1、高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 1 -第 3 炼 利用数轴解决集合运算问题数形结合是解决高中数学问题的常用手段，其优点在于通过图形能够直观的观察到某些结果，与代数的精确性结合，能够快速解决一些较麻烦的问题。在集合的运算中，涉及到单变量的取值范围，数轴就是一个非常好用的工具，本文将以一些题目为例，来介绍如何使用数轴快速的进行集合的交并运算。一、基础知识：1、集合运算在数轴中的体现：在数轴上表示为 表示区域的公共部分:AB,AB在数轴上表示为 表示区域的总和在数轴上表示为 中除去 剩下的部分（要注意边界值能否取到）:UCU2、问题处理时的方法与技巧：（1）涉及到单变量的范围
2、问题，均可考虑利用数轴来进行数形结合，尤其是对于含有参数的问题时，由于数轴左边小于右边，所以能够以此建立含参数的不等关系（2）在同一数轴上作多个集合表示的区间时，可用不同颜色或不同高度来区分各个集合的区域。（3）涉及到多个集合交并运算时，数轴也是得力的工具，从图上可清楚的看出公共部分和集合包含区域。交集即为公共部分，而并集为覆盖的所有区域（4）在解决含参数问题时，作图可先从常系数的集合（或表达式）入手，然后根据条件放置参数即可3、作图时要注意的问题：（1）在数轴上作图时，若边界点不能取到，则用空心点表示；若边界点能够取到，则用实心点进行表示，这些细节要在数轴上体现出来以便于观察（2）处理含参数
3、的问题时，要检验参数与边界点重合时是否符合题意。二、例题精析：例 1：（2009 安徽）集合 ，21213,0xAxB则 =_AB思路：先解出 的解集，,，作出数轴，则 即为它们的公共部分。11,2,3,2AB,AB答案： 1,2例 2：设集合 ，则 的取值范围是_3,|8,SxTxaSTRa高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 2 -思路：可解出 ，而 集合含有参数，作出数轴，先从容易作图的集,15,ST合做起，即画出 的范围，由于 ，而数轴上有一部分区域没有被 包含，那说明SRS集合负责补 空缺的部分，由于参数决定其端点位置，所以T画出图像，有图像观察可得只需要： 即可，
4、解得：185a31a答案： 小炼有话说：（1）含有参数的问题时，可考虑参数所起到的作用，在本题中参数决定 区间的端点T（2）含有参数的问题作图时可先考虑做出常系数集合的图像，再按要求放置含参的集合（3）注意考虑端点处是否可以重合，通常采取验证的方法，本题若 或 ，则端3a1点处既不在 里，也不在 里，不符题意。S例 3：对于任意的 ，满足 恒成立的所有实数 构成集合xR240axx，使不等式 的解集是空集的所有实数 构成集合 ，则A43aB_RCB思路：先利用已知条件求出 ，再利用数轴画出 的范围即可,ABRAC解：由 恒成立，可得：240axx当 即 时，变为： 恒成立0当 时，若要恒成立，
5、则224160aa,A解集为空等价于：3x,43xRxamin4ax设27,314,3xf 即min1fxaB,RCB高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 3 -1,2RACB小炼有话说：本题更多考察的地方在于 集合的求解。 集合要注意 的情况，,ABA20a而不能默认为二次不等式， 集合涉及解集与不等式恒成立问题之间的转化。在集合进行交并运算时，数轴将成为一个非常直观的工具，作图时要注意端点值的开闭。例 4：已知集合 ，若)12(,312 mxxxA，则实数 的取值范围为 Bm思路：先解出 的解集， 意味着 有公共部分，利用数轴可标注集合 两,B,AB端点的位置，进而求出
6、的范围解： 13x当 时， 312x312x当 时， 恒成立当 时， 1xx13,2A22(1)0xmx1mxAB且3125,m例 5：已知 ，当“ ”是“ ”2|21,|AxxBxaxxAxB的充分不必要条件，则 的取值范围是_a思路： 为两个不等式的解集，因为“ ”是“ ”的充分不必要条件，所以,BAB是 的真子集。考虑解出两个不等式的解集，然后利用数轴求出 的范围即可a解： 25052113xx x高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 4 -1,3A2210xaxa0由 是 的真子集可得： AB3答案： 3,a小炼有话说：1、熟悉充分必要条件与集合的联系： 是 的充分不
7、必要条件 对应集合pqp是 对应集合 的真子集PqQ2、处理含参问题时，秉承“先常数再参数”的顺序分析，往往可利用所得条件对参数范围加以限制，减少分类讨论的情况。例如在本题中，若先处理 ，则解不等式面临着分类讨论B的问题。但先处理 之后，结合数轴会发现只有图中一种情况符合，减掉了无谓的讨论。A例 6：已知函数 ，对 ，使21,0()1,xgxaf12,xx得 成立，则实数 的取值范围是_12xf思路：任取 ，则 取到 值域中的每一个元素，依题意，存在 使得,1gx 2x，意味着 值域中的每一个元素都在 的值域中，即 的值域为12gxf fxg的值域的子集，分别求出两个函数值域，再利用子集关系求
8、出 的范围f a解： 时， 时，20,x20,3fx2,0x24,0fx43f对于 ，分三种情况讨论gx当 时， 0a21,a2143a,1当 时， ，符合题意0agx当 时， 21,a2143aa1,0a高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 5 -综上所述： 1,a答案：例 7：已知集合 ，若 ，|21,|AxBxab或 ,2,4ABR则 _ba思路：本题主要考察如何根据所给条件，在数轴上标好集合 的范围。从而确定出 的值，,ab如图所示：可得 ，所以1,4b4a答案： 4例 8：设 2 2| 10,|0,|20AxxBxabABx，求|13ABx,ab思路： 集合的不等式
9、解集为 ，集合 为一21,B元二次不等式的解集，由题意可知 ，设B的两根为 ，则 ，在20xab122,x12,x数轴上作图并分析后两个条件： 说明 将 集合覆盖数轴的漏洞堵|0AA上了， 说明 与 的公共部分仅有 ，左侧没有公共部分，从而|3ABxB,3的位置只能如此（如图） ，可得： ，由韦达定理可得：12,12,xab例 9：在 上定义运算 ，若关于 的不等式 的解集是R:2xy(1)0xa的子集，则实数 a 的取值范围是（ ）|2,xA B C 或 Da131a31a思路：首先将 变为传统不等式： ，()0x00xx不等式含有参数 ，考虑根据条件对 进行分类讨论。设解集为 ，因为 ，所
10、以aaA2,高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 6 -首先解集要分空集与非空两种情况：当 时，则 ；当 时，根据 的取值A1aAa分类讨论计算出解集后再根据数轴求出 的范围即可a解： 100021xxxa设解集为 A当 时，则当 时：若 时，101a0,12,Aa2a若 时，,1a33综上所述： ,1答案：D 例 10：已知 ，若关于 的不等式 的解集中的整(01)fxmnmx0fx数恰有 3 个，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 解：63011m所解不等式为 ，可以考虑两边平方后去x 掉绝对值，因式分解可得： 110xnmxn，由题意中含 3 个整数解可得
11、：解集应该为封闭区间， 所以 的系数均大于零，即 ，另一x10m 方面，解集区间内有 3 个整数，从端点作为突破口分析， 两个端点为 ，因为 ，所以 ，进而结合数,nx1nm0,1nx轴分析可得三个整数解为 ，所以另一个端点,2的取值范围为，而321311nmn，所以只要有交集，则可找到符合0条件的 ，结合数轴可得： ，求出, 13m答案： ,三、近年模拟题题目精选：高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 7 -1、 （2016 四川高三第一次联考）已知集合 ，|2,|1,MxRNxaR若 ，则 的取值范围是（ ）NMaA. B. C. D. 01a1a02、 （2014 吉林
12、九校二模，1）已知 ，则 |2,|3xxRCMN（ ）A. B. C. D. ,32,3,1,12,33、 （重庆八中半月考，1）设全集为 ，集合 ，则R2,0AxBx（ ）ABA. B. C. D. 2,2,11,2,4、已知函数 的定义域为 ， 的定义域为 ，则2xf Mln1gxN（ ）RMCNA. B. C. D. ,22,2,25、 （2014，浙江） 已知集合 ，则 （ |0,|1PxQxRCPQ）A. B. C. D. 0,10,2,2,26、 （2014，山东）设集合 ，则 （ |1|,0xAxByAB）A. B. C. D. 0,2,3,41,37、设集合 ，若 ，则实数 的
13、|7|12xxmm取值范围是_8、已知全集 ，集合 ，那么集合UR2|340,|8xAB（ ）CABA. B. C. D. 3,44, 3,49、若关于 的不等式 的解集中整数恰好有 3 个，则实数 的取值范围是x2)1(axa高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 8 -_.习题答案：1、答案：B解析：若 ，则 符合题意，若 ，则 符合题意，当 时，解得：0aN0a1N0a，由 可知： ，综上可得：2,1,MaM211a2、答案：D解析： ，在数轴上标出 的区域即可得出,12,RC,RCNRCMN3、答案：C解析：分别解出 中的不等式， ，所以,AB:2,:1AxB1,2AB
14、4、答案：A解析： 的定义域： ， 的定义域：fx20,xMgx，所以 ，101,N1RCN,2RCN5、答案：C解析：解出 中不等式： 或 ，所以 ，则P0x20,2RP1,RPQ6、答案：D解析：集合 为解不等式： ，集合 为函数的值A111,3xxB域，由 可知 ，所以0,2x,4y,3AB7、答案： 3m解析： 集合为 ，由 可知 ；当 时，可得,5高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 9 -，当 时，结合数轴可得： 即122mB12235m，综上可得： 的取值范围是3m38、答案：C解析： 或 240xx1,14,A1,UA283x,B3,UCB9、答案： 2549,16a解析：因为不等式等价于 ，其中 中的014)(2xa 014)(2xa，且有 ，故 ，不等式的解集为 ，04a04 a则一定有 1，2，3 为所求的整数解集。所以 ，解得 的范21 4213围为 )649,5(
