江苏省2019高考数学总复习 优编增分练：高考填空题分项练（打包9套）.zip

1高考填空题分项练 1 三角函数与解三角形1．函数 y＝2cos (ω 0， ω 0，0≤ φ sin 26°.又∵当 0°0)个(2x－π 6)单位长度，若所得到的图象关于原点对称，则 φ 的最小值为________．答案 π12解析 因为函数 f(x)＝2sin 的图象向左平移 φ (φ 0)个单位长度，得到 g(x)(2x－π 6)＝2sin ，[2x＋ φ －π 6]所以 2φ － ＝ kπ( k∈Z)，π 6∴ φ ＝ ＋ (k∈Z)，π12 kπ2因为 φ 0，所以 φ min＝ .π1212．若 0α ，－ β 0，cos ＝ ，cos ＝ ，则π 2 π 2 (π 4＋ α ) 13 (π 4－ β 2) 33cos ＝________.(α ＋β 2)5答案 539解析 根据条件可得 α ＋ ∈ ，π 4 (π 4， π 2)－ ∈ ，π 4 β 2 (π 4， π 2)所以 sin ＝ ，sin ＝ ，(π 4＋ α ) 223 (π 4－ β 2) 63所以 cos ＝cos(α ＋β 2) [(π 4＋ α )－ (π 4－ β 2)]＝cos cos ＋sin sin(π 4＋ α ) (π 4－ β 2) (π 4＋ α ) (π 4－ β 2)＝ × ＋ × ＝ .13 33 223 63 53913．在△ ABC 中，若 AB＝2， AC＝ BC，则△ ABC 的面积的最大值是________．2答案 2 2解析 设 BC＝ x，则 AC＝ x，根据面积公式，得2S△ ABC＝ AB·BCsin B＝ ×2x ，12 12 1－ cos2B根据余弦定理，得 cos B＝AB2＋ BC2－ AC22AB·BC＝ ＝ ，4＋ x2－ 2x24x 4－ x24x将其代入上式，得S△ ABC＝ x ＝ .1－ (4－ x24x )2 128－ x2－ 12216由三角形三边关系，有Error!解得 2 －2 x2 ＋2，2 2故当 x＝2 时， S△ ABC取得最大值 2 .3 214．已知函数 f(x)＝sin ωx ＋ cos ωx ，若在区间(0，π)上存在 3 个不同的实数 x，使3得 f(x)＝1 成立，则满足条件的正整数 ω 的值为________．答案 3解析 f(x)＝sin ωx ＋ cos ωx3＝2sin ，(ω x＋π 3)设 t＝ ωx ＋ ，π 36那么当 x∈(0，π)时， t∈ ，(π 3， ω π ＋ π 3)f(x)＝1 可转化为方程 2sin t＝1，作出 y＝sin t 的图象(图略)，可知要使在区间(0，π)上存在 3 个不同的实数 x，使得 f(x)＝1，即 sin ＝ 成立，(ω x＋π 3) 12需满足 2π＋ ω π＋ ≤4π＋ ，5π6 π 3 π 6解得 ω ≤ ，52 236又 ω ∈N *，从而 ω ＝3.1高考填空题分项练 2 平面向量1．已知△ ABC 中， BC＝4， AC＝8，∠ C＝60°，则 · ＝________.BC→ CA→ 答案 －16解析 画图(图略)可知，向量 与 的夹角为∠ C 的补角，BC→ CA→ 故 · ＝ BC×ACcos(π－ C)＝4×8× ＝－16.BC→ CA→ (－ 12)2．若| a|＝1，| b|＝2， c＝ a＋ b，且 c⊥ a，则向量 a 与 b 的夹角为________．答案 2π3解析 设向量 a 与 b 的夹角为 θ ，由题意知( a＋ b)·a＝0，∴ a2＋ a·b＝0，∴| a|2＋| a||b|cos θ ＝0，∴1＋2cos θ ＝0，∴cos θ ＝－ .12又 θ ∈[0，π]，∴ θ ＝ .2π33．设 a， b 是两个不共线的非零向量．若向量 ka＋2 b 与 8a＋ kb 的方向相反，则k＝________.答案 －4解析 ∵向量 ka＋2 b 与 8a＋ kb 的方向相反，∴ ka＋2 b＝ λ (8a＋ kb)⇒k＝8 λ ，2＝ λk ⇒k＝－4.(∵方向相反，∴ λ 0⇒k0)24．已知向量 a， b 不共线，实数 x， y 满足(3 x－4 y)a＋(2 x－3 y)b＝6 a＋3 b，则 x－ y 的值为________．答案 3解析 由题意得Error!解得Error!∴ x－ y＝3.5．已知向量 a＝(1,2)， b＝( m,4)，且 a⊥(2 a＋ b)，则实数 m 的值为________．答案 －18解析 方法一 因为 a＝(1,2)， b＝( m,4)，所以 2a＋ b＝( m＋2,8)．因为 a⊥(2 a＋ b)，所以 a·(2a＋ b)＝ m＋2＋16＝0，所以 m＝－18.方法二 因为 a＝(1,2)， b＝( m,4)，所以 a2＝5， a·b＝ m＋8.因为 a⊥(2 a＋ b)，所以 a·(2a＋ b)＝2 a2＋ a·b＝10＋ m＋8＝0，所以 m＝－18.6．已知平面向量 a， b 满足| a＋ b|＝3 ，且 a－2 b 与直线 x＋2 y－2＝0 的方向向量垂直，10若 b＝(－2,3)，则 a＝________.答案 (－7,0)或 (－295， 125)解析 由题意得直线 x＋2 y－2＝0 的斜率 k＝－ ，12因为 a－2 b 与直线 x＋2 y－2＝0 的方向向量垂直，所以 a－2 b 所在直线的斜率与直线 x＋2 y－2＝0 的斜率互为负倒数，故可设 a－2 b＝( m,2m)(m≠0)，从而 a＝( m－4,2 m＋6)，得 a＋ b＝( m－6,2 m＋9)．因为| a＋ b|＝3 ，10所以( m－6) 2＋(2 m＋9) 2＝90，解得 m＝－3 或 m＝－ ，95从而 a＝(－7,0)或 .(－295， 125)7.如图，在平面四边形 ABCD 中， O 为 BD 的中点，且 OA＝3， OC＝5.若 · ＝－7，则 ·AB→ AD→ BC→ 的值是________．DC→ 3答案 9解析 因为 O 为 BD 的中点，所以 ＋ ＝0，OB→ OD→ 所以 · ＝( ＋ )·( ＋ )AB→ AD→ AO→ OB→ AO→ OD→ ＝ 2＋ · ＝9＋ · ＝－7，AO→ OB→ OD→ OB→ OD→ 所以 · ＝－16.OB→ OD→ 所以 · ＝( ＋ )·( ＋ )BC→ DC→ BO→ OC→ DO→ OC→ ＝ 2＋ · ＝25－16＝9.OC→ OB→ OD→ 8．已知点 O 在△ ABC 所在平面内，且AB＝4， AO＝3，( ＋ )· ＝0，( ＋ )· ＝0，则 · 取得最大值时线段 BC 的长OA→ OB→ AB→ OA→ OC→ AC→ AB→ AC→ 度是________．答案 6解析 ∵( ＋ )·OA→ OB→ AB→ ＝( ＋ )·( － )OA→ OB→ OB→ OA→ ＝| |2－| |2＝0，OB→ OA→ ∴| |＝| |＝3，OB→ OA→ 同理| |＝| |＝3，OC→ OA→ 则点 O 是△ ABC 的外心．如图，以 O 为坐标原点，平行于 AB 的直线为 x 轴，过点 O 且与 AB 垂直的直线为 y 轴建立平面直角坐标系，则 A(－2，－ )， B(2，－ )，5 5点 C 在以 O 为圆心，3 为半径的圆上，设 C(3cos θ ，3sin θ )，4则 · ＝(4,0)·(3cos θ ＋2,3sin θ ＋ )AB→ AC→ 5＝12cos θ ＋8，当 cos θ ＝1，即 C(3,0)时， · 取得最大值 20，AB→ AC→ 此时 BC＝ .69．在菱形 ABCD 中，边长 AB＝ ，对角线 AC＝4，边 DC 上(包括 D， C 点)一动点 P 与 CB 的5延长线上(包括 B 点)一动点 Q 满足 DP＝ BQ，则 · 的最小值是________．PA→ PQ→ 答案 2解析 方法一 连结 BD 交 AC 于点 O，因为边长 AB＝ ，对角线 AC＝4，5所以 BD＝2.以 O 为坐标原点， AC 所在直线为 x 轴， BD 所在直线为 y 轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy.由题设可知， A(－2,0)， B(0，－1)， C(2,0)， D(0,1)．设 P(2t,1－ t)， t∈[0,1]，因为 DP＝ BQ，所以 Q(－2 t，－1－ t)，0≤ t≤1.所以 · ＝(－2－2 t， t－1)·(－4 t，－2)PA→ PQ→ ＝8 t2＋6 t＋2＝8 2＋ ，(t＋38) 78由二次函数的单调性可知，当 0≤ t≤1 时， y＝8 t2＋6 t＋2 单调递增，所以当 t＝0 时， · 取得最小值，且最小值为 2.PA→ PQ→ 方法二 因为边长 AB＝ ，对角线 AC＝4，5所以 BD＝2.设向量 ＝ ＝ a， ＝ ＝ b，AB→ DC→ AD→ BC→ 由余弦定理得 cos〈 a， b〉＝ ＝ ，52＋ 52－ 222×5×5 35且 a·b＝| a|·|b|cos〈 a， b〉＝ × × ＝3.5 5355令 ＝ λ a(0≤ λ ≤1)，DP→ 则 ＝－( ＋ )＝－( b＋ λ a)，PA→ AD→ DP→ ＝ ＋ ＝(1－ λ )a－(1＋ λ )b，PQ→ PC→ CQ→ · ＝( b＋ λ a)·[(λ －1) a＋(1＋ λ )b]PA→ PQ→ ＝3( λ －1)＋5(1＋ λ )＋5 λ (λ －1)＋3 λ (1＋ λ )＝8 λ 2＋6 λ ＋2＝8 2＋ ，(λ ＋38) 78由二次函数的单调性可知，当 0≤ λ ≤1 时， y＝8 λ 2＋6 λ ＋2 单调递增，所以当 λ ＝0 时， · 取得最小值，且最小值为 2.PA→ PQ→ 10．在△ ABC 中，点 P 是 AB 上一点，且 ＝ ＋ ， Q 是 BC 的中点， AQ 与 CP 的交点为CP→ 23CA→ 13CB→ M，又 ＝ t ，则 t 的值为________．CM→ CP→ 答案 34解析 ∵ ＝ ＋ ，CP→ 23CA→ 13CB→ ∴3 ＝2 ＋ ，CP→ CA→ CB→ 即 2 －2 ＝ － ，CP→ CA→ CB→ CP→ ∴2 ＝ ，即 P 为 AB 的一个三等分点，如图所示．AP→ PB→ ∵ A， M， Q 三点共线，∴ ＝ x ＋(1－ x)CM→ CQ→ CA→ ＝ ＋( x－1) ，x2CB→ AC→ 而 ＝ － ，∴ ＝ ＋ .CB→ AB→ AC→ CM→ x2AB→ (x2－ 1)AC→ 又 ＝ － ＝－ ＋ ，CP→ CA→ PA→ AC→ 13AB→ 6由已知 ＝ t ，可得CM→ CP→ ＋ ＝ t ，x2AB→ (x2－ 1)AC→ (－ AC→ ＋ 13AB→ )又 ， 不共线，AB→ AC→ ∴Error! 解得 t＝ .3411．已知向量 a， b 满足| a＋ b|＝6，| a－ b|＝4，则| a|·|b|的取值范围是________．答案 [5,13]解析 方法一 由| a＋ b|＝6，| a－ b|＝4 得，Error!①－②得， a·b＝5，进而得| a|·|b|cos θ ＝5(设向量 a， b 夹角为 θ )，则| a|·|b|≥5；①＋②得，| a|2＋| b|2＝26，进而得 26＝| a|2＋| b|2≥2| a|·|b|，即| a|·|b|≤13.综上，| a|·|b|的取值范围是[5,13]．方法二 设 a＋ b＝2 m， a－ b＝2 n，则| m|＝3，| n|＝2， a＝ m＋ n， b＝ m－ n.依题意有，(| a|·|b|)2＝| m＋ n|2·|m－ n|2＝( m2＋ n2＋2 m·n)·(m2＋ n2－2 m·n)＝(13＋2 m·n)·(13－2 m·n)＝169－4( m·n)2，而 m·n 的取值范围是[－6,6]，故(| a|·|b|)2∈[25,169]，则| a|·|b|的取值范围是[5,13]．12．设向量 a， b 满足| a|＝| b|＝| a＋ b|＝1，则| a－ tb|(t∈R)的最小值为________．答案 32解析 ∵| a|＝| b|＝| a＋ b|＝1，∴ a2＋2 a·b＋ b2＝1⇒ a·b＝－ ，12∴| a－ tb|＝ ＝a2－ 2a·tb＋ t2b2 t2＋ t＋ 1＝ ，(t＋ 12)2＋ 347∴当 t＝－ 时，| a－ tb|min＝ .12 3213．对任意两个非零的平面向量 α 和 β ，定义 α 和 β 之间的新运算⊗： α ⊗β ＝ .若α ·ββ ·β非零的平面向量 a， b 满足： a⊗b 和 b⊗a 都在集合Error! 中，且| a|≥| b|，设 a 与 b 的夹角θ ∈ ，则( a⊗b)sin θ ＝________.(π 6， π 4)答案 23解析 由题意，设 a⊗b＝ ＝ cos θ ＝ (k1∈Z)，a·bb·b |a||b| 3k13b⊗a＝ cos θ ＝ (k2∈Z)，|b||a| 3k23两式相乘，可得 cos2θ ＝ .k1k23因为 θ ∈ ，(π 6， π 4)于是 cos2θ ，12 34即 k1k2 ，32 94又 k1， k2都是整数，所以 k1k2＝2，cos 2θ ＝ ，23所以 sin θ ＝ ，33又| a|≥| b|，所以 k1＝2， k2＝1， a⊗b＝ ，233所以( a⊗b)sin θ ＝ .2314.如图，在等腰梯形 ABCD 中，已知 AB∥ DC，∠ ABC＝60°， BC＝ AB＝2，动点 E 和 F 分别12在线段 BC 和 DC 上，且 ＝ λ ， ＝ ，则 · 的最小值为________．BE→ BC→ DF→ 12λ DC→ AE→ BF→ 答案 4 －1368解析 由题意得 AB＝4， CD＝2，· ＝( ＋ )·( ＋ )AE→ BF→ AB→ BE→ BC→ CF→ ＝ · ＋ · ＋ · ＋ ·AB→ BC→ BE→ BC→ AB→ CF→ BE→ CF→ ＝| || |cos 120°＋| || |－| || |＋| || |cos 60°AB→ BC→ BE→ BC→ AB→ CF→ BE→ CF→ ＝4×2× ＋ λ ·22－4× ×2＋2 λ · ×2×(－12) (1－ 12λ ) (1－ 12λ ) 12＝－13＋6 λ ＋ ≥－13＋2 ＝4 －13，4λ 6λ ×4λ 6当且仅当 λ ＝ (舍负)时取等号，63即 · 的最小值为 4 －13.AE→ BF→ 61高考填空题分项练 3 立体几何1．如果圆锥的底面半径为 ，高为 2，那么它的侧面积为________．2答案 2 π3解析 圆锥底面周长为 2 π，母线长为 ＝ ，2 22＋ 2 6所以它的侧面积为 ×2 π× ＝2 π.12 2 6 32．若两球表面积之比是 4∶9，则其体积之比为________．答案 8∶27解析 设两球半径分别为 r1， r2，∵4π r ∶4π r ＝4∶9，∴ r1∶ r2＝2∶3，21 2∴两球体积之比为 π r ∶ π r ＝ 3＝ 3＝8∶27.43 31 43 32 (r1r2) (23)3．设 m， n 是两条不同的直线， α ， β 是两个不同的平面，则下列命题正确的个数为________．①若 m⊥ α ， α ⊥ β ，则 m∥ β ；②若 m⊥ α ， α ∥ β ， n⊂β ，则 m⊥ n；③若 m⊂α ， n⊂β ， m∥ n，则 α ∥ β ；④若 n⊥ α ， n⊥ β ， m⊥ β ，则 m⊥ α .答案 2解析 对于①，若 m⊥ α ， α ⊥ β ，则 m∥ β 或 m⊂β ，所以不正确；对于②，若 m⊥ α ， α ∥ β ，则 m⊥ β ，又 n⊂β ，所以 m⊥ n 正确；对于③，若 m⊂α ， n⊂β ， m∥ n，则 α ∥ β 或 α 与 β 相交，所以不正确；对于④，若 n⊥ α ， n⊥ β ，则 α ∥ β ，又由 m⊥ β ，所以 m⊥ α 正确．综上，正确命题的个数为 2.24.如图，平行四边形 ADEF 的边 AF⊥平面 ABCD，且 AF＝2， CD＝3，则 CE＝________.答案 13解析 因为 AF⊥平面 ABCD，所以 AF 垂直于平面 ABCD 内的任意一条直线；又 AF∥ ED，所以 ED 垂直于平面 ABCD 内的任意一条直线．所以 ED⊥ CD，所以△ EDC 为直角三角形，CE＝ ＝ .ED2＋ CD2 135．圆柱形容器的内壁底面半径是 10 cm，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了 cm，则这个铁球的表面积为________ cm 2.53答案 100π解析 设该铁球的半径为 r cm，则由题意得 π r3＝π×10 2× ，43 53解得 r3＝5 3，∴ r＝5，∴这个铁球的表面积 S＝4π×5 2＝100π(cm 2)．6.如图，在三棱柱 ABC－ A1B1C1中，若 E， F 分别为 AB， AC 的中点，平面 EB1C1F 将三棱柱分成体积为 V1， V2的两部分，那么 V1∶ V2＝________.答案 7∶5解析 设三棱柱的高为 h，底面的面积为 S，体积为 V，则 V＝ V1＋ V2＝ Sh.∵ E， F 分别为 AB， AC 的中点，∴ S△ AEF＝ S，14V1＝ h ＝ Sh，13(S＋ 14S＋ S·S4) 712V2＝ Sh－ V1＝ Sh，512∴ V1∶ V2＝7∶5.37．以一个圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥，若所得的圆锥底面半径等于圆锥的高，则圆锥的侧面积与圆柱的侧面积之比为________．答案 22解析 设底面半径为 r，则圆锥的母线长为 r，圆锥的侧面积与圆柱的侧面积之比为2＝ .π r·2r2π r·r 228.P 为矩形 ABCD 所在平面外一点，矩形对角线的交点为 O， M 为 PB 的中点，给出结论：① OM∥ PD；② OM∥平面 PCD；③ OM∥平面 PDA；④ OM∥平面 PBA；⑤ OM∥平面 PCB.其中正确的是________．(填序号)答案 ①②③解析 由题意可知 OM 是△ BPD 的中位线，∴ OM∥ PD，①正确；由线面平行的判定定理可知，②③正确； OM 与平面 PBA 及平面 PCB 都相交，故④⑤不正确．9.如图，在正方形 SG1G2G3中， E， F 分别是 G1G2， G2G3的中点，现在沿 SE， SF， EF 把这个正方形折成一个四面体，使 G1， G2， G3重合，重合后的点记为 G.给出下列关系：① SG⊥平面 EFG；② SE⊥平面 EFG；③ GF⊥ SE；④ EF⊥平面 SEG.其中成立的序号为________．答案 ①③解析 由 SG⊥ GE， SG⊥ GF， GE， GF⊂平面 EFG， GE∩ GF＝ G，得 SG⊥平面 EFG，①正确；若SE⊥平面 EFG，则 SG∥ SE，这与 SG∩ SE＝ S 矛盾，所以②错；由GF⊥ GE， GF⊥ GS， GE∩ GS＝ G， GE， GS⊂平面 SEG，得 GF⊥平面 SEG，所以 GF⊥ SE，③正确；若 EF⊥平面 SEG，则 EF∥ GF，这与 EF∩ GF＝ F 矛盾，所以④错．10．已知在长方体 ABCD－ A1B1C1D1中， AB＝3， AA1＝2 BC＝4， E， F， G 分别为棱AB， BC， CC1的中点，则三棱锥 G－ A1EF 的体积为________．答案 12解析 如图，在长方体 ABCD－ A1B1C1D1中，连结 A1C1， AC， C1F， C1E，因为 E， F 分别为棱AB， BC 的中点，所以 A1C1∥ AC∥ EF，所以41GAEFV－ ＝ 1GEF－ ＝ 1CEFV－ ＝ 1CGF－ ＝ × × CC1× BC× AB＝ .13 12 12 12 12 1211．已知平面 α ， β 和直线 m， l，则下列命题中正确的序号是________．①若 α ⊥ β ， α ∩ β ＝ m， l⊥ m，则 l⊥ β ；②若 α ∩ β ＝ m， l⊂α ， l⊥ m，则 l⊥ β ；③若 α ⊥ β ， l⊂α ，则 l⊥ β ；④若 α ⊥ β ， α ∩ β ＝ m， l⊂α ， l⊥ m，则 l⊥ β .答案 ④解析 ①缺少了条件： l⊂α ；②缺少了条件： α ⊥ β ；③缺少了条件：α ∩ β ＝ m， l⊥ m；④具备了面面垂直的性质定理的所有条件．12．正△ ABC 的边长为 a，沿高 AD 把△ ABC 折起，使∠ BDC＝90°，则 B 到 AC 的距离为________．答案 a74解析 如图，作 DH⊥ AC 于点 H，连结 BH.∵ BD⊥ AD， BD⊥ DC， AD∩ DC＝ D， AD， DC⊂平面 ACD，∴ BD⊥平面 ACD，从而 BD⊥ DH.∴ DH 为 BH 在平面 ACD 内的射影，∴ BH⊥ AC.又正△ ABC 的边长为 a，∴ DH＝ a，34∴ BH＝ ＝ a.BD2＋ DH27413.如图，点 P 在正方体 ABCD－ A1B1C1D1的面对角线 BC1上运动，则下列四个命题：5①三棱锥 A－ D1PC 的体积不变；② A1P∥平面 ACD1；③ DP⊥ BC1；④平面 PDB1⊥平面 ACD1.其中正确命题的序号是________．答案 ①②④解析 由题意，可得直线 BC1平行于直线 AD1，并且直线 AD1⊂平面 ACD1，直线 BC1⊄平面ACD1，所以直线 BC1∥平面 ACD1.所以点 P 到平面 ACD1的距离不变，1ADCV－＝ AD－ ，所以体积不变．故①正确；如图，连结 A1C1， A1B，可得平面 ACD1∥平面 A1C1B.又因为 A1P⊂平面 A1C1B，所以 A1P∥平面 ACD1，故②正确；当点 P 运动到点 B 时，△ DBC1是等边三角形，所以 DP 不垂直于 BC1，故③不正确；连结 DB1， DB，因为直线 AC⊥平面 DB1B， DB1⊂平面 DB1B，所以 AC⊥ DB1.同理可得 AD1⊥ DB1，又 AC∩ AD1＝ A， AC， AD1⊂平面 AD1C，所以可得 DB1⊥平面 AD1C.又因为 DB1⊂平面 PDB1，所以可得平面 PDB1⊥平面 ACD1，故④正确．综上，正确命题的序号是①②④.14．(2018·江苏名校联盟联考)如图所示，在等腰直角△ ABC 中，∠ C 为直角，BC＝2， EF∥ BC，沿 EF 把面 AEF 折起，使平面 AEF⊥平面 EFBC，当四棱锥 A－ CBFE 的体积最6大时， EF 的长为________．答案 233解析 设 AE＝ x,00， g(x)为增函数，233当 x2 时， g′( x)0， g(x)为减函数，233所以当 x＝ 时， g(x)取得最大值．233所以当 EF＝ 时，四棱锥 A－ CBFE 的体积最大．2331高考填空题分项练 4 不等式1．(2018·江苏海安测试)关于 x 的不等式 x＋ ＋ b≤0( a， b∈R)的解集{ x|3≤ x≤4}，则axa＋ b 的值为________．答案 5解析 由题意可得Error!解得Error! ⇒a＋ b＝5.2．若变量 x， y 满足约束条件Error!且有无穷多个点( x， y)使得目标函数 z＝ λx ＋2 y 取得最大值，则实数 λ 的值为________．答案 －1解析 约束条件表示的可行域为如图所示的阴影部分(包括边界)．目标函数 z＝ λx ＋2 y 可化为 y＝－ x＋ ，λ 2 z2因为有无穷多个点( x， y)使得目标函数 z＝ λx ＋2 y 取得最大值，分析可得，直线 y＝－ x＋ 与直线 BC： y＝ ＋1 重合时目标函数取得最大值，λ 2 z2 x2且有无穷多个点( x， y)满足要求，所以－ ＝ ，解得 λ ＝－1.λ 2 1223．已知实数 x， y 满足Error!如果目标函数 z＝ x－ y 的最小值为－1，则实数 m＝________.答案 5解析 绘制不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示(含边界)，联立直线方程Error!可得交点坐标为 A ，(m＋ 13 ， 2m－ 13 )由目标函数的几何意义可知，目标函数在点 A 处取得最小值，所以 － ＝－1，解得 m＝5.m＋ 13 2m－ 134．已知 x， y 满足不等式组Error!则 x－2 y 的最大值为________．答案 －1解析 画出不等式组Error!表示的平面区域，如图阴影部分所示(包含边界)，平移直线 z＝ x－2 y，由图可知，目标函数 z＝ x－2 y 过点 A 时取得最大值，由Error! 解得 A(1,1)，此时 z＝ x－2 y 取得最大值 1－2＝－1.5．设 x， y0，且 x＋ y＝4，若不等式 ＋ ≥ m 恒成立，则实数 m 的最大值为________．1x 4y答案 94解析 ＋ ＝ ＝1x 4y (1x＋ 4y)(x＋ y4 ) 14(5＋ yx＋ 4xy)≥ ＝ (5＋2×2) ＝ ，14(5＋ 2yx·4xy) 14 94当且仅当 y＝2 x＝ 时等号成立．8336．设 f(x)＝ x2＋ x＋1， g(x)＝ x2＋1，则 的取值范围是 ________．fxgx答案 [12， 32]解析 ＝ ＝1＋ ，fxgx x2＋ x＋ 1x2＋ 1 xx2＋ 1当 x＝0 时， ＝1；fxgx当 x0 时， ＝1＋ ≤1＋ ＝ ；fxgx 1x＋ 1x 12 32当且仅当 x＝1 时取等号．当 x0， b0)在该约束条件下取到最小值 2 时， a2＋ b2的最小值是________．5答案 4解析 方法一 线性约束条件所表示的可行域如图所示．由Error! 解得Error!所以 z＝ ax＋ by 在 A(2,1)处取得最小值，故 2a＋ b＝2 ，5a2＋ b2＝ a2＋(2 －2 a)2＝( a－4) 2＋4≥4.5 5方法二 由满足约束条件的可行域知，当目标函数过直线 x－ y－1＝0 与 2x－ y－3＝0 的交点(2,1)时取得最小值，所以有 2a＋ b＝2 .5又因为 a2＋ b2是原点(0,0)到点( a， b)的距离的平方，故当 是原点到直线 2a＋ b－2a2＋ b24＝ 0 的距离时最小，所以 的最小值是 ＝2，所以 a2＋ b2的最小值是 4.5 a2＋ b2|－ 25|22＋ 128．一批货物随 17 列货车从 A 市以 v km/h 的速度匀速到达 B 市，已知两地铁路线长为 400 km，为了安全，两列货车的间距不得小于 2 km(货车的长度忽略不计)，那么这批货物全(v20)部运到 B 市，最快需要________ h.答案 8解析 这批货物从 A 市全部运到 B 市的时间为t＝ ＝ ＋ ≥2 ＝8(h)，400＋ 16(v20)2v 400v 16v400 400v·16v400当且仅当 v＝100 时，取等号．9．(2018·江苏南京金陵中学期末)若对满足 x＋ y＋6＝4 xy 的任意正实数 x， y，都有x2＋2 xy＋ y2－ ax－ ay＋1≥0，则实数 a 的取值范围为________．答案 (－ ∞ ，103]解析 因为 4xy≤( x＋ y)2，又因为正实数 x， y 满足 x＋ y＋6＝4 xy，解得 x＋ y≥3，由 x2＋2 xy＋ y2－ ax－ ay＋1≥0，可求得 a≤ x＋ y＋ ，1x＋ y根据双勾函数性质可知，当 x＋ y＝3 时， x＋ y＋ 有最小值 ，1x＋ y 103所以 a 的取值范围为 .(－ ∞ ，103]10．在 R 上定义运算 ： A B＝ A(1－ B)，若不等式( x－ a) (x＋ a)0 对 x∈R 恒成立．∴ Δ ＝1－4(－ a2＋ a＋1)＝4 a2－4 a－32；由 x≥ g(x)，得 x≥ x2－2，则－1≤ x≤2.因此 f(x)＝Error!即 f(x)＝Error!∵当 x2；当 x2 时， f(x)8，∴当 x∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，函数 f(x)的值域是(2，＋∞)．∵当－1≤ x≤2 时，－ ≤ f(x)≤0，94∴当 x∈[－1,2]时，函数 f(x)的值域是 .[－94， 0]综上可知，函数 f(x)的值域是 ∪(2，＋∞)．[－94， 0]12．设正实数 x， y， z 满足 x2－3 xy＋4 y2－ z＝0.则当 取得最大值时， ＋ － 的最大值为xyz 2x 1y 2z________．答案 1解析 z＝ x2－3 xy＋4 y2(x0， y0， z0)，∴ ＝ ＝ ≤ ＝ ＝1.xyz xyx2－ 3xy＋ 4y2 1xy＋ 4yx－ 3 12xy·4yx－ 3 14－ 3当且仅当 ＝ ，即 x＝2 y0 时等号成立，xy 4yx此时 z＝ x2－3 xy＋4 y2＝4 y2－6 y2＋4 y2＝2 y2，∴ ＋ － ＝ ＋ － ＝－ ＋2x 1y 2z 22y 1y 22y2 1y2 2y＝－ 2＋1，(1y－ 1)∴当 y＝1 时， ＋ － 取得最大值 1.2x 1y 2z13．(2018·江苏扬州树人学校模拟)已知函数 f(x)＝ x2＋2 x－ b＋1( a， b 为正实数)只有a一个零点，则 ＋ 的最小值为________．1a 2ab＋ 1答案 52解析 ∵函数 f(x)＝ x2＋2 x－ b＋1( a， b 为正实数)只有一个零点，a6∴ Δ ＝4 a－4 ＝4 a＋4 b－4＝0，(－ b＋ 1)∴ a＋ b＝1.∴ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝ ＝－2＋ .1a 2ab＋ 1 1a 2a2－ a 2a2－ a＋ 2－ a2＋ 2a 2a2－ 4a＋ 3a＋ 2－ a2＋ 2a 3a＋ 2－ a2＋ 2a令 t＝3 a＋2( t2)，则 a＝ ，t－ 23∴－2＋ ＝－2＋ ＝－2－ ＝－2－3a＋ 2－ a2＋ 2a t－ (t－ 23 )2＋ 2(t－ 23 ) 9tt2－ 10t＋ 16 9t＋ 16t－ 10≥－2－ ＝ ，当且仅当 t＝ ，即 t＝4 时等号成立，此时 a＝ ， b＝ .92t·16t－ 10 52 16t 23 13∴ ＋ 的最小值为 .1a 2ab＋ 1 5214．若关于 x 的不等式( ax－1)(ln x＋ ax)≥0 在(0，＋∞)上恒成立，则实数 a 的取值范围是________．答案 Error!解析 令 f(x)＝ ax－1， g(x)＝ln x＋ ax，则 M(x)＝ f(x)·g(x)(x0)，当 a≠0 时，令 g′( x)＝ a＋ ＝ ＝0，则 x＝－ .1x ax＋ 1x 1a(1)当 a＝0 时， M(x)＝－ln x，不符合题意；(2)当 a0 时， f(x)在 上恒为负，在 上恒为正； g(x)在(0，＋∞)上单调递增，(0，1a) (1a， ＋ ∞ )则需 g ＝－ln a＋1＝0，此时 a＝e，符合题意；(1a)(3)当 a0 时， f(x)在(0，＋∞)上恒为负； g(x)在 上单调递增，在 上单(0， －1a) (－ 1a， ＋ ∞ )调递减，故 g(x)在 x＝－ 处取得极大值也是最大值， g(x)≤ g ＝ln －1≤0，解得1a (－ 1a) (－ 1a)a≤－ .1e综上所述，实数 a 的取值范围是Error!.1高考填空题分项练 5 函数的图象与性质1．函数 y＝Error!的单调增区间为________．答案 [0，＋∞)解析 当 x≥0 时， y＝ x 为增函数；当 x0， g(x)＝－ f(－ x)＝－(2 － x－3)＝3－ x，所以 g(－2)(12)＝－1， f(g(－2))＝ f(－1)＝3－2＝1.方法二 因为 g(－2)＝ f(－2)＝－ f(2)，所以 f(g(－2))＝ f(－ f(2))＝ f(－(2 2－3))＝ f(－1)＝－ f(1)＝1.7．已知函数 f(x)＝ ax(a0 且 a≠1)在[－1,1]上恒有 f(x)1 时， f(x)在[－1,1]上是增函数，∵在 x∈[－1,1]上恒有 f(x)1}解析 ∵ f(1)＝lg 1＝0，∴当 x≤0 时，函数 f(x)没有零点，故－2 x＋ a0 或－2 x＋ a2x或 a1 或 a≤0.49．若函数 f(x)＝sin (ω 0)的最小正周期为 π，则 f 的值是________．(ω x＋π 6) (π 8)答案 6＋ 24解析 因为函数 f(x)＝sin (ω 0)的最小正周期为 π，(ω x＋π 6)所以 ω ＝2，所以 f(x)＝sin ，(2x＋π 6)所以 f ＝sin(π 8) (π 4＋ π 6)＝sin cos ＋cos sinπ 4 π 6 π 4 π 6＝ .6＋ 2410．已知关于 λ ， θ 的二元函数 f(λ ， θ )＝( λ ＋5－3|cos θ |)2＋( λ －2|sin θ |)2，其中 λ ， θ ∈R，则 f(λ ， θ )的最小值为________．答案 2解析 观察( λ ＋5－3|cos θ |)2＋( λ －2|sin θ |)2的特征，可知其表示点( λ ＋5， λ )与点(3|cos θ |,2|sin θ |)的距离的平方．又点(3|cos θ |,2|sin θ |)在曲线 ＋ ＝1( x≥0， y≥0)上，x29 y24设与直线 y＝ x－5 平行的直线为 y＝ x＋ b，可知当此直线经过点(3,0)时，两平行直线之间的距离的平方即所求最小值，此时直线的方程为 y＝ x－3，从而两平行直线之间的距离为 ＝ ，|－ 5－ － 3|1＋ 1 2故 f(λ ， θ )的最小值为( )2＝2.211．已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且对于任意的 x∈[0，＋∞)，满足 f(x＋2)＝ f(x)，若当 x∈[0,2)时， f(x)＝| x2－ x－1|，则函数 y＝ f(x)－1 在区间[－2,4]上的零点个数为________．答案 7解析 由题意作出 y＝ f(x)在区间[－2,4]上的图象，与直线 y＝1 的交点共有 7 个，故函数y＝ f(x)－1 在区间[－2,4]上的零点个数为 7.12．已知函数 f(x)是奇函数，当 x05且 a≠1)对∀ x∈ 恒成立，则实数 a 的取值范围是________．(0，22]答案 [14， 1)解析 由已知得当 x0 时， f(x)＝ x2＋ x，故 x2≤2log ax 对∀ x∈ 恒成立，(0，22]即当 x∈ 时，(0，22]函数 y＝ x2的图象不在 y＝2log ax 图象的上方，由图(图略)知 01)．当 K＝ 时，函数 fK(x)的单调减区间是________．1a答案 (1，＋∞)解析 由题意知，当 K＝ (a1)时，1a令 f(x)≤ ，即 a－| x|≤ ，解得 x≤－1 或 x≥1；1a 1a令 f(x) ，即 a－| x| ，解得－10， g(n)单调递增，所以当 n＝0 时， g(n)有最小值 3－2ln 2，又 g(－1)＝2， g(e－2)＝e－1， g(n)即 n－ m 的取值范围为[3－2ln 2,2)．1高考填空题分项练 6 函数与导数1．设曲线 y＝ 在点(3,2)处的切线与直线 ax＋ y＋1＝0 垂直，则 a＝________.x＋ 1x－ 1答案 －2解析 ∵ y＝ ＝1＋ ，∴ y′＝－ .x＋ 1x－ 1 2x－ 1 2x－ 12∴曲线在点(3,2)处的切线斜率 k＝－ .12∴－ a＝2，即 a＝－2.2．设函数 f(x)＝ g(x)＋ x2，曲线 y＝ g(x)在点(1， g(1))处的切线方程为 y＝2 x＋1，则曲线 y＝ f(x)在点(1， f(1))处切线的斜率为________．答案 4解析 依题意得 f′( x)＝ g′( x)＋2 x，所以 f′(1)＝ g′(1)＋2＝2＋2＝4.3．已知函数 f(x)＝ 在(－2，＋∞)上单调递减，则 a 的取值范围是________．ax＋ 1x＋ 2答案 Error!解析 ∵ f′( x)＝ ，且函数 f(x)在(－2，＋∞)上单调递减， ∴ f′( x)≤0 在2a－ 1x＋ 22(－2，＋∞)上恒成立，∴ a≤ .12当 a＝ 时， f′( x)＝0 恒成立，不合题意，应舍去．122∴ a0)有极大值 9，则 m 的值是________．答案 2解析 由 f′( x)＝3 x2＋2 mx－ m2＝( x＋ m)(3x－ m)＝0，得 x＝－ m 或 x＝ m，13当 x 变化时， f′( x)与 f(x)的变化情况如下表：x (－∞，－ m) － m (－ m，13m)m13 (13m， ＋ ∞ )f′( x) ＋ 0 － 0 ＋f(x)  极大值  极小值 从而可知，当 x＝－ m 时，函数 f(x)取得极大值 9，即 f(－ m)＝－ m3＋ m3＋ m3＋1＝9，解得 m＝2.6．函数 f(x)＝ x3－3 ax－ a 在(0,1)内有最小值，则 a 的取值范围是________．答案 (0,1)解析 f′( x)＝3 x2－3 a＝3( x2－ a)．当 a≤0 时， f′( x)0，所以 f(x)在(0,1)内单调递增，无最小值．当 a0 时， f′( x)＝3( x－ )(x＋ )．a a当 x∈(－∞，－ )和( ，＋∞)时， f(x)单调递增；a a当 x∈(－ ， )时， f(x)单调递减，a a所以当 00 在 f(x)的定义域上恒成立，即 f(x)＋ f′( x)0 在 f(x)的定义域上恒成立．对于①式， f(x)＋ f′( x)＝2 － x－2 － xln 2＝2 － x(1－ln 2)0，符合题意．经验证，②③④均不符合题意．8．如果函数 f(x)＝ x3－ x2＋ a 在[－1,1]上的最大值是 2，那么 f(x)在[－1,1]上的最小值32是_____．答案 －12解析 ∵ f′( x)＝3 x2－3 x，令 f′( x)＝0，得 x＝0 或 x＝1.∴在[－1,1]上，当 x∈[－1,0)时， f′( x)0，当 x∈(0,1)时， f′( x)0，即 x∈(0,1]时， f(x)＝ ax3－3 x＋1≥0 可化为a≥ － .3x2 1x3设 g(x)＝ － ， x∈(0,1]，则 g′( x)＝ .3x2 1x3 31－ 2xx4所以 g(x)在区间 上单调递增，在区间 上单调递减．(0，12] [12， 1]因此 g(x)max＝ g ＝4，从而 a≥4；(12)当 x0；② f(0)f(1)0；④ f(0)f(3)0；当 13 时， f′( x)0.∴当 x＝1 时， f(x)有极大值，当 x＝3 时， f(x)有极小值．∵函数 f(x)有三个零点，∴ f(1)0， f(3)0，得 a0，因此 f(0)0.故正确结论的序号是②③.方法二 由题设知 f(x)＝0 有 3 个不同零点．如图所示．设 g(x)＝ x3－6 x2＋9 x，∴ f(x)＝ g(x)－ abc， f(x)有 3 个零点，需将 g(x)的图象向下平移至如图所示位置．观察图象可知， f(0)f(1)0.故②③正确．13．已知定义在 R 上的可导函数 f(x)的导函数为 f′( x)，满足 f′( x)0，即所求不等式的解集为(0，＋∞)．14．(2018·苏州模拟)如果函数 y＝ f(x)在其定义域内总存在三个不同实数 x1， x2， x3，满足| xi－2| f(xi)＝1( i＝1,2,3)，则称函数 f(x)具有性质 Ω .已知函数 f(x)＝ aex具有性质 Ω ，则实数 a 的取值范围为________．答案 (1e， ＋ ∞ )解析 由题意知，若 f(x)具有性质 Ω ，则在定义域内| x－2| f(x)＝1 有 3 个不同的实数根，∵ f(x)＝ aex，∴ ＝| x－2|·e x，1a即方程 ＝| x－2|·e x在 R 上有 3 个不同的实数根．1a设 g(x)＝| x－2|·e x＝Error!当 x≥2 时， g′( x)＝( x－1)·e x0，即 g(x)在[2，＋∞)上单调递增；当 x0，∴ g(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．又∵ g(1)＝e， g(2)＝0，∴方程 ＝| x－2|·e x在 R 上有 3 个不同的实数根即函数 g(x)与 y＝ 的图象有 3 个交点．1a 1a∴0 .1a 1e