1、微分方程模型,1、微分方程基础知识 2、微分方程建模方法及简单模型 3、人口模型 4、微分方程定性与稳定性理论,1、基本概念,微分方程 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程,微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称为微分方程的阶,微分方程的解 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解,1、微分方程基础知识,(1) 可分离变量的微分方程,解法,分离变量法,2、一阶微分方程的解法,(2) 齐次方程,解法,作变量代换,齐次方程,（其中h和k是待定的常数）,否则为非齐次方程,(3) 可化为齐次的方程,解法,化为齐次方程,(4) 一阶线性微分方程,上方程称为齐次的,
2、上方程称为非齐次的.,齐次方程的通解为,（使用分离变量法）,解法,非齐次微分方程的通解为,（常数变易法）,(5) 伯努利(Bernoulli)方程,方程为线性微分方程.,方程为非线性微分方程.,解法 需经过变量代换化为线性微分方程,其中,形如,(6) 全微分方程,注意：,解法,应用曲线积分与路径无关., 用直接凑全微分的方法.,通解为,(7) 可化为全微分方程,形如,公式法:,观察法:,熟记常见函数的全微分表达式，通过观察直接找出积分因子,常见的全微分表达式,可选用积分因子,3、可降阶的高阶微分方程的解法,解法,特点,型,接连积分n次，得通解,型,解法,代入原方程, 得,特点,型,解法,代入原
3、方程, 得,、线性微分方程解的结构,（1） 二阶齐次方程解的结构:,（2）二阶非齐次线性方程的解的结构:,、二阶常系数齐次线性方程解法,n阶常系数线性微分方程,二阶常系数齐次线性方程,二阶常系数非齐次线性方程,解法,由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.,特征方程为,特征方程为,推广： 阶常系数齐次线性方程解法,、二阶常系数非齐次线性微分方程解法,二阶常系数非齐次线性方程,解法 待定系数法.,微分方程模型简介,涉及“改变”、“变化”、“增加”、“减少”、“衰变”、“边际”、“速度”、 “运动”、“追赶”、“逃跑” 等等词语的确定性连续问题。,b、微分方程建模的基本手
4、段,a、微分方程建模的对象,比如：人口问题，商业预测，,（1）根据规律列方程,利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。,（2）微元分析法,利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律。,（3）模拟近似法,在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。,1、寻找改变量 一般说来微分方程问题都遵
5、循这样的文字等式变化率（微商）=单位增加量-单位减少量,c、微分方程建模的基本规则,2、对问题中的特征进行数学刻画,3、用微元法建立微分方程； 4、确定微分方程的定解条件（初边值条件）； 5、求解或讨论方程（数值解或定性理论）； 6、模型和结果的讨论与分析。,饿狼追兔问题,现有一只兔子，一只狼，兔子位于狼的正西100米处。假设兔子与狼同时发现对方并一起起跑，兔子往正北60米处的巢穴跑，而狼在追兔子，已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度是兔子的两倍。问题是兔子能否安全回到巢穴？,三、建模范例,首先建立坐标系，兔子在O处，狼在A处。,由于狼要盯着兔子追， 所以狼行走的是一条 曲线，且在同一时刻， 曲线上
6、狼的位置与兔 子的位置的连线为曲 线上该点处的切线,解 设狼的行走轨迹是y=f(x)， 则有 ， 又因狼的速度是兔子的两倍，所以在相同时间内狼走的距离为兔子走的距离的两倍。假设在某一时刻，兔子跑到(0,h)处，而狼在(x,y)处，则有,整理得到下述模型,这属于可降阶的二阶微分方程，解得狼的行走轨迹,因 ，所以狼追不上兔子。,一个较热的物体置于室温为180c的房间内，该物体最初的温度是600c，3分钟以后降到500c .想知道它的温度降到300c 需要多少时间？10分钟以后它的温度是多少？,牛顿冷却（加热）定律：将温度为T的物体放入处于常温 m 的介质中时，T的变化速率正比于T与周围介质的温度差
7、。,求物体的温度-作案时间的确定,分析：假设房间足够大，放入温度较低或较高的物体时，室内温度基本不受影响，即室温分布均衡,保持为m，采用牛顿冷却定律是一个相当好的近似。,建立模型：设物体在冷却过程中的温度为T(t)，t0，,“T的变化速率正比于T与周围介质的温度差”,翻译为,建立微分方程,其中参数k 0，m=18. 求得一般解为,ln(Tm) = k t+c,代入条件，求得c=42 ，k = , 最后得,结果 ：T(10)=18+42 =25.870，,该物体温度降至300c 需要8.17分钟.,T(t)=18+42 , t 0.,寻找嫌疑犯,受害者的尸体于晚上7:30被发现，法医于晚上8:2
8、0赶到凶案现场，测得尸体温度为32.6；一小时后，当尸体即将被抬走时，测得尸体温度为31.4，室温在几个小时内始终保持21.1。此案最大的嫌疑犯张某声称自己是无罪的，并有证人说：“下午张某一直在办公室上班，5:00时打完电话后就离开了办公室”。从张某到受害者家（凶案现场）步行需5分钟，现在的问题是，张某不在凶案现场的证言能否被采信，使他排除在嫌疑犯之外。,解：首先应确定凶案的发生时间，若死亡时间在下午5点5分之前，则张某就不是嫌疑犯，否则不能将张某排除。 设T(t)表示t时刻尸体的温度，并记晚上8:20为t=0，则T(0)=32.6，T(1)=31.4。假设受害者死亡时体温是正常的，即T=37
9、是要确定受害者死亡的时间，也就是求T(t)=37的时刻，进而确定张某是否是嫌疑犯。,人体体温受大脑神经中枢调节。人死亡后体温调节的功能消失，尸体的温度受外界环境温度的影响。假设尸体温度的变化率服从牛顿冷却定律，即尸体温度的变化律与他同周围的温度差成正比。即：,分离变量积分得：,由T(0)=21.1+a=32.6 得a=11.5；由T(1)=21.1+ae-k=31.4 得e-k115/103，即k=0.11，所以T(t)=21.1+11.5e-0.11t,当T=37时，有t=-2.95 小时-2小时57分，8小时20分2小时57分5小时23分。即死亡时间大约在下午5:23，因此张某不能被排除在
10、嫌疑犯之外。,一场笔墨官司（放射性废物的处理问题）,美国原子能委员会（现为核管理委员会）处理浓缩放射性废物，是将废物放入密封性能很好的圆桶中，然后扔到水深300英尺的海里.他们这种做法安全吗？,分析：可从各个角度去分析造成危险的因素，这里仅考虑圆桶泄露的可能.,联想：安全 、危险,问题的关键,*圆桶至多能承受多大的冲撞速度？(40英尺/秒);*圆桶和海底碰撞时的速度有多大？,新问题：求这一种桶沉入300英尺的海底时的末速度.（原问题是什么?）,可利用的数据条件：,圆桶的总重量 W=527.327（磅）,圆桶受到的浮力 B =470.327（磅）,圆桶下沉时受到的海水阻力 D=Cv，C=0.08
11、,可利用牛顿第二定律，建立圆桶下沉位移满足的微分方程：,方程的解为,计算碰撞速度，需确定圆桶和海底的碰撞时间t0 ?,分析：考虑圆桶的极限速度,713.86（英尺/秒）40（英尺/秒）,原问题得到解决了吗?,极限速度与圆桶的承受速度相差巨大！,结论：解决问题的方向是正确的.,解决思路：避开求t0的难点,令 v(t)=v(y(t), 其中 y=y(t) 是圆桶下沉深度.,代入（1）得,两边积分得函数方程：,若能求出函数v=v(y),就可求出碰撞速度v(300).(试一试),* 用数值方法求出v(300)的近似值为,v(300)45.41(英尺/秒)40(英尺/秒),* 分析 v=v(y) 是一个
12、单调上升函数，而v 增大,y 也增大,可求出函数 y = y(v),令 v=40(英尺/秒)，g=32.2(英尺/秒2),算出,y= 238.4 (英尺)300(英尺),问题的实际解答：,美国原子能委员会处理放射性废物的做法是极其危险的，必须改变.,这一模型科学的论证了美国原子能委员会过去处理核废料的方法是错误的。现在美国原子能委员会条例明确禁止把低浓度的放射性废物抛到海里，改为在废弃的煤矿中修建放置核废料的深井。,我国政府决定在甘肃、广西等地修建深井放置核废料，防止放射性污染。,人口模型,问题的提出 模型的建立 分析和求解 结论和讨论,1 问题的提出,人口问题是当今世界上最令人关注的问题之一
13、，一些发展中国家的人口出生率过高，越来越威胁着人类的正常生活，有些发达国家的自然增长率趋于零，甚至变为负数，造成劳动力紧缺，也是不容忽视的问题。另外，在科学技术和生产力飞速发展的推动下，世界人口以空前的规模增长，统计数据显示：,可以看出，人口每增长十亿的时间，由一百年缩短为十二三年。我们赖以生存的地球，已经带着它的60亿子民踏入了21世纪。 长期以来，人类的繁衍一直在自发地进行着。只是由于人口数量的迅速膨胀和环境质量的急剧恶化，人们才猛然醒悟，开始研究人类和自然的关系，人口数量的变化规律，以及如何进行人口控制等问题。,我国是世界第一人口大国，地球上每九个人中就有二个中国人，在20世纪的一段时间
14、内我国人口的增长速度过快，如下表：,有效地控制人口的增长，不仅是使我国全面进入小康社会、到21世纪中叶建成富强民主文明的社会主义国家的需要，而且对于全人类社会的美好理想来说，也是我们义不容辞的责任。,人口在不断的增长， 其增长有无规律可循？目标：预测人口发展趋势；控制人口增长。,联合国从1988年起，把7月11日定为世界人口日。,三 建立模型,1 简单模型,要预报未来若干年的人口数，两个重要因素： 当前的人口数 ，今后这些年的增长率（出生率-死亡率）,一年后，人数增加到,k 年后，人口数为,若想知道任何时刻的人口数，怎么办？,对时间连续化！,两年后，,2 Malthus 模型,马尔萨斯( Ma
15、lthus 1766-1834)是英国的人口学家。他根据 百余年的人口统计资料，于1798年提出著名的人口指数增长模型。 基本假设： 人口净相对增长率为常数。也即单位时间内人口增长量与当时人口总数成正比,Malthus 模型,求解,o,t,N,N0,分析,数据表明，在17001961年 期间，世界人口吻合较好。 在此期间，人口约35年增长 一倍。,按模型计算，取,问题：利用此模型能预测未来吗？,1）1960年世界人口总数为30亿，按Malthus 模型计算，到2692年人口总数将增至,地表面积为,平方英尺，其中只有28%的陆地,表明给每人1 平方英尺（约为9.3 平方分米）的站立面积， 那么，
16、能容纳总人口必须把人堆放3 层以上。,2）资源能否提供保证如此多人口的需要？,以上两点说明， Malthus 模型只适用于人口相对少时的情 形，当人口增多时与实际不吻合。其原因，随着人口的增 加，自然资源、环境等因素对人口的继续增长的阻滞作用 愈来愈明显。,如果当人口较少时（相对资源而言）人口相对增长率可以视为常数，那么当人口增加到一定数量后，增长率就会随人口的继续增加而减少。为了使人口预报特别是长期预报更好地符合实际情况，必须修改Malthus 模型中的人口相对增长率为常数的假设。,3 Logistic模型（阻滞增长模型）,假设人口相对增长率随人口的增加而线性减少。,r 表示人口的自然增长率
17、。,令Nm为人口的最大容纳量，那么,即,阻滞因子,Logisitic模型,o,N,t,N,o,N0,Nm,Nm/2,tm,人口增长最快点,结论：,在人 口总数达到极限值Nm的一半以前是加速生长期， 过了这一点以后，生长率逐渐减小，并且趋于零。,-Logisitic模型,调整 ，可使阻滞因子变大或缩小。,更复杂的人口模型,Malthus 模型和 Logistic模型都是确定性模型，只考虑人口总数的连续时间模型。在研究过程中还发展了随机性模型，考虑人口年龄分布的模型等。,Usher模型,人口模型的推广应用,放射性元素的衰变规律（检验名画的真伪，考古年代的判断） 经济领域（通货膨胀，利率，新产品的销
18、售，广告宣传等） 动植物生长规律（96年的全国大学生数学建模竞赛题， 种群问题） 浓度的扩散（人体内药物的吸收，传染病的传播与流行等）,思考,请你预测中国14亿、15亿人口日。,你怎么证明中国使世界60亿人口日推迟了4年？,第四节 稳定性模型,在研究许多实际问题时，人们最为关心的也许并非系统与时间有关的变化状态，而是系统最终的发展趋势。例如，在研究某频危种群时，虽然我们也想了解它当前或今后的数量，但我们更为关心的却是它最终是否会绝灭，用什么办法可以拯救这一种群，使之免于绝种等等问题。要解决这类问题，需要用到微分方程或微分方程组的稳定性理论。,一、微分方程的稳定性理论,1、一阶微分方程的平衡点及
19、其稳定性,称为一阶非线性（自治）方程,F(x)=0的根x0 称为微分方程的平衡点，在平衡点有：,设x(t)是方程的解，若从x0 某邻域的任一初值出发，都有,称x0是方程(1)的稳定平衡点,称为平凡解。,一、微分方程的稳定性理论,不求x(t), 判断x0稳定性的方法直接法,例如对于产量模型,(1)的近似线性方程,E捕捞强度,r固有增长率,一、微分方程的稳定性理论,则,例如对于产量模型，已求得稳定点为：,稳定性判断方法：,所以，有：,一、微分方程的稳定性理论,x0 稳定, 可得到稳定产量,x1 稳定, 渔场干枯,2、线性常系数微分方程组的平衡点及稳定性,稳定性判断方法：,记系数矩阵,特征方程,特征
20、根为：,此微分方程组一般解形式为,1,2为负数或有负实部,p 0 或 q 0,平衡点为：,稳定性判断：,系数矩阵,平衡点(x0, y0)稳定的条件,例如军备竞赛模型,3、二阶微分方程的平衡点及其稳定性,判断P0 (x10,x20) 稳定性的方法直接法,(1)的近似线性方程,渔业资源是一种再生资源，要适度开发，应当在持续稳产的前提下追求产量或最优经济效益，下面要讨论在捕捞情况下渔场鱼量遵从的方程，分析鱼量稳定的条件，并且在稳定的前提下讨论如何控制捕捞使持续产量或经济效益达到最大。,问题背景,模型对于林业等其它再生资源的合理开发与利用同样适用。,问题分析,如果使捕捞量等于自然增长量，渔场鱼量将保持
21、不变，则捕捞量稳定。,假设,其中r为固有增长率, N为最大鱼量,2）单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比,h(x)=Ex, E捕捞强度,建模,捕捞情况下渔场鱼量满足,下面不需要求解x(t), 只需知道x(t)稳定的条件,不求x(t), 判断x0稳定性的方法直接法,(1)的近似线性方程,所以，有：,x0 稳定, 可得到稳定产量,x1 稳定, 渔场干枯,最大产量模型,在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使产量最大,图解法,产量最大,即：控制渔场鱼量为最大鱼量的一半,最大效益模型,假设,鱼销售价格p,单位捕捞强度费用c,单位时间利润,在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使效益最大.,求E使R(E)最大,收入
22、T = ph(x) = pEx,支出 S = cE,渔场鱼量,结论,在最大经济效益原则下，渔场的捕捞强度E 和长期产量 h(x) 都应该比最大产量模型稍低。同时，渔场鱼的保有总量略有增加。 也就是说，有的时候，产量最大并不能保证收益最大，这在企业的经营当中是非常常见的现象。,军备竞赛模型,描述双方(国家或国家集团)军备竞赛过程,解释(预测)双方军备竞赛的结局,假设,1）由于相互不信任，一方军备越大，另一方军备增加越快；,2）由于经济实力限制，一方军备越大，对自己军备增长的制约越大；,3）由于相互敌视或领土争端，每一方都存在增加军备的潜力。,目的,进一步假设,1）2）的作用为线性；3）的作用为常
23、数,建模,x(t)甲方军备数量， y(t)乙方军备数量, 本方经济实力的制约；k, l 对方军备数量的刺激； g, h 本方军备竞赛的潜力。,军备竞赛的结局,平衡点为：,稳定性判断：,系数矩阵,平衡点(x0, y0)稳定的条件,双方军备稳定(时间充分长后趋向有限值)的条件,模型的定性解释, 本方经济实力的制约；k, l 对方军备数量的刺激； g, h 本方军备竞赛的潜力。,双方经济制约大于双方军备刺激时，军备竞赛 才会稳定，否则军备将无限扩张。,三、军备竞赛模型,2) 若g=h=0, 则 x0=y0=0, 在 kl 下 x(t), y(t)0, 即友好邻国通过裁军可达到永久和平。,平衡点,3）若 g,h 不为零，即便双方一时和解，使某时x(t), y(t)很小，但因 ，也会重整军备。,4）即使某时一方(由于战败或协议)军备大减, 如 x(t)=0， 也会因 使该方重整军备，,即存在互不信任( ) 或固有争端( ) 的单方面裁军不会持久。,
