1、微分方程建模 (动态模型),在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系较为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较为容易时，可用建立微分方程模型的方法来研究该问题，,本节将通过一些最简单的实例来说明微分方程建模的一般方法。在连续变量问题的研究中，微分方程是十分常用的数学工具之一。,动态模型,描述对象特征随时间(空间)的演变过程.,分析对象特征的变化规律.,预报对象特征的未来性态.,研究控制对象特征的手段.,根据函数及其变化率之间的关系确定函数.,微分方程建模,根据建模目的和问题分析作出简化假设.,按照内在规律或用类比法建立微分方程.,微分方程建模(动态模型),随时间(空间)变化的数量
2、关系 微分方程: 含有导数(微分)的方程 例: 人口模型 Malthus模型,解,微分方程研究,定量,定性,解有初等函数表达式,数值解: 计算机,稳定性,模型一：简单模型,例1：室温：20 C物体：100 C20 min60 C 问： ? min30 C,关键,温度变化规律,冷却定律：物体的冷却速度与物体和环境的温差成正比,模型,物体温度,冷却速度,冷却定律,初值,求解,于是,例2：,链条无摩擦下滑,问：需多少时间链条才能全部划过桌子,关键,位移变化规律,运动方程：,牛顿第二定律,模型,建立坐标系,O,令链条终点位置：,t 时刻,受力,重力,线密度,质量加速度,则,模型,解,答案:当x=5时，
3、,为了保持自然资料的合理开发与利用，人类必须保持并控制生态平衡，甚至必须控制人类自身的增长。本节将建立几个简单的单种群增长模型，以简略分析一下这方面的问题。,种群的数量本应取离散值，但由于种群数量一般较大，为建立微分方程模型，可将种群数量看作连续变量,由此引起的误差将是十分微小的。,3.2 Malthus模型与Logistic模型,模型1 马尔萨斯（Malthus）模型,马尔萨斯在分析人口出生与死亡情况的资料后发现，人口净增长率r基本上是一常数，（r=b-d,b为出生率，d为死亡率），既：,马尔萨斯模型的一个显著特点：种群数量翻一番所需的时间是固定的。,Malthus模型实际上只有在群体总数不
4、太大时才合理，到总数增大时，生物群体的各成员之间由于有限的生存空间，有限的自然资源及食物等原因，就可能发生生存竞争等现象。,所以Malthus模型假设的人口净增长率不可能始终保持常数，它应当与人口数量有关。,模型2 Logistic模型,人口净增长率应当与人口数量有关，即： r=r(N),r(N)是未知函数，但根据实际背景，它无法用拟合方法来求 。,为了得出一个有实际意义的模型，我们不妨采用一下工程师原则。工程师们在建立实际问题的数学模型时，总是采用尽可能简单的方法。,r(N)最简单的形式是常数，此时得到的就是马尔萨斯模型。对马尔萨斯模型的最简单的改进就是引进一次项（竞争项）,(3.9)式还有
5、另一解释，由于空间和资源都是有限的，不可能供养无限增长的种群个体，当种群数量过多时，由于人均资源占有率的下降及环境恶化、疾病增多等原因，出生率将降低而死亡率却会提高。设环境能供养的种群数量的上界为K（近似地将K看成常数），N表示当前的种群数量，K-N恰为环境还能供养的种群数量，（3.9）指出，种群增长率与两者的乘积成正比，正好符合统计规律，得到了实验结果的支持，这就是（3.9）也被称为统计筹算律的原因。,图3-5,对（3.9）分离变量：,两边积分并整理得：,令N(0)=N0，求得：,N(t)的图形请看图3.5,大量实验资料表明用Logistic模型来描述种群的增长，效果还是相当不错的。例如，高
6、斯把5只草履虫放进一个盛有0.5cm3营养液的小试管，他发现，开始时草履虫以每天230.9%的速率增长，此后增长速度不断减慢，到第五天达到最大量375个，实验数据与r=2.309，a=0.006157，N(0)=5的Logistic曲线：几乎完全吻合，见图3.6。,图3-6,Malthus模型和Logistic模型的总结,Malthus模型和Logistic模型均为对微分方程（3.7）所作的模拟近似方程。前一模型假设了种群增长率r为一常数，（r被称为该种群的内禀增长率）。后一模型则假设环境只能供养一定数量的种群，从而引入了一个竞争项。,用模拟近似方法建立微分方程来研究实际问题时必须对求得的解进
7、行检验，看其是否与实际情况相符或基本相符。相符性越好则模拟得越好，否则就得找出不相符的主要原因，对模型进行修改。,Malthus模型与Logistic模型虽然都是为了研究种群数量的增长情况而建立的，但它们也可用来研究其他实际问题，只要这些实际问题的数学模型有相同的微分方程即可。,例6 新产品的推广,经济学家和社会学家一直很关心新产品的推销速度问题。怎样建立一个数学模型来描述它，并由此析出一些有用的结果以指导生产呢？以下是第二次世界大战后日本家电业界建立的电饭包销售模型。,设需求量有一个上界，并记此上界为K，记t时刻已销售出的电饭包数量为x(t)，则尚未使用的人数大致为Kx(t)，于是由统计筹算
8、律：,记比例系数为k，则x(t)满足：,此方程即Logistic模型，解为：,对x(t)求一阶、两阶导数：,x(t)0，即x(t)单调增加。,令x(t0)=0，有,当tt0时，x(t)单调减小。,在销出量小于最大需求量的一半时，销售速度是不断增大的，销出量达到最大需求量的一半时，该产品最为畅销，接着销售速度将开始下降。,所以初期应采取小批量生产并加以广告宣传；从有20%用户到有80%用户这段时期，应该大批量生产；后期则应适时转产，这样做可以取得较高的经济效果。,模型二：传染病模型,问题提出 方法: 机理分析 若：假设 病人 x(t) ,病人日接触率 感染 则：,传染病模型,x(t) = x0e
9、r t,显然：,关键：模型假设,基本假设: 封闭地区中 总人数 N ,时间 t (天) 模型(一)(SI) 假设 人群: 易感染者(健康人): s(t) 比例已感染者(病人): i(t) 病人日接触率 感染,建立模型,病人数: 每病人每天使健康者变为病人数: 每天共有 个被新感染者 即: 病人数 的增加率为:,传染病模型,N i(t),s(t),s(t)N i(t),N i(t),而 s ,t:,s + t =1,模型,Logistic模型,总人数 N、时间 t 比例：健康s(t)、病人i(t) 病人日接触率 ,模型分析, 的作用,传染病模型,此时,t ,i 1,模型改进,tm 1/ ,0,i
10、,1/2,tm,t,i0,0,1/2,i,i(t) t,i=1/2 时， 达到最大,模型(二)(SIS),假设: (3)病人每天被治愈的占病人总数的比例 (易感染者) (日治愈率)于是有 1/ 为平均传染期 于是模型变为N(di/dt) = Nsi - Ni即:,传染病模型,解:,模型分析,令 = / = (1/) 接触数: 一个传染期间内每病人有效接触的平均人数,传染病模型,1,i,i0,0,i0,t,1,i,i0,0,t,阈值,1 1,模型(三)(SIR),假设: (3)免疫移出者, 比例 r(t) 日接触数 ,日治愈率 传染期接触数 = / 建立模型s(t)+i(t)+r(t)=1移出率
11、模型,传染病模型,模型分析,相 s ,t 原相 t 定义域 (s,i) DD = (s,t)|s0, i0, s+t1 于是消去 dt:,传染病模型,解为,相轨线 t,t(s,i),i,s,0,D,1,1,P1,P2,s0 ,i0 i()=0,证: ds/dt 0, s(t) 0 s() dr/dt 0, r(t) 1 r() 若 i() = 0t1 有 dr/dt /2 r() = 矛盾,传染病模型,i,s,0,D,1,1,P1,P2,未被感染的健康 s()=s,的解: 相轨线与 s 轴交点横坐标即: i()=0 时 s s0 1/, P1(s0,i0) s0 1/, P2(s0,i0)阈值
12、 1/ 提高: 卫生水平 模型验证: 印度孟买 模型应用: 减少 s(t) 减少 = /,传染病模型,i,s,0,D,1,1,P1,P2,模型小结,符号 总人数 N ,时间 t ,健康人s(t),感染者i(t), s+i=1 病人日接触率 ,日治愈率 ,免疫移出 r(t), s+i+r =1 模型(一)(SI): 病人, 健康人,传染病模型,模型(二)(SIS): 病人, 健康人, 治愈者,模型(三)(SIR): 病人, 健康人,移出者,模型解,传染病模型,模型(一) SI,模型(二) SIS,模型(三) SIR: 相点分析法(s,i),重要参数 健康人s(t),感染者i(t), s+i=1 病人日接触率 ,日治愈率 ,免疫移出 r(t), s+i+r =1 1/ 为平均传染期 传染期接触数 = /,
