（全国通用版）2019高考数学二轮复习 板块四 考前回扣学案（打包8套）文.zip

1回扣 1 集合、常用逻辑用语、不等式与推理证明1．集合(1)集合的运算性质① A∪ B＝ A⇔B⊆A；② A∩ B＝ B⇔B⊆A；③ A⊆B⇔∁UA⊇∁UB.(2)子集、真子集个数计算公式对于含有 n个元素的有限集合 M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n－1,2 n－1,2 n－2.(3)集合运算中的常用方法若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；若已知的集合是点集，用数形结合法求解；若已知的集合是抽象集合，用 Venn图求解．2．四种命题及其相互关系(1)(2)互为逆否命题的两命题同真同假．3．含有逻辑联结词的命题的真假(1)命题 p∨ q：若 p， q中至少有一个为真，则命题为真命题，简记为：一真则真．(2)命题 p∧ q：若 p， q中至少有一个为假，则命题为假命题， p， q同为真时，命题才为真命题，简记为：一假则假，同真则真．(3)命题綈 p：与命题 p真假相反．4．全称命题、特称(存在性)命题及其否定 (1)全称命题 p：∀ x∈ M， p(x)，其否定为特称(存在性)命题綈 p：∃ x0∈ M，綈 p(x0)．(2)特称(存在性)命题 p：∃ x0∈ M， p(x0)，其否定为全称命题綈 p：∀ x∈ M，綈 p(x)．5．充分条件与必要条件的三种判定方法(1)定义法：正、反方向推理，若 p⇒q，则 p是 q的充分条件(或 q是 p的必要条件)；若p⇒q，且 q⇏p，则 p是 q的充分不必要条件 (或 q是 p的必要不充分条件 )．2(2)集合法：利用集合间的包含关系．例如，若 A⊆B，则 A是 B的充分条件( B是 A的必要条件)；若 AB，则 A是 B的充分不必要条件( B是 A的必要不充分条件)；若 A＝ B，则 A是 B的充要条件．(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题．6．一元二次不等式的解法解一元二次不等式的步骤：一化(将二次项系数化为正数)；二判(判断 Δ 的符号)；三解(解对应的一元二次方程)；四写(大于取两边，小于取中间)．解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑：①二次项系数，它决定二次函数的开口方向；②判别式 Δ ，它决定根的情形，一般分 Δ 0， Δ ＝0， Δ 0(a≠0)恒成立的条件是Error!(2)ax2＋ bx＋ c0(0(0(a≠0)的一元二次不等式时，易忽视系数 a的讨论导致漏解或错解，要注意分 a0， apC． p＝ rq答案 C解析 ∵0 ，a＋ b2 ab又∵ f(x)＝ln x在(0，＋∞)上为增函数，故 f f( )，即 qp.(a＋ b2 ) ab又 r＝ [f(a)＋ f(b)]＝ (ln a＋ln b)＝ ln a＋ ln b＝ln( ab)12＝ f( )＝ p.12 12 12 12 ab故 p＝ r0 的解集是实数集 R；命题乙：00 的解集是实数集 R可知，当 a＝0 时，原式＝10 恒成立，当 a≠0 时，需满足Error!解得 00，则 xsin x恒成立；②命题“若 x－sin x＝0，则 x＝0”的逆否命题为“若 x≠0，则 x－sin x≠0” ；③“命题 p∧ q为真”是“命题 p∨ q为真”的充分不必要条件；④命题“∀ x∈R， x－ln x0”的否定是“∃ x0∈R， x0－ln x00时， x－sin x0－0＝0，即当 x0时， xsin x恒成立，故①正确；对于②，命题“若 x－sin x＝0，则 x＝0”的逆否命题为“若 x≠0，则 x－sin x≠0” ，故②正确；对于③，命题 p∨ q为真即 p， q中至少有一个为真， p∧ q为真即 p， q都为真，可知“ p∧ q为真”是“ p∨ q为真”的充分不必要条件，故③正确；对于④，命题“∀ x∈R， x－ln x0”的否定是“∃ x0∈R， x0－ln x0≤0” ，故④错误．综上，正确结论的个数为 3，故选 C.12．小明用电脑软件进行数学解题能力测试，每答完一道题，软件都会自动计算并显示出当前的正确率(正确率＝已答对题目数÷已答题目总数)，小明依次共答了 10道题，设正确率依次为 a1， a2， a3，…， a10.现有三种说法：①若 a1a2a3…a10，则必是第一道题答对，其余题均答错；③有可能a5＝2 a10，其中正确的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3答案 D解析 ①②显然成立，③前 5个全答对，后 5个全答错，符合题意，故选 D.13．已知集合 M＝Error!，若 3∈ M,5∉M，则实数 a的取值范围是______________．答案 ∪(9,25][1，53)解析 ∵集合 M＝Error!，得( ax－5)( x2－ a)0时，原不等式可化为 (x－ )(x＋ ) ，只需满足Error!a5a解得 9a≤25，当 a0时，不符合条件．综上， a的取值范围为 ∪(9,25]．[1，53)14．若“∀ x∈ ， m≤tan x＋1”为真命题，则实数 m的最大值为________．[－π4， π4]答案 0解析 令 f(x)＝tan x＋1，则函数 f(x)在 上为增函数，故 f(x)的最小值为 f[－π4， π4]＝0，(－π4)∵∀ x∈ ， m≤tan x＋1，[－π4， π4]故 m≤(tan x＋1) min，∴ m≤0，故实数 m的最大值为 0.15．在△ ABC中， AD平分∠ A的内角且与对边 BC交于 D点，则 ＝ ，将命题类比到空间：BDCD ABAC在三棱锥 A－ BCD中，平面 ADE平分二面角 B－ AD－ C且与对棱 BC交于 E点，则可得到的正确命题的结论为_______________________________________________________．答案 ＝BECE S△ ABDS△ ACD解析 在△ ABC中，作 DE⊥ AB， DF⊥ AC，则 DE＝ DF，所以 ＝ ＝ ，根据面积类ABAC S△ ABDS△ ACD BDCD比体积，长度类比面积可得 ＝ ，即 ＝ .VB－ ADEVC－ ADE S△ ABDS△ ACD BECE S△ ABDS△ ACD16．要制作一个容积为 4 m3，高为 1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是 20元/m2，侧面造价是 10元/m 2，则该容器的最低总造价是________元．答案 160解析 由题意知，体积 V＝4 m 3，高 h＝1 m，所以底面积 S＝4 m2，设底面矩形的一条边长是 x m，则另一条边长是 m，又设总造价是 y4x元，则 y＝20×4＋10× ≥80＋20 ＝160，当且仅当 2x＝ ，即 x＝2 时取得等(2x＋8x) 2x·8x 8x号．1回扣 2 复数、程序框图、平面向量与数学文化1．复数的相关概念及运算法则(1)复数 z＝ a＋ bi(a， b∈R)的分类① z 是实数⇔ b＝0；② z 是虚数⇔ b≠0；③ z 是纯虚数⇔ a＝0 且 b≠0.(2)共轭复数复数 z＝ a＋ bi 的共轭复数 ＝ a－ bi.z(3)复数的模复数 z＝ a＋ bi 的模| z|＝ .a2＋ b2(4)复数相等的充要条件a＋ bi＝ c＋ di⇔a＝ c 且 b＝ d(a， b， c， d∈R)．特别地， a＋ bi＝0⇔ a＝0 且 b＝0( a， b∈R)．(5)复数的运算法则加减法：( a＋ bi)±(c＋ di)＝( a±c)＋( b±d)i；乘法：( a＋ bi)(c＋ di)＝( ac－ bd)＋( ad＋ bc)i；除法：( a＋ bi)÷(c＋ di)＝ ＋ i.ac＋ bdc2＋ d2 bc－ adc2＋ d2(其 中 a， b， c， d∈ R)22．复数的几个常见结论(1)(1±i)2＝±2i.(2) ＝i， ＝－i.1＋ i1－ i 1－ i1＋ i(3)i4n＝1，i 4n＋1 ＝i，i 4n＋2 ＝－1，i 4n＋3 ＝－i，i 4n＋i 4n＋1 ＋i 4n＋2 ＋i 4n＋3 ＝0( n∈Z)．(4)ω ＝－ ± i，且 ω 0＝1， ω 2＝ ， ω 3＝1,1＋ ω ＋ ω 2＝0.12 32 ω3．程序框图的三种基本逻辑结构(1)顺序结构：如图(1)所示．(2)条件结构：如图(2)和图(3)所示．(3)循环结构：如图(4)和图(5)所示．4．平面向量的数量积(1)若 a， b 为非零向量，夹角为 θ ，则 a·b＝| a||b|cos θ .(2)设 a＝( x1， y1)， b＝( x2， y2)，则 a·b＝ x1x2＋ y1y2.5．两个非零向量平行、垂直的充要条件若 a＝( x1， y1)， b＝( x2， y2)，则(1)a∥ b⇔a＝ λ b(b≠0)⇔ x1y2－ x2y1＝0.(2)a⊥ b⇔a·b＝0⇔ x1x2＋ y1y2＝0.6．利用数量积求长度(1)若 a＝( x， y)，则| a|＝ ＝ .a·a x2＋ y2(2)若 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则| |＝ .AB→ x2－ x12＋ y2－ y127．利用数量积求夹角若 a＝( x1， y1)， b＝( x2， y2)， θ 为 a 与 b 的夹角，则 cos θ ＝ ＝ .a·b|a||b| x1x2＋ y1y2x21＋ y21 x2＋ y28．三角形“四心”向量形式的充要条件3设 O 为△ ABC 所在平面上一点，角 A， B， C 所对的边长分别为 a， b， c，则(1)O 为△ ABC 的外心⇔| |＝| |＝| |＝ .OA→ OB→ OC→ a2sin A(2)O 为△ ABC 的重心⇔ ＋ ＋ ＝0.OA→ OB→ OC→ (3)O 为△ ABC 的垂心⇔ · ＝ · ＝ · .OA→ OB→ OB→ OC→ OC→ OA→ (4)O 为△ ABC 的内心⇔ a ＋ b ＋ c ＝0.OA→ OB→ OC→ 41．复数 z 为纯虚数的充要条件是 a＝0 且 b≠0( z＝ a＋ bi， a， b∈R)．还要注意巧妙运用参数问题和合理消参的技巧．2．复数的运算与多项式运算类似，要注意利用 i2＝－1 化简合并同类项．3．在解决含有循环结构的框图时，要弄清停止循环的条件．注意理解循环条件中“≥”与“”的区别．4．解决程序框图问题时，要注意流程线的指向与其上文字“是” “否”的对应．5．在循环结构中，易错误判定循环体结束的条件，导致错求输出的结果．6． a·b0 是〈 a， b〉为锐角的必要不充分条件；a·b5，解得 n31，所以输出的 n 为 32.14．已知平面内三个单位向量 ， ， ， 〈 ， 〉＝60°，若 ＝ m ＋ n ，则 m＋ n 的最OA→ OB→ OC→ OA→ OB→ OC→ OA→ OB→ 大值是______．答案 233解析 由已知条件 ＝ m ＋ n ，两边平方可得 1＝ m2＋ mn＋ n2＝( m＋ n)2－ mn，OC→ OA→ OB→ 10∴( m＋ n)2－1＝ mn，根据向量加法的平行四边形法则，判断出 m， n0，∴( m＋ n)2－1＝ mn≤ (m＋ n)2，当且仅当 m＝ n 时取等号，14∴ (m＋ n)2≤1，则 m＋ n≤ ，即 m＋ n 的最大值为 .34 233 23315．现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理(图 1)，即可求得球的体积公式．请在研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为 ＋ ＝1，将此椭圆绕 y 轴旋转y225 x24一周后，得一橄榄状的几何体(图 2)，其体积等于________．答案 80π3解析 椭圆的长半轴长为 5，短半轴长为 2，现构造一个底面半径为 2，高为 5 的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积V＝2( V 圆柱 － V 圆锥 )＝2 ＝ .(π ×22×5－13π ×22×5) 80π316．已知 O 是锐角△ ABC 外接圆的圆心，∠ A＝60°， · ＋ · ＝2 m ，则 mcos Bsin C AB→ cos Csin B AC→ AO→ 的值为______．答案 32解析 如图所示，取 AB 的中点 D，则 ＝ ＋ ， OD⊥ AB，所以 · ＝0，设△ ABC 的三个内角 A， B， C 所OA→ OD→ DA→ OD→ AB→ 对的边分别为 a， b， c，由 · ＋ · ＝2 m ，cos Bsin C AB→ cos Csin B AC→ AO→ 11得 · ＋ · ＝－2 m( ＋ )，cos Bsin C AB→ cos Csin B AC→ OD→ DA→ 两边同乘 ，得 · 2＋ · · ＝－2 m( ＋ )· ，AB→ cos Bsin C AB→ cos Csin B AC→ AB→ OD→ DA→ AB→ 即 ·c2＋ ·bc·cos A＝ m·c2，cos Bsin C cos Csin B所以 ·c＋ ·b·cos A＝ m·c，cos Bsin C cos Csin B由正弦定理 ＝ ＝ ＝2 R(R 为△ ABC 外接圆半径)，asin A bsin B csin C得 b＝2 Rsin B， c＝2 Rsin C，代入上式整理，得 cos B＋cos Ccos A＝ m·sin C，所以 m＝cos B＋ cos Ccos Asin C＝ ＝sin A，－ cosA＋ C＋ cos Ccos Asin C又∠ A＝60°，所以 m＝sin 60°＝ .321回扣 3 三角函数、三角恒等变换与解三角形1．三种三角函数的性质函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x图象单调性在Error! Error!(k∈Z) 上单调递增；在Error!Error!(k∈Z) 上单调递减在[－π＋2 kπ，2 kπ](k∈Z)上单调递增；在[2 kπ，π＋2 kπ](k∈Z)上单调递减在Error!Error!(k∈Z)上单调递增对称性对称中心：( kπ，0)(k∈Z)；对称轴：x＝ ＋ kπ( k∈Z)π2对称中心：(k∈Z)；(π2＋ kπ ， 0)对称轴：x＝ kπ( k∈Z)对称中心：(k∈Z)(kπ2， 0)2．函数 y＝ Asin(ωx ＋ φ )(ω 0， A0)的图象(1)“五点法”作图2设 z＝ ωx ＋ φ ，令 z＝0， ，π， ，2π，求出相应的 x的值与 y的值，描点、连线可π2 3π2得．(2)由三角函数的图象确定解析式时，一般利用五点中的零点或最值点作为解题突破口．(3)图象变换y＝sin x y＝sin( x＋ φ )― ― ― ― ― ― ― ― ― →向 左 φ 0或 向 右 φ 0倍 纵 坐 标 不 变y＝ Asin(ωx ＋ φ )．― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― →纵 坐 标 变 为 原 来 的 AA0倍 横 坐 标 不 变3．准确记忆六组诱导公式对于“ ±α ， k∈Z”的三角函数值与 α 角的三角函数值的关系口诀：奇变偶不变，符号kπ2看象限．4．三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ ＋cos 2θ ＝tan 45°等．(2)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次．(3)弦、切互化：一般是切化弦．(4)灵活运用辅助角公式 asin α ＋ bcos α ＝ sin(α ＋ φ ) .a2＋ b2 (其 中 tan φ ＝ba)5．正弦定理及其变形＝ ＝ ＝2 R(2R为△ ABC外接圆的直径)．asin A bsin B csin C变形： a＝2 Rsin A， b＝2 Rsin B， c＝2 Rsin C.sin A＝ ，sin B＝ ，sin C＝ .a2R b2R c2Ra∶ b∶ c＝sin A∶sin B∶sin C.6．余弦定理及其推论、变形a2＝ b2＋ c2－2 bccos A， b2＝ a2＋ c2－2 accos B，c2＝ a2＋ b2－2 abcos C.推论：cos A＝ ，cos B＝ ，b2＋ c2－ a22bc a2＋ c2－ b22accos C＝ .a2＋ b2－ c22ab变形： b2＋ c2－ a2＝2 bccos A， a2＋ c2－ b2＝2 accos B，a2＋ b2－ c2＝2 abcos C.37．面积公式S△ ABC＝ bcsin A＝ acsin B＝ absin C.12 12 121．利用同角三角函数的平方关系式求值时，不要忽视角的范围，要先判断函数值的符号．2．在求三角函数的值域(或最值)时，不要忽略 x的取值范围．3．求函数 f(x)＝ Asin(ωx ＋ φ )的单调区间时，要注意 A与 ω 的符号，当 ω 0)的最小正周期是 T，将其图象向左平移 T个单位长度后，得到14的图象如图所示，则函数 y＝sin ωx (ω 0)的单调递增区间是( )A. (k∈Z)[7kπ6－ 7π24， 7kπ6＋ 7π24]B. (k∈Z)[7kπ3－ 7π24， 7kπ3＋ 7π24]C. (k∈Z)[7kπ3－ 7π12， 7kπ3＋ 7π12]D. (k∈Z)[7kπ6＋ 7π24， 7kπ6＋ 21π24]答案 A解析 方法一 由已知图象知， y＝sin ωx (ω 0)的最小正周期是 2× ＝ ，所以7π12 7π67＝ ，解得 ω ＝ ，所以 y＝sin x.2πω 7π6 127 127由 2kπ－ ≤ x≤2 kπ＋ 得到单调递增区间是 (k∈Z)．π2 127 π2 [7kπ6－ 7π24， 7kπ6＋ 7π24]方法二 因为 T＝ ，所以将 y＝sin ωx (ω 0)的图象向左平移 T个单位长度后，2πω 14所对应的解析式为 y＝sin ω .(x＋π2ω )由图象知， ω ＝ ，所以 ω ＝ ，(7π12＋ π2ω ) 3π2 127所以 y＝sin x.由 2kπ－ ≤ x≤2 kπ＋ 得到单调递增区间是127 π2 127 π2(k∈Z)．[7kπ6－ 7π24， 7kπ6＋ 7π24]9．已知 f(x)＝sin x＋ cos x(x∈R)，函数 y＝ f(x＋ φ )的图象关于直线 x＝0 对称，则3φ 的值可以是( )A. B. C. D.π2 π6 π3 π4答案 B解析 已知 f ＝sin x＋ cos x＝2sin ，(x) 3 (x＋π3)y＝ f ＝2sin 关于直线 x＝0 对称，(x＋ φ ) (x＋ φ ＋π3)所以 f(0)＝2sin ＝±2，(φ ＋π3)所以 φ ＋ ＝ ＋ kπ， k∈Z， φ ＝ ＋ kπ， k∈Z，π3 π2 π6当 k＝0 时， φ ＝ ，故选 B.π610．已知函数 f(x)＝2cos( ωx ＋ φ )－1 ，其图象与直线 y＝1 相邻两个(ω 0， |φ |0对 x∈ 恒成立，则 φ 的取值范围是( )4π3 (－ π8， π4)A. B.[－π12， 0] (－ π8， － π24]C. D.[－π12， π8) [0， π12]答案 B解析 由已知得函数 f(x)的最小正周期为 ，则 ω ＝ ，4π3 328当 x∈ 时， x＋ φ ∈ ，(－π8， π4) 32 (－ 3π16＋ φ ， 3π8＋ φ )因为 f(x)0，即 cos ，(32x＋ φ )12所以Error! (k∈Z)，解得－ ＋2 kπ≤ φ ≤－ ＋2 kπ( k∈Z)，7π48 π24又| φ |0， ω 0，00)和 g(x)＝3cos(2 x＋ φ )的图象的对称中心完全相(ω x－π6)同，若 x∈ ，则 f(x)的取值范围是________．[0，π2]答案 [－32， 3]解析 由两个三角函数图象的对称中心完全相同可知，两函数的周期相同，故 ω ＝2，所以 f(x)＝3sin ，(2x－π6)那么当 x∈ 时，－ ≤2 x－ ≤ ，[0，π2] π6 π6 5π69所以－ ≤sin ≤1，故 f(x)∈ .12 (2x－ π6) [－ 32， 3]13．在△ ABC中，内角 A， B， C的对边分别是 a， b， c，角 B为锐角，且 sin2B＝8sin A·sin C，则 的取值范围为____________．ba＋ c答案 (63， 255)解析 因为 sin2B＝8sin A·sin C，由正弦定理可知，b2＝8 ac，所以 cos B＝a2＋ c2－ b22ac＝ ＝a＋ c2－ 2ac－ b22aca＋ c2－ 54b214b2＝ －5∈(0,1)，4a＋ c2b2令 t＝ ， t0，则 0 －51，ba＋ c 4t2解得 t2 ，即 t∈ .23 45 (63， 255)14.如图，在平面四边形 ABCD中， AD＝1， CD＝2， AC＝ ，cos∠ BAD＝－ ，sin∠ CBA＝7714，则 BC的长为________．216答案 3解析 因为 cos∠ BAD＝－ ，714故 sin∠ BAD＝ ＝ ，1－ (－ 714)2 32114在△ ADC中运用余弦定理，可得 cos∠ CAD＝ ＝ ，1＋ 7－ 427 277则 sin∠ CAD＝ ＝ ，1－ (277)2 21710所以 sin∠ BAC＝sin(∠ BAD－∠ CAD)＝ × ＋ × ＝ ＝ ，32114 277 714 217 63＋ 314 32在△ ABC中运用正弦定理，可得＝ ⇒BC＝ × × ＝3.BCsin∠ BAC 7sin∠ CBA 32 7 62115．在△ ABC中，角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c，已知 cos C＋(cos A－ sin A)cos 3B＝0.(1)求角 B的大小；(2)若 a＝2， b＝ ，求△ ABC的面积．7解 (1)由已知得－cos( A＋ B)＋cos Acos B－ sin Acos B＝0，3即 sin Asin B－ sin Acos B＝0，因为 sin A≠0，3所以 sin B－ cos B＝0，3又 cos B≠0，所以 tan B＝ ，3又 0Bπ，所以 B＝ .π3(2)因为 sin B＝ ，cos B＝ ， b＝ ，32 12 7所以 ＝ ＝ ＝ ，asin A bsin B 732 2213又 a＝2，所以 sin A＝ ＝ ，321 217因为 ab，所以 cos A＝ .277因为 A＋ B＋ C＝π，所以 sin C＝sin( A＋ B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝ ，32114所以 S△ ABC＝ absin C＝ .12 33216．已知函数 f(x)＝ sin xcos x＋sin 2x＋ (x∈R)．312(1)当 x∈ 时，求函数 f(x)的最小值和最大值；[－π12， 5π12](2)设△ ABC的内角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c，且 c＝ ， f(C)＝2，若向量3m＝(1， a)与向量 n＝(2， b)共线，求 a， b的值．11解 (1)∵函数 f(x)＝ sin xcos x＋sin 2x＋ (x∈R)，312∴ f(x)＝ sin 2x＋ ＋32 1－ cos 2x2 12＝ sin 2x－ cos 2x＋132 12＝sin ＋1.(2x－π6)∵－ ≤ x≤ ，∴－ ≤2 x－ ≤ ，π12 5π12 π3 π6 2π3∴－ ≤sin ≤1，32 (2x－ π6)∴1－ ≤sin ＋1≤2 ，32 (2x－ π6)∴ f(x)的最小值是 1－ ，最大值是 2.32(2)∵ f(C)＝sin ＋1＝2，(2C－π6)∴sin ＝1，(2C－π6)∵0 Cπ，∴－ 2C－ ，π6 π611π6∴2 C－ ＝ ，解得 C＝ .π6 π2 π3∵向量 m＝(1， a)与向量 n＝(2， b)共线，∴ b－2 a＝0，即 b＝2 a.①由余弦定理，得 c2＝ a2＋ b2－2 abcos ，π3即 a2＋ b2－ ab＝3.②由①②得 a＝1， b＝2.1回扣 4 数 列1．牢记概念与公式等差数列、等比数列等差数列 等比数列通项公式 an＝ a1＋( n－1) d an＝ a1qn－1 (q≠0)前 n 项和Sn＝na1＋ an2＝ na1＋ dnn－ 12 (1)q≠1， Sn＝a11－ qn1－ q＝ ；a1－ anq1－ q(2)q＝1， Sn＝ na12.活用定理与结论(1)等差、等比数列{ an}的常用性质等差数列 等比数列性质①若 m， n， p， q∈N *，且m＋ n＝ p＋ q，则 am＋ an＝ ap＋ aq；② an＝ am＋( n－ m)d；①若 m， n， p， q∈N *，且m＋ n＝ p＋ q，则am·an＝ ap·aq；② an＝ amqn－ m；2③ Sm， S2m－ Sm， S3m－ S2m，…仍成等差数列③ Sm， S2m－ Sm， S3m－ S2m，…仍成等比数列( Sm≠0)(2)判断等差数列的常用方法①定义法an＋1 － an＝ d(常数)( n∈N *)⇔{an}是等差数列．②通项公式法an＝ pn＋ q(p， q 为常数， n∈N *)⇔{an}是等差数列．③中项公式法2an＋1 ＝ an＋ an＋2 (n∈N *)⇔{an}是等差数列．④前 n 项和公式法Sn＝ An2＋ Bn(A， B 为常数， n∈N *)⇔{an}是等差数列．(3)判断等比数列的常用方法①定义法＝ q(q 是不为 0 的常数， n∈N *)⇔{an}是等比数列．an＋ 1an②通项公式法an＝ cqn(c， q 均是不为 0 的常数， n∈N *)⇔{an}是等比数列．③中项公式法a ＝ an·an＋2 (an·an＋1 ·an＋2 ≠0， n∈N *)⇔{an}是等比数列．2n＋ 13．数列求和的常用方法(1)等差数列或等比数列的求和，直接利用公式求和．(2)形如{ an·bn}(其中{ an}为等差数列，{ bn}为等比数列)的数列，利用错位相减法求和．(3)通项公式形如 an＝ (其中 a， b1， b2， c 为常数)用裂项相消法求和．can＋ b1an＋ b2(4)通项公式形如 an＝(－1) n·n 或 an＝ a·(－1) n(其中 a 为常数， n∈N *)等正负项交叉的数列求和一般用并项法．并项时应注意分 n 为奇数、偶数两种情况讨论．(5)分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成 cn＝ an＋ bn形式的数列求和问题的方法，其中{ an}与{ bn}是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列．(6)并项求和法：先将某些项放在一起求和，然后再求 Sn.31．已知数列的前 n 项和求 an，易忽视 n＝1 的情形，直接用 Sn－ Sn－1 表示．事实上，当n＝1 时， a1＝ S1；当 n≥2 时， an＝ Sn－ Sn－1 .2．易混淆几何平均数与等比中项，正数 a， b 的等比中项是± .ab3．等差数列中不能熟练利用数列的性质转化已知条件，灵活整体代换进行基本运算．如等差数列{ an}与{ bn}的前 n 项和分别为 Sn和 Tn，已知 ＝ ，求 时，无法正确赋值求SnTn n＋ 12n＋ 3 anbn解．4．易忽视等比数列中公比 q≠0 导致增解，易忽视等比数列的奇数项或偶数项符号相同造成增解．5．运用等比数列的前 n 项和公式时，易忘记分类讨论．一定分 q＝1 和 q≠1 两种情况进行讨论．6．利用错位相减法求和时，要注意寻找规律，不要漏掉第一项和最后一项．7．裂项相消法求和时，裂项前后的值要相等，如 ≠ － ，1nn＋ 2 1n 1n＋ 2而是 ＝ .1nn＋ 2 12(1n－ 1n＋ 2)8．通项中含有(－1) n的数列求和时，要把结果写成 n 为奇数和 n 为偶数两种情况的分段形式．1．设等差数列{ an}的前 n 项和为 Sn，已知 S130， S140， a80， a3＋ a100， a6a70 的最大自然数 n 的值为( )A．6 B．7C．12 D．13答案 C解析 ∵ a10， a6a70， a70， a1＋ a13＝2 a70， S130 的最大自然数 n 的值为 12.4．已知数列{ an}满足 13a＋ ＝9· na (n∈N *)且 a2＋ a4＋ a6＝9，则 13log(a5＋ a7＋ a9)等于( )A．－ B．313C．－3 D.13答案 C解析 由已知 1na＋ ＝9· 3na＝ 2＋ ，所以 an＋1 ＝ an＋2，所以数列{ an}是公差为 2 的等差数列，a5＋ a7＋ a9＝( a2＋3 d)＋( a4＋3 d)＋( a6＋3 d)＝( a2＋ a4＋ a6)＋9 d＝9＋9×2＝27，所以 13log(a5＋ a7＋ a9)＝ 13log27＝－3.故选 C.5．已知正数组成的等比数列{ an}，若 a1·a20＝100，那么 a7＋ a14的最小值为( )A．20 B．25C．50 D．不存在答案 A解析 在正数组成的等比数列{ an}中，因为 a1·a20＝100，由等比数列的性质可得a1·a20＝ a7·a14＝100，那么 a7＋ a14≥2 ＝2 ＝20，当且仅当 a7＝ a14＝10 时取a7·a14 100等号，所以 a7＋ a14的最小值为 20.6．已知数列{ an}的前 n 项和为 Sn，若 Sn＝2 an－4( n∈N *)，则 an等于( )5A．2 n＋1 B．2 nC．2 n－1 D．2 n－2答案 A解析 an＋1 ＝ Sn＋1 － Sn＝2 an＋1 －4－(2 an－4)⇒ an＋1 ＝2 an，再令n＝1，∴ S1＝2 a1－4⇒ a1＝4，∴数列{ an}是以 4 为首项，2 为公比的等比数列，∴ an＝4·2 n－1 ＝2 n＋1 ，故选 A.7．已知等差数列{ an}的公差和首项都不等于 0，且 a2， a4， a8成等比数列，则 等a1＋ a5＋ a9a2＋ a3于( )A．2 B．3 C．5 D．7答案 B解析 ∵在等差数列{ an}中， a2， a4， a8成等比数列，∴ a ＝ a2a8，∴( a1＋3 d)2＝( a1＋ d)(a1＋7 d)，∴ d2＝ a1d，∵ d≠0，∴ d＝ a1，24∴ ＝ ＝3，故选 B.a1＋ a5＋ a9a2＋ a3 15a15a18．已知 Sn为数列{ an}的前 n 项和，若 an(4＋cos nπ)＝ n(2－cos nπ)( n∈N *)，则 S20等于( )A．31 B．122C．324 D．484答案 B解析 由题意可知，因为 an(4＋cos nπ)＝ n(2－cos nπ)，所以 a1＝1， a2＝ ， a3＝3， a4＝ ， a5＝5， a6＝ ，…，25 45 65所以数列{ an}的奇数项构成首项为 1，公差为 2 的等差数列，偶数项构成首项为 ，公差为25的等差数列，25所以 S20＝( a1＋ a3＋…＋ a19)＋( a2＋ a4＋…＋ a20)＝122，故选 B.9．已知等差数列{ an}的公差 d≠0，且 a1， a3， a13成等比数列，若 a1＝1， Sn是数列{ an}的前 n 项和，则 (n∈N *)的最小值为( )2Sn＋ 16an＋ 3A．4 B．36C．2 －2 D.392答案 A解 析 由 题 意 a1， a3， a13成 等 比 数 列 ， 可 得 (1＋ 2d)2＝ 1＋ 12d， 解 得 d＝ 2， 故an＝ 2n－ 1， Sn＝ n2， 因 此 ＝ ＝ ＝ ＝ (n＋ 1)2Sn＋ 16an＋ 3 2n2＋ 162n＋ 2 n2＋ 8n＋ 1 n＋ 12－ 2n＋ 1＋ 9n＋ 1＋ － 2， 由 基 本 不 等 式 知 ， ＝ (n＋ 1)＋ － 2≥ 2 － 2＝ 4， 当 且9n＋ 1 2Sn＋ 16an＋ 3 9n＋ 1 n＋ 1 × 9n＋ 1仅 当 n＝ 2 时 取 得 最 小 值 4.10．已知 F(x)＝ f －1 是 R 上的奇函数，数列{ an}满足 an＝ f(0)(x＋12)＋ f ＋…＋ f ＋ f(1)(n∈N *)，则数列{ an}的通项公式为( )(1n) (n－ 1n )A． an＝ n－1 B． an＝ nC． an＝ n＋1 D． an＝ n2答案 C解析 由题意 F(x)＝ f －1 是 R 上的奇函数，即 F(x)关于(0,0)对称，(x＋12)则 f(x)关于 对称．(12， 1)即 f(0)＋ f(1)＝2， f ＝1， f ＋ f ＝2，(12) (1n) (n－ 1n )f ＋ f ＝2，(2n) (n－ 2n )则 an＝ f(0)＋ f ＋…＋ f ＋ f(1)＝ n＋1.(1n) (n－ 1n )11．在等差数列{ an}中，已知 a3＋ a8＝10，则 3a5＋ a7＝________.答案 20解析 设公差为 d，则 a3＋ a8＝2 a1＋9 d＝10，3a5＋ a7＝3( a1＋4 d)＋( a1＋6 d)＝4 a1＋18 d＝2×10＝20.12．若等比数列{ an}的各项均为正数，且 a10a11＋ a9a12＝2e 5，则 ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝________.答案 50解析 ∵数列{ an}为等比数列，且 a10a11＋ a9a12＝2e 5，∴ a10a11＋ a9a12＝2 a10a11＝2e 5，∴ a10a11＝e 5，∴ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝ln( a1a2…a20)7＝ln( a10a11)10＝ln(e 5)10＝ln e 50＝50.13．数列{ an}的前 n 项和为 Sn，已知 a1＝2， Sn＋1 ＋(－1) nSn＝2 n，则 S100＝____________.答案 198解析 当 n 为偶数时， Sn＋1 ＋ Sn＝2 n， Sn＋2 － Sn＋1 ＝2 n＋2，所以 Sn＋2 ＋ Sn＝4 n＋2，故Sn＋4 ＋ Sn＋2 ＝4( n＋2)＋2，所以 Sn＋4 － Sn＝8，由 a1＝2 知， S1＝2，又 S2－ S1＝2，所以S2＝4，因为 S4＋ S2＝4×2＋2＝10，所以 S4＝6，所以S8－ S4＝8， S12－ S8＝8，…， S100－ S96＝8，所以 S100＝24×8＋ S4＝192＋6＝198.14．若数列{ an}满足 a2－ a1a3－ a2a4－ a3…an＋1 － an…，则称数列{ an}为“差递减”数列．若数列{ an}是“差递减”数列，且其通项 an与其前 n 项和 Sn(n∈N *)满足2Sn＝3 an＋2 λ －1 ，则实数 λ 的取值范围是________．(n∈ N*)答案 (12， ＋ ∞ )解析 当 n＝1 时，2 a1＝3 a1＋2 λ －1， a1＝1－2 λ ，当 n1 时，2 Sn－1 ＝3 an－1 ＋2 λ －1，所以 2an＝3 an－3 an－1 ， an＝3 an－1 ，所以an＝ 3n－1 ， an－ an－1 ＝ 3n－1 － 3n－ 2＝ 3n－2 ，依题意(1－ 2λ ) (1－ 2λ ) (1－ 2λ ) (2－ 4λ )3n－2 是一个递减数列，所以 2－4 λ .(2－ 4λ )1215． Sn为等差数列{ an}的前 n 项和，且 a1＝1， S7＝28.记 bn＝[lg an]，其中[ x]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.(1)求 b1， b11， b101；(2)求数列{ bn}的前 1 000 项和．解 (1)设{ an}的公差为 d，据已知有 7＋21 d＝28，解得 d＝1.所以{ an}的通项公式为 an＝ n(n∈N *)．b1＝[lg 1]＝0， b11＝[lg 11]＝1， b101＝[lg 101]＝2.(2)因为 bn＝Error!所以数列{ bn}的前 1 000 项和为 1×90＋2×900＋3×1＝1 893.16．各项均为正数的数列{ an}的前 n 项和为 Sn，且满足： Sn＝ a ＋ an＋ (n∈N *)．142n 12 14(1)求 an；(2)设数列 的前 n 项和为 Tn，证明：对一切正整数 n，都有 Tn .{1a2n} 548(1)解 由 Sn＝ a ＋ an＋ ，①142n 12 14可知当 n≥2 时， Sn－1 ＝ a ＋ an－1 ＋ ，②14 2n－ 1 12 14由①－②化简得( an＋ an－1 )(an－ an－1 －2)＝0，又数列{ an}各项为正数，∴当 n≥2 时， an－ an－1 ＝2，故数列{ an}成等差数列，公差为 2，又 a1＝ S1＝ a ＋ a1＋ ，1421 12 14解得 a1＝1，∴ an＝2 n－1( n∈N *)．(2)证明 Tn＝ ＋ ＋ ＋…＋ ＋1a21 1a2 1a23 1a2n－ 1 1a2n＝ ＋ ＋ ＋…＋ ＋ .112 132 152 12n－ 32 12n－ 12∵ ＝ 12n－ 12 14n2－ 4n＋ 1 14n2－ 4n＝ ＝ ，14nn－ 1 14( 1n－ 1－ 1n)∴ Tn＝ ＋ ＋ ＋…＋ ＋112 132 152 12n－ 32 12n－ 121＋ ＋ ＋…＋ ＋14(11－ 12) 14(12－ 13) 14( 1n－ 2－ 1n－ 1) 14( 1n－ 1－ 1n)＝1＋ ＝1＋ － .14(11－ 12＋ 12－ 13＋ …＋ 1n－ 2－ 1n－ 1＋ 1n－ 1－ 1n) 14 14n54