假性,引导学生分析讨论证明的方法 .说明:教师要重点关注学生的证明过程的书写是否符合要求 .已知:如图所示,直线 a,b,c,ac,bc.求证: ab.证明:如图所示,作直线 d,分别
15、与直线 a,b,c 相交 .ac(已知),1=2(两直线平行,同位角相等) .bc(已知),2=3(两直线平行,同位角相等) .1=3(等量代换) .ab(同位角相等,两直线平行) .即平行于同一条直线的两条直线平行 .一般地,证明命题按如下步骤进行:(1)依据题意画图,将文字语言转换为符号( 图形)语言;(2)根据图形写出已知、求证;(3)根据基本事实、已有定理等进行证明 .教师讲解:如果一个定理的逆命题是真命题,那么这个逆命题也就成了定理 .这两个定理叫做互逆定理,其中一个定理叫做另一个定理的逆定理 .我们已经知道命题“两直线平行,内错角相等” 和它的逆命题“内错角相等,两直线平行” 都是
16、真命题,所以它们都是定理,因此它们就是互逆定理 .你能举出我们学过的一些互逆定理吗?一个假命题的逆命题可以是真命题,甚至可以是定理 .例如:“相等的角是对顶角”是假命题,但它的逆命题“对顶 角相等 ”是真命 题,且是定理 .指导学生完成教材第 33 页“ 做一做” .【课件 5】 已知:如 图所示,点 O 在直线 AB 上, OD,OE 分别是 AOC,BOC 的平分线 .求证: ODOE.证明: OD 平分 AOC,OE 平分 BOC,COD= AOC,COE= BOC,12 12COD+COE= (AOC+BOC)= 180=90,12 12即 DOE=90,ODOE.设计意图 通过做一做
17、锻炼学生的逻辑思维能力,巩固所学的知识 ,同时培养学生的合作探究精神和归纳总结的能力,让学生理解定理可以作为进一步判断其他命题真假的依据 .命题的组成每一个命题都是由条件和结论两部分组成的,条件是已知事项,结论是由已知事项推断出的事项 .注意:对每一个讨论的命题,其条件和结论不一定只有一个 .真命题、假命题、反例正确的命题称为真命题;错误的命题称为假命题;举一个例子,其具备命题的条件,而不具备命题的结论,这种例子称为反例 .注意:要说明一个命题是假命题,通常举出反例来说明 .互逆命题与互逆定理一般来说,在两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论是第二个命题的条件,
18、那么这两个命题叫做互逆命题 .如果一个定理的逆命题是真命题,那么这个逆命题也就成了定理,这两个定理叫做互逆定理,其中一个定理叫做另一个定理的逆定理 .注意:任何一个命题都有逆命题,但任何一个定理不一定有逆定理 .证明的一般步骤(1)画图;(2 )写出已知、求证;(3)证明 .注意:证明要做到有理有据 .1.下列命题的逆命 题一定成立的是 ( )对顶角相等;同位角相等,两直线平行;若 a=b,则| a|=|b|;若 x=3,则 x2-3x=0.A. B. C. D.解析:对顶角相等,逆命题为:相等的角为对顶角,错误;同位角相等,两直线平行,逆命题为:两直线平行,同位角相等,正确;若 a=b,则|
19、 a|=|b|,逆命题为:若| a|=|b|,则 a=b,错误;若 x=3,则 x2-3x=0,逆命题为:若 x2-3x=0,则 x=3,错误 .故选 D.2.命 题: 对顶角相等 ;垂直于同一条直线的两直线平行;相等的角是对顶角;同位角相等 .其中假命题有 ( )A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个解析:对顶角相等,所以为真命题;在同一平面内,垂直于同一条直线的两直线平行,所以为假命题;相等的角不一定是对顶角,所以为假命题;两直线平行,同位角相等,所以为假命题 .故选 C.3.已知三条不同的直线 a,b,c 在同一平面内,下列四个命题:如果 ab,ac,那么 bc;如果 ba,ca
20、,那么 bc;如果 ba,ca,那么 bc;如果 ba,ca,那么 bc.其中真命题的是 .(填写所有真命 题的序号) 解析:分析所给命题是否为真命题,需要分析条件是否能推出结论,从而利用排除法得出答案 .故填 .4.命 题“如果 n 是整数 ,那么 2n 是偶数”的条件是 ,结论是 ,这是 命题( 填“ 真”或“假”) .解析:命题写成“如果 ,那么” 的形式 时,“如果”后面接的部分是条件 ,“那么”后面接的部分是结论 .依此可写出命题“如果 n 是整数,那么 2n 是偶数” 的条件和结论 .根据偶数的定义可知该命题是真命题 .答案: n 是整数 2n 是偶数 真5.如 图所示 ,直线 A
21、B 和直线 CD、直线 BE 和直线 CF 都被直线 BC 所截 .在下面三个条件中,请你选择其中两个作为条件,剩下的一个作为结论,组成一个真命题并证明 . ABBC,CDBC, BECF,1=2 .解析:可以由得到:由 ABBC,CDBC 得到 ABCD,利用平行 线的性质得到 ABC=DCB,又BECF,所以 EBC=FCB,所以 ABC-EBC=DCB-FCB,即1=2 .解:(答案不唯一) 已知:如图所示, ABBC,CDBC,BECF.求证:1=2 .证明: ABBC,CDBC,ABCD,ABC=DCB,又 BECF,EBC=FCB,ABC-EBC=DCB-FCB,1=2.13.1
22、命题与证明活动一:真假命题与互逆命题活动二:证明与互逆定理一、教材作业【必做题】教材第 34 页练习第 1,2 题 .【选做题】教材第 34 页习题第 1,2,3 题 .二、课后作业【基础巩固】1.下列 语 句中,不是命 题的是 ( )A.两点之间线段最短B.对顶角相等C.不是对顶角不相等D.连接 A,B 两点2.举 一个反例 说明 “一个角的余角大于这个角”是假命题,其中错误的是 ( )A.设这个角是 45,它的余角是 45,但 45=45B.设这个角是 30,它的余角是 60,但 30b,则 .1b,但不满足 . (2)改成:若 ab0,则 或若 0ab,则 .190,和 不可能是某个角
23、(或某两个相等的角)的余角 . (4)如果两个角相等,那么这两个角是同角(或等角)的补角 .它是假命题,如 =200180,和 不可能是某个角(或某两个相等的角) 的补角 . (5)如果两个数的和等于 0,那么这两个数是互为相反数的两个非 0 数 .它是假命题,如 a=0,b=0,a+b=0,但a,b 不为 非 0 数 . (6)能被 2 整除的数一定是偶数 .它是真命题 .(证明略)2.证 明:如 图所示 ,1+2=180(已知 ),1=3(对顶角相等),3+2=180( 等量代换), ab(同旁内角互补,两直线平行) . 习题(教材第 34 页 )1.证 明:点 C 是线段 AD 的中点(
24、已知 ),AD=2CD(线段中点的定义) .又 点 D 是线段 CB 的中点,CB=2CD(线段中点的定义), AD=CB(等量代换) .2.证 明: AOB=AOB(已知),1=3(已知), AOB-1=AOB-3(等式的性质), 即2=4 .3.解 :DEBC(已知), ADE=50(已知), C=70(已知), B=ADE=50(两直线平行,同位角相等), DEC+C=180(两直 线平行,同旁内角互补), DEC=180-C=180-70=110.1.初中数学命题的三个特征命题是对某一事件作出正确或不正确判断的语句 .正确理解命题的关键是要抓住它的三个特征,下面举例分析 .下列各语句中
25、,哪些是命题?哪些不是命题?(1)相等的角是直角 .(2)直线是没有长度的 .(3)明天会下雨吗?(4)两条直线被第三条直线所截 .(5)作直线 ABCD.解:(1)(2 )是命题,因为它们都是具有判断性的语句 .(3)(4)(5)都不是命题,因为它们都不是判断性语句,(3 )是疑问句,( 5)是叙述一个过程的语 句 .2.数学命题有真假之分正确的命题称为真命题,错误的命题称为假命题 .要判断一个命题是真命题需要进行证明,而判断一个命题是假命题只要举出一个反例就可以 .下列各命题是真命题还是假命题?(1)有公共顶点的两个角是对顶角 .(2)四边形的内角和是 360 度 .(3)内错角相等 .解
26、:不能认为肯定的命题就是真命题,否定的命题就是假命题 .(1)假命题 .如图 1 所示,1 和2 是有公共顶点的两个角,但1 和2 并不是对顶角 . (2)真命题 .如图 2 所示,一条对角线可以把一个四边形分成两个三角形,由每个三角形内角和是 180 度可知四边形内角和是 360 度 . (3)假命题 .如图 3 所示,若直线 AB 与 CD不平行,则12 . 3.命 题的 结构有固定的形式每个命题都是由题设(条件)和结论两部分构成的,有些命题常常写成 “如果,那么”的形式,具有这种形式的命题中,“如果 ”部分是条件, 就是命题证明中的“已知”;“那么”部分是结论,就是命题证明中的“求证”
27、.如图所示,下列六个条件:1= E;2= F; A+1=180; B+2=180; DCE+E=180; CDF+F=180.从中选取两个作为条件,使得命 题“如果 , ,那么 ABEF”是一个真命题,并证明你的结论 .(填序号 ) 解:(本 题答案不唯一)可选 .如果1= E,B+2=180,那么 CDEF,ABCD,ABEF.13.2 全等图形1.了解全等图形以及全等 图形的对应点、 对应线段、对应角 .2.了解全等三角形,知道全等三角形的对应边相等,对应角也相等 .通过观察图形,找到全等三角形的对应边、对应角,利用全等三角形对应边相等,对应角相等的性质进行简单的推理和计算 .培养学生的观
28、察和动手能力,发展学生的几何观念 .【重点】 掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等的性质 .【难点】 用全等三角形的性质进行简单的推理和计算 .【教师准备】 课件 17.【学生准备】 搜集日常生活中形状、大小相同的图形 .导入一:1.做一做:指导学生画 边长为 4 cm 的等边三角形和边长为 4 cm 的正方形,并将它们剪下来 .2.交流 讨论 :同桌两人 为一组,将剪下的图形放在一块,观察重合情况 .3.得出 结论 :两个三角形完全重合 ,两个正方形完全重合 .4.出示教材第 35 页图 13-2-1 中(1)( 4)(5),及思考“观察与思考” 中的两个问题 .5.如 图所示 ,找出图
29、中全等的图形: 和 全等 . 6.学生画三边长分 别为 4 cm、5 cm、6 cm 的三角形,剪下后两人一组放在一起,观察讨论,两个三角形是否全等?设计意图 让学生观察图形,对图形有一个感性的认识 .通过学生的 动手操作,感知图形的全等,培养学生的操作能力 .导入二:【课件 1】 教师出示 图片 观察思考:如图所示,每组的两个图形有什么特点? 教师多媒体演示,实际操作把每组的两个图形沿同一水平方向平移使每组中的两个图形叠放在一起 .学生讨论 .生 1:每组 的两个图 形大小都一样 .生 2:每组 的两个图 形都可以重合 .师:同学们的观察力很棒,上面的两组图形,每组中的两个图形能够完全重合
30、.那么现实生活中还有哪些能够完全重合的图形的例子呢?学生举例 .师:很好,我们今天就来学习全等图形的相关知识(板书课题) .设计意图 通过简单的生活图例和教师的演示,导出本节课的教学内容 ,有利于提高学生学习的积极性 .导入三:如图所示,正方形网格中有 12 棵树,请你把这个正方形网格划分为四小块,要求每块的形状、大小都相同 ,并且每块中恰好有三棵树 .要想划分相等的几部分,就需要用到全等的有关知识,也就是我们今天要学习的内容 .设计意图 通过问题情境的设计,激发学生对全等知识的探究欲望 ,从而积极地投入到本节课的教学中 .过渡语 图形的形状和大小是几何研究的重要内容,全等图形研究的是 图形形
31、状和大小的相互关系 .探究一:全等图形的概念思路一师:我们把能够完全重合的两个图形叫做全等图形 .【课件 2】 观察下面两 组图形,它们是不是全等图形?并指出它们的相同点与不同点 . 学生观察讨论 .生:它们不是全等图形 .师:为什么?生:在图(1 )里的两个图形都是八边形,但是它们的大小不相等 .在图( 2)中的两个图形都是由三个大小相同的小正方形组合而成的,它们的大小相等,但形状不相同 .师:回答得很好,这位同学不仅观察力很棒,并且语言组织能力也很强 .同学们也要像他一样不仅要善于观察更要善于总结 .如果上面两组图形不是全等图形,那么全等图形有什么样的特征呢?生:全等图形的形状、大小都相同
32、 .师:全等图形的形状、大小都相同 .当两个全等的 图形重合时,互相重合的点叫做对应点,互相重合的边叫做对应边,互相重合的角叫做对应角 .【课件 3】 观察下面的全等 图形,找出图形的对应边、 对应点和对应角 .设计意图 理解和掌握全等图形的定义,明确全等图形必须具备的条件 :一是形状相同;二是大小相等 .另外通过练习让学生明确两个全等图形点、角、边的对应关系 .思路二师:我们身边经常看到“一模一样” 的 图形,比如两张由同一底片冲印出来的完全相同的照片,用两张纸重叠在一起剪出的两张窗花等,你还能举一些这样的“一模一样” 的例子 吗?问题:几何中,我们把上面所列举的“一模一样” 的图形叫做“全
33、等图形”, 那么我们怎么给“全等图形”下一个几何定义呢?是 :(1)形状相同的两个图形?(2)大小相等的两个图形?(3)能够完全重合的两个图形?讨论结果:能够完全重合的两个图形叫全等图形 .【课件 4】 (1)你能把如图( a)所示的 长方形分成 2 个全等图形吗? 把如图( b)所示的等边三角形分成 3 个全等三角形吗?把如 图( c)所示的长方形分成 4 个全等三角形吗?(2)你会把下图( d)和( f)分别分成四个全等的图形吗?试一试 .(保留你画的痕迹)指导学生小组讨论完成 .说明:当两个全等的图形重合时,互相重合的点叫做对应点,互相重合的边叫做对应边,互相重合的角叫做对应角 .知识拓
34、展 两个全等图形,它们的形状和大小应该是完全相同的,缺一不可 .两个全等图形与它们的相对位置无关 .全等多边形是全等图形的特例,所以如果两个全等多边形能够达到重合状态,那么它们重合的边(对应边)、重合的角(对应角) 分别相等 .探究二:全等三角形过渡语 在全等多边形中,最常见的就是全等三角形,下面我们 来研究一下全等三角形的有关知识 .1.全等三角形的性质的探究思路一1.全等三角形的定义及性质(1)定义:全等三角形是能够完全重合的两个三角形,是形状相同、大小相等的两个三角形 .(2)反例:举出不全等的三角形的例子,利用教师和学生手中的含有 30 度角的三角板说明只满足形状相同的两个图形不是全等
35、图形,强调定义的条件 .师:请同学们观察周围有没有能完全重合的两个平面图形?学生在生活中找图形 .(3)对应元素及性质:教师结合手中的教具说明全等三角形的对应边、 对应角、对应顶点,引导学生发现全等三角形的对应边相等,对应角相等 .2.学 习全等三角形的表示符号解释“ ”的含 义及读法,并强调对应顶点写在对应位置上 .举例说明:如图所示, ABCDFE(已知), AB=DF,AC=DE,BC=FE(全等三角形的对应边相等),A=D,B=F,C=E(全等三角形的对应角相等) .教师小结:在书写全等三角形时,如果将对应顶点写在对应位置上,那么将两个三角形的顶点同时按顺序轮换,可写出所有对应边和对应
36、角相等的式子,而不会找错,并节省观察图形的时间 .总结寻找全等三角形对应元素的方法,渗透全等变换的思想 .思路二学生动手制作,先做一个三角形,然后将做好的三角形按在纸上沿它的各边做第二个三角形 .师:与学生交流,做好的同学试着把你们手中的两个三角形叠放在一起看看,它们会怎样?生:完全重合 .师:嗯,对 .我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 .【课件 5】 出示将 ABC 沿直线平移后得到的 ABC(如图所示) .师:现在请同学们认真观察并指出图中的对应顶点、对应边、 对应角 .学生小组讨论后得出:对应顶点是 A 和 A,B 和 B,C 和 C.对应边是 AB 和 AB,BC 和 BC
37、,AC 和 AC.对应角是 A 和 A,B 和 ABC,C 和 C.师: ABC 与 ABC全等记作 ABCABC.想一想:全等三角形的对应边有什么关系?对应角有什么关系?生:全等三角形的对应边相等、对应 角相等 .师:非常准确,这就是全等三角形的性质 .知道两三角形全等,那么我们就可以得出以上结论,三组对应边分别相等,三组对应角分别相等 .可是在找全等三角形的对应元素时,一般有什么规律呢?教师多媒体出示【课件 6】有公共边的,公共边是对应边 .有公共角的,公共角是对应角 .有对顶角的,对顶角是对应角 .在两个全等的三角形中:一对最长的边是对应边,一对最短的边是对应边 .一对最大的角是对应角,
38、一对最小的角是对应角 .设计意图 通过教师的多媒体演示和学生的观察学习及小组的合作交流 ,认识全等三角形的性质 .2.例 题讲 解过渡语 刚才通过探究我们学习了全等三角形的性质,利用这个性 质我们可以求边的长度和角的大小 .【课件 7】已知:如图所示, ABCDEF,A=78,B=35,BC=18. (1)写出 ABC 和 DEF 的对应边和对应角 .(2)求 F 的度数和边 EF 的长 .让学生说出对应边和对应角 .引导学生分析: F 的对应角是 ACB,可先根据三角形内角和定理求出 ACB 的度数 .设计意图 通过例题的讲解,使学生进一步掌握全等三角形的性质 ,并能熟练应用性质解决相关问题
39、,培养学生分析问题和解决问题的能力 .1.全等 图 形:能够 完全重合的两个图形叫做全等图形,这里的重合是指完全重合,这里的全等不等同于相等,全等指两个图形完全重合,而相等是对两个量而言,可以是长度、重量 ,也可以是面积、体 积 .2.全等三角形的对应边 相等,对应角相等,这些性质是探讨全等三角形的基础,也是今后探索其他较复杂图形的性质的重要依据 .在利用全等三角形的性质进行计算和证明时,要注意对应元素相等 .1.如 图所示 ,ABCAEF,AB 和 AE,AC 和 AF 是对应边,那么 EAF 等于 ( ) A.ACBB.BACC.FD.CAF解析: ABCAEF,EAF=BAC.故选 B.
40、2.下列 说 法正确的是 ( )A.面积相等的两个图形全等B.周长相等的两个图形全等C.形状相同的两个图形全等D.全等图形的形状和大小都相同解析:根据全等图形的概念:能够完全重合的两个图形叫做全等图形进行分析即可 .故选 D.3.如 图所示的四个图形中,全等的图形是( ) A.和 B.和C.和 D.和解析:和可以完全重合,因此全等的图形是和 .故选 D.4.如 图所示 ,若 ABEACF,且 AB=5,AE=3,则 EC 的长为 ( ) A.2 B.3 C.5 D.2.5解析: ABEACF,AB=5,AC=AB=5,AE=3,EC=AC-AE=5-3=2.故选 A.5.如 图所示 ,已知 A
41、BCADE,C=E,AB=AD,则另外两组相等的 对应边为 ,另外两组相等的对应角为 . 解析: ABCADE,C=E,AB=AD,AC=AE,BC=DE,BAC=DAE,B=ADE.答案: AC=AE,BC=DE BAC=DAE,B=ADE6.如 图所示 ,若 OADOBC,且 O=65,BEA=135,求 C 的度数 .(提示:四边形的内角和为 360) 解析:根据全等三角形对应角相等可得 C=D,OBC=OAD,再根据三角形的内角和等于 180表示出OBC,然后利用四边形的内角和等于 360列式求解即可 .解: OADOBC,C=D,OBC=OAD,O=65,OBC=180-65-C=1
42、15-C,在四边形 AOBE 中,O+OBC+BEA+OAD=360,65+115-C+135+115-C=360,C=35.13.2 全等图形探究一:全等图形的概念探究二:全等三角形1.全等三角形的定义及性质(1)能够完全重合的三角形叫做全等三角形(2)全等三角形的对应边相等、对应角相等2.例 题讲 解一、教材作业【必做题】1.教材第 3637 页练习第 1,2 题 .2.教材第 37 页习题 A 组第 1,2 题 .【选做题】教材第 37 页习题 B 组第 1,2 题 .二、课后作业【基础巩固】1.在如 图 所示的各 组图形中,是全等图形的是 ( ) 2.如 图所示 ,ABCAEF,AB=AE,B=E,则对于结论: AC=AF, FAB=EAB, EF=BC, EAB=FAC.其中正确结论的个数是 ( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个3.如 图所示 ,ABCDEF,A=50,C=30,则 E 的度数为 ( ) A.30 B.50 C.60 D.1004.如 图所示 ,点 F,A,D,C 在同一条直线上, ABCDEF,AD=4,CF=10,则 AC 等于 ( ) A.7 B.6.5 C.6 D.5
