1、31.2 锐角三角函数值的求法一、知识概述(一)锐角的三角函数的意义1、正切的概念在 RtABC 中，C=90，我们把锐角 A 的对边与邻边的比，叫做A 的正切，记作tanA2、正弦和余弦的概念如图，在 RtABC 中，C=90，锐角 A 的对边与斜边的比叫做A 的正弦，记作sinA，即锐角 A 的邻边与斜边的比叫做A 的余弦，记作 cosA，即3、三角函数的概念：在直角三角形中，锐角 A 的正切(tanA)、正弦(sinA)、余弦(cosA)，都叫做A 的三角函数(二)同角的三角函数之间的关系(1)平方关系：sin 2cos 2=1(2)商数关系：（三）互余的两角的关系任意锐角的正弦值等于它
2、的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值，任意锐角的正切值与它的余角的正切值的积等于 1即若 A+B=90，则sinA=cosB，cosA=sinB，tanAtanB=1(四)特殊锐角的三角函数值0 30 45 60 90sinA 0 1cosA 1 0tanA 0 1 (五)锐角三角函数值的求法1、用计算器求三角函数值求整数度数的锐角三角函数值在计算器的面板上涉及三角函数的键有 和 键，当我们计算整数度数的某三角函数值时，可先按这三个键之一，然后再从高位向低位按出表示度数的整数，然后按，则屏幕上就会显示出结果例如：计算 sin44解：按键 ，再依次按键 则屏幕上显示结果为 0.6
3、9465837求非整数度数的锐角三角函数值若度数的单位是用度、分、秒表示的，在用计算器计算三角函数值时，同样先按和 三个键之一，然后再依次按度 分 秒 键，然后按 键，则屏幕上就会显示出结果2、已知三角函数值，用计算器求角度已知三角函数值求角度，要用到 、 键的第二功能“sin1 ，cos 1 ，tan 1 ”和 键具体操作步骤是：先按 键，再按键之一，再依次按三角函数值，最后按 键，则屏幕上就会显示出结果值得注意的是型号不同的计算器的用法可能不同二、重点难点疑点突破1、（1）sinA 和 cosA 都是一个整体符号，不能看成 sinA 或 cosA(2) 是一个比值，没有单位，只与角的大小有
4、关，而与三角形的大小无关(3)sinAsinBsin(AB)sinAsinBsin(AB)(4)sin2A 表示(sinA) 2，cos 2A=(cosA)2(5)0sinA1，0cosA12、同名三角函数值的变化规律当角 在 090间变化时，它的正切和正弦三角函数值随着角度的增大而增大；余弦三角函数值随着角度的增大而减少三、解题方法技巧点拨1、求锐角三角函数的值例 1、(1)在 RtABC 中，C=90，若 ，求 cosB，tanB 的值分析：本题主要考查锐角三角函数的定义，结合图形求解可化繁为简，迅速得解解：如图，设 BC=3m，则 AB=5m，(2)如图所示，已知 AB 是O 的直径，C
5、D 是弦，且 CDAB，BC=6，AC=8，则 sinABD 的值是（ ）分析：因为 AB 是O 的直径，所以ACB=90因为 BC=6，AC=8，所以 AB=10因为ABD=ACD=ABC，所以在 RtACB 中，故正确答案为 D答案：D分析：(1)要求 sin 与 cos 的关系的值，而已知 tan 的值，故可通过 来求值(2)已知 tan 的值，也可通过 ，把要求的式子的分子，分母同时除以cos2 转化成关于 tan 的关系，这样便可求出结论点评：在进行三角函数有关计算时，常利用有关公式进行变换2、化简计算例 3、计算分析：这是一组有关特殊角三角函数值的计算题，计算中最关键是将它们先化成
6、具体的数值，同时还要应用其它一些知识帮助求值，如(1)注意分母有理化，(2)应掌握整数指数幂的意义解：点评：学过锐角三角函数后，特殊角的三角函数的计算是常考不衰的内容，做这类题主要分两步：(一)代入；(二)计算因此，特殊角的三角函数值必须牢记3、三角函数的增减性例 4、若 为锐角且 sinsin，那么（ ）Atantan BtantanCtan=tan Dtan、tan 大小关系不确定4、已知三角函数值求角对于非特殊角可用计算器求角，若是特殊角的三角函数值则可以直接得角度例如：已知 cos=0.5237，求锐角 解：按键 ，再依次按键 则屏幕上显示结果为 58.41923095例 5、求适合下
7、列各式的锐角 点拨：所有锐角三角函数值都是正数，而且正弦和余弦值都不大于 1，不符合条件的三角函数值应舍去5、求线段长与面积例 6、如图，在ABC 中，A=30，B=45，AC=4，求 BC 的长分析：题中有 30，45特殊角，想把它们放到直角三角形中，利用三角函数来解题点评：（1）在作高线构造直角三角形时，一般不过特殊角的顶点作垂线，这样便于利用特殊角解题（2）有些简单的几何图形可分解为几个直角三角形的组合，从而利用三角函数的定义求解例 7、如图所示在四边形 ABCD 中，AB=2，CD=1，A=60，D=B=90，求此四边形ABCD 的面积分析：由已知B=90，A=60这两个条件想到延长 BC，AD，使它们相交，构成直角三角形例 8、在矩形 ABCD 中 DEAC 于 E，设ADE=，且 ，AB=4，求 AD分析：在矩形中 AB=DC=4，可证=1，于是条件转移到DCE 中来了，求出 DE解：在矩形中 AB=DC=4，2=90又 DEAC，12=901=点评：注意把条件集中到一起
