1、数学建模 微分方程模型,关晓飞 同济大学数学科学学院,一、什么是微分方程？,最最简单的例子,引例 一曲线通过点（1，2），且在该曲线任一点M( x ,y )处的切线的斜率为2x，求该曲线的方程。,解,因此，所求曲线的方程为,若设曲线方程为 ，,又因曲线满足条件,根据导数的几何意义可知未知函数满足关系式：,对（1）式两端积分得：,代入（3）得C1,回答什么是微分方程：,建立关于未知变量、 未知变量的导数以及 自变量的方程,二、微分方程的解法,积分方法，分离变量法,可分离变量的微分方程,可分离变量的微分方程.,解法,为微分方程的解.,分离变量法,例1 求解微分方程,解,分离变量,两端积分,典型例题
2、,过定点的积分曲线;,一阶:,二阶:,过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.,初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.,例2. 解初值问题,解: 分离变量得,两边积分得,即,由初始条件得 C = 1,( C 为任意常数 ),故所求特解为,练 习 题,练习题答案,三、建立微分方程数学模型,1、简单的数学模型,2、复杂的数学模型,1、简单的数学模型,利用微分方程求实际问题中未知函数的一般步骤是：,(1) 分析问题，设所求未知函数，建立微分方程，确定初始条件；,(2) 求出微分方程的通解；,(3) 根据初始条件确定通解中的任意常数，求出微分方程相应的特解,实际问题需寻求某个变量y 随另一
3、变量 t 的 变化规律 ：y=y(t).,直接求很困难,建立关于未知变量、 未知变量的导数以及 自变量的方程,建立变量能满足 的微分方程,？,哪一类问题,在工程实际问题中,“改变”、“变化”、“增加”、“减少”等关 键词提示我们注意什么量在变化.,关键词“速率”, “增长” ,“衰变” ,“边际的” ,常涉及到导数.,建立方法 常用微分方程,运用已知物理定律,利用平衡与增长式,运用微元法,应用分析法,机理分析法,建立微分方程模型时,应用已知物理定律， 可事半功倍,一、运用已知物理定律,例1 铀的衰变规律问题：放射性元素由于不断地有原子放射出微粒子变成其他元素，铀的含量不断的减少，这种现象称为衰
4、变，由原子物理学知道，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比，已知t0时刻铀的含量为 ，求在衰变过程中铀的含量M（t）随时间t的变化规律。,铀的衰变速度就是 对时间t的导数 ，,解,因此，,由于衰变速度与其含量成正比，可知未知函数满足关系式：,对上式两端积分得：,是衰变系数,且初始条件,分离变量得,代入初始条件得,所以有，,这就是铀的衰变规律。,例2 一个较热的物体置于室温为180c的 房间内，该物体最初的温度是600c，3分钟以后 降到500c .想知道它的温度降到300c 需要多少时 间？10分钟以后它的温度是多少？,一、运用已知物理定律,牛顿冷却（加热）定律：将温度为T的物体 放入
5、处于常温 m 的介质中时，T的变化速率 正比于T与周围介质的温度差.,分析：假设房间足够大，放入温度较低或较 高的物体时，室内温度基本不受影响，即室温 分布均衡,保持为m，采用牛顿冷却定律是一个 相当好的近似.,建立模型：设物体在冷却过程中的温度为T(t)，t0，,“T的变化速率正比于T与周围介质的温度差”,翻译为,数学语言,建立微分方程,其中参数k 0，m=18. 求得一般解为,ln(Tm)=k t+c,代入条件: 求得c=42 ， , 最后得,T(t)=18+42 , t 0.,结果 ：T(10)=18+42 =25.870，,该物体温度降至300c 需要8.17分钟.,另一个例子：已知物
6、体在空气中冷却的速率与该物体及空气两者温度的差成正比设有一瓶热水，水温原来是100，空气的温度是20，经过20小时以后，瓶内水温降到60，求瓶内水温的变化规律,例3：已知物体在空气中冷却的速率与该物体及空气两者温度的差成正比设有一瓶热水，水温原来是100，空气的温度是20，经过20小时以后，瓶内水温降到60，求瓶内水温的变化规律,解,可以认为在水的冷却过程中，空气的温度是不变的,由题意，得,其中 k 是比例系数( k 0 ) ,由于是单调减少的，即,设瓶内水的温度 与时间之间的函数关系为 ，,则水的冷却速率为 ,(1),所以(1)式右边前面应加“负号”初始条件为 ,对(1)式分离变量，得,于是
7、方程(1)的特解为,两边积分,得,即,把初始条件 代入上式，求得 C = 80 ，,其中比例系数 k 可用问题所给的另一条件 来确定，,即,解得,因此瓶内水温 与时间 的函数关系为,二. 利用平衡与增长式,许多研究对象在数量上常常表现出某种不变 的特性，如封闭区域内的能量、货币量等.,利用变量间的平衡与增长特性,可分析和建立有关变量间的相互关系.,解,例1 某车间体积为12000立方米, 开始时空气中含有 的 , 为了降低车间内空气中 的含量, 用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机通入含 的 的新鲜空气, 同时以同样的风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机开动6分钟后, 车间内 的百分比降低到
8、多少?,设鼓风机开动后 时刻 的含量为,在 内,的通入量,的排出量,6分钟后, 车间内 的百分比降低到,二. 利用平衡与增长式,例2 简单人口增长模型,对某地区时刻 t 的人口总数N(t)，除考虑个 体的出生、死亡，再进一步考虑迁入与迁出 的影响.,在很短的时间段t 内，关于N(t)变化的一个 最简单的模型是：,t时间内的人口增长量= t内出生人口数t内死亡人口数,+ t内迁入人口数t内迁出人口数,t时间内的净改变量 =t时间内输入量t时间内输出量,般化 更一,基本模型,三. 微元法,基本思想： 通过分析研究对象的有关变量在一个很短时间内的变化情况.,例 一个高为2米的球体容器里盛了一半 的水
9、，水从它的底部小孔流出，小孔的横截面 积为1平方厘米. 试求放空容器所需要的时间.,对孔口的流速做两条假设 ：,1t 时刻的流速v 依赖于 此刻容器内水的高度h(t).,2 整个放水过程无能 量损失。,分析：,放空容器,？,容器内水的体积为零,容器内水的高度为零,模型建立：由水力学知：水从孔口流出的 流量Q为通过“孔口横截面的水的体积V对时 间t 的变化率”，即,S孔口横截面积（单位：平方厘米）,h(t) 水面高度（单位：厘米）,t时间（单位：秒）,当S=1平方厘米，有,h(t),h+h,r1,r2,水位降低 体积变化,在t，t+t 内，水面高度 h(t) 降至h+h (h0), 容器中水的体
10、积的改变量为,令t 0, 得,dV=r2 dh， （2）,比较(1)、(2)两式得微分方程如下：,积分后整理得,0h100,令 h=0，求得完全排空需要约2小时58分.,另一个例子,有高为1米的半球形容器, 水从它的底部小孔流出, 小孔横截面积为1平方厘米(如图). 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律.,解,由力学知识得,水从孔口流出的流量为,设在微小的时间间隔,水面的高度由h降至 ,比较(1)和(2)得:,即为未知函数的微分方程.,可分离变量,所求规律为,四.分析法,基本思想：根据对现实对象特性的认识， 分析其因果关系,
11、 找出反映内部机理的规律.,例(独家广告模型)广告是调整商品销 售的强有力的手段, 广告与销售量之间有什 么内在联系？如何评价不同时期的广告效果？,分析 广告的效果, 可做如下的条件假设：,*1. 商品的销售速度会因广告而增大, 当商品 在市场上趋于饱和时，销售速度将趋于一个极 限值；,*2. 商品销售率（销售加速度）随商品销售 速度的增高而降低；,*3. 选择如下广告策略，t时刻的广告费用为：,建模 记S(t) t 时刻商品的销售速度；,M 销售饱和水平，即销售速度的上限；,（0） 衰减因子，广告作用随时间的 推移而自然衰减的速度.,直接建立微分方程,称 p 为响应系数，表征A(t) 对 S
12、(t) 的影响力.,模型分析：是否与前三条假设相符？,改写模型,假设1*,市场“余额”,假设2*,销售速度因广告作用增大, 同时 又受市场余额的限制.,2、复杂的数学模型,背景,世界人口增长概况,中国人口增长概况,研究人口变化规律,控制人口过快增长,人口增长模型,常用的计算公式,今年人口 x0, 年增长率 r,k年后人口,指数增长模型马尔萨斯提出 (1798),x(t) 时刻t的人口,基本假设 : 人口(相对)增长率 r 是常数，即单位 时间内人口的增长量与人口成正比，且比例系数为r,随着时间增加，人口按指数规律无限增长,根据假设，在 到 时间段内，人口的增长量为,模型检验,据估计1961年地
13、球上人口总数为，在以后7年中， 人口总数以每年 的数度增长，这样,也就是说到2670年，地球上将有36000亿人口，非常荒谬。,这个公式非常准确地反映了17001961年世界人口的总数。,但是：,指数增长模型的应用及局限性,阻滞增长模型 (Logistic模型),人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：,资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用,且阻滞作用随人口数量增加而变大,假定：,r固有增长率(x很小时),xm人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）,阻滞增长模型 (Logistic模型),x(t)S形曲线, x增加先快后慢,模型的参数估计,用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报， 必须先估计模
14、型参数 r 或 r, xm,利用统计数据用最小二乘法作拟合,例：美国人口数据（单位百万）,专家估计,模 型 检 验,用模型预报1990年美国人口，与实际数据比较,实际为251.4 (百万),模 型 应 用人 口 预 报,用美国17901990年人口数据重新估计参数,Logistic模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量),1、指数增长模型（马尔萨斯人口模型）英国人口学家马尔萨斯（Malthus17661834）于1798年提出。,2、阻滞增长模型（Logistic模型）,3、更复杂的人口模型随机性模型、考虑人口年龄分布的模型等, 可见数学模型总是在不断的修改、完善使之能符合实际情况的变化。
15、,小结,两方军队交战, 希望为这场战斗建立一个数学 模型，应用这个模型达到如下目的：,战争模型,2）Y方军队的一个士兵在单位时间内杀死X方军队 a 名士兵；,平衡式,附： 微分方程模型汇总,1 传染病模型 2 经济增长模型 3 正规战与游击战 4 药物在体内的分布与排除 5 香烟过滤嘴的作用 6 人口预测和控制 7 烟雾的扩散与消失 8 万有引力定律的发现,动态模型,描述对象特征随时间(空间)的演变过程,分析对象特征的变化规律,预报对象特征的未来性态,研究控制对象特征的手段,根据函数及其变化率之间的关系确定函数,微分方程建模,根据建模目的和问题分析作出简化假设,按照内在规律或用类比法建立微分方
16、程,1 传染病模型,问题,描述传染病的传播过程,分析受感染人数的变化规律,预报传染病高潮到来的时刻,预防传染病蔓延的手段,按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型,已感染人数 (病人) i(t),每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为,模型1,假设,若有效接触的是病人，则不能使病人数增加,建模,?,模型2,区分已感染者(病人)和未感染者(健康人),假设,1）总人数N不变，病人和健康 人的 比例分别为,2）每个病人每天有效接触人数为, 且使接触的健康人致病,建模, 日 接触率,SI 模型,模型2,tm传染病高潮到来时刻, (日接触率) tm,病人可以治愈！,?,t=tm, di/dt
17、最大,模型3,传染病无免疫性病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染,增加假设,SIS 模型,3）病人每天治愈的比例为, 日治愈率,建模, 日接触率,1/ 感染期, 一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。,模型3,接触数 =1 阈值,感染期内有效接触感染的健康者人数不超过病人数,模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例,模型4,传染病有免疫性病人治愈后即移出感染系统，称移出者,SIR模型,假设,1）总人数N不变，病人、健康人和移出者的比例分别为,2）病人的日接触率 , 日治愈率, 接触数 = / ,建模,需建立 的两个方程,模型4,SIR模型,模型4,SIR模型,相轨线 的
18、定义域,在D内作相轨线 的图形，进行分析,模型4,SIR模型,相轨线 及其分析,s(t)单调减相轨线的方向,P1: s01/ i(t)先升后降至0,P2: s01/ i(t)单调降至0,1/阈值,模型4,SIR模型,预防传染病蔓延的手段, (日接触率) 卫生水平,(日治愈率) 医疗水平,传染病不蔓延的条件s01/, 的估计,降低 s0,提高 r0,提高阈值 1/,模型4,SIR模型,被传染人数的估计,记被传染人数比例, 小, s0 1,提高阈值1/降低被传染人数比例 x,s0 - 1/ = ,2 经济增长模型,增加生产 发展经济,增加投资,增加劳动力,提高技术,建立产值与资金、劳动力之间的关系
19、,研究资金与劳动力的最佳分配，使投资效益最大,调节资金与劳动力的增长率，使经济(生产率)增长,1. 道格拉斯(Douglas)生产函数,产值 Q(t),F为待定函数,资金 K(t),劳动力 L(t),技术 f(t),= f0,模型假设,静态模型,每个劳动力的产值,每个劳动力的投资,z 随着 y 的增加而增长，但增长速度递减,1. 道格拉斯(Douglas)生产函数,含义？,Douglas生产函数,QK 单位资金创造的产值,QL 单位劳动力创造的产值, 资金在产值中的份额,1- 劳动力在产值中的份额,更一般的道格拉斯(Douglas)生产函数,1. Douglas生产函数,w , r , K/L
20、 ,求资金与劳动力的分配比例K/L(每个劳动力占有的资金) ，使效益S最大,资金和劳动力创造的效益,资金来自贷款，利率 r,劳动力付工资 w,2）资金与劳动力的最佳分配（静态模型）,3) 经济(生产率)增长的条件 (动态模型),要使 Q(t) 或 Z(t)=Q(t)/L(t) 增长, K(t), L(t)应满足的条件,模型假设,投资增长率与产值成正比 (用一定比例扩大再生产),劳动力相对增长率为常数,Bernoulli方程,产值Q(t)增长,3) 经济增长的条件,劳动力增长率小于初始投资增长率,每个劳动力的产值 Z(t)=Q(t)/L(t)增长,3) 经济增长的条件,3 正规战与游击战,战争分
21、类：正规战争，游击战争，混合战争,只考虑双方兵力多少和战斗力强弱,兵力因战斗及非战斗减员而减少，因增援而增加,战斗力与射击次数及命中率有关,建模思路和方法为用数学模型讨论社会领域的实际问题提供了可借鉴的示例,第一次世界大战Lanchester提出预测战役结局的模型,一般模型,每方战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力,每方非战斗减员率与本方兵力成正比,甲乙双方的增援率为u(t), v(t),f, g 取决于战争类型,x(t) 甲方兵力，y(t) 乙方兵力,模型假设,模型,正规战争模型,甲方战斗减员率只取决于乙方的兵力和战斗力,双方均以正规部队作战,忽略非战斗减员,假设没有增援,f(x, y)=ay
22、, a 乙方每个士兵的杀伤率,a=ry py, ry 射击率， py 命中率,正规战争模型,为判断战争的结局，不求x(t), y(t)而在相平面上讨论 x 与 y 的关系,平方律 模型,游击战争模型,双方都用游击部队作战,甲方战斗减员率还随着甲方兵力的增加而增加,f(x, y)=cxy, c 乙方每个士兵的杀伤率,c = ry py ry射击率 py 命中率,游击战争模型,线性律 模型,混合战争模型,甲方为游击部队，乙方为正规部队,乙方必须10倍于甲方的兵力,设 x0=100, rx/ry=1/2, px=0.1, sx=1(km2), sry=1(m2),4 药物在体内的分布与排除,药物进入
23、机体形成血药浓度(单位体积血液的药物量),血药浓度需保持在一定范围内给药方案设计,药物在体内吸收、分布和排除过程 药物动力学,建立房室模型药物动力学的基本步骤,房室机体的一部分，药物在一个房室内均匀分布(血药浓度为常数)，在房室间按一定规律转移,本节讨论二室模型中心室(心、肺、肾等)和周边室(四肢、肌肉等),模型假设,中心室(1)和周边室(2),容积不变,药物在房室间转移速率及向体外排除速率，与该室血药浓度成正比,药物从体外进入中心室，在二室间相互转移,从中心室排出体外,模型建立,线性常系数非齐次方程,对应齐次方程通解,模型建立,几种常见的给药方式,1.快速静脉注射,t=0 瞬时注射剂量D0的
24、药物进入中心室,血药浓度立即为D0/V1,给药速率 f0(t) 和初始条件,2.恒速静脉滴注,t T, c1(t)和 c2(t)按指数规律趋于零,3.口服或肌肉注射,相当于药物( 剂量D0)先进入吸收室，吸收后进入中心室,吸收室药量x0(t),参数估计,各种给药方式下的 c1(t), c2(t) 取决于参数k12, k21, k13, V1,V2,t=0快速静脉注射D0 ,在ti(i=1,2,n)测得c1(ti),由较大的 用最小二乘法定A,由较小的 用最小二乘法定B,参数估计,过滤嘴的作用与它的材料和长度有什么关系,人体吸入的毒物量与哪些因素有关，其中哪些因素影响大，哪些因素影响小。,模型分
25、析,分析吸烟时毒物进入人体的过程，建立吸烟过程的数学模型。,设想一个“机器人”在典型环境下吸烟，吸烟方式和外部环境认为是不变的。,问题,5 香烟过滤嘴的作用,模型假设,定性分析,1）l1烟草长， l2过滤嘴长， l = l1+ l2，毒物量M均匀分布，密度w0=M/l1,2）点燃处毒物随烟雾进入空气和沿香烟穿行的数量比是a:a, a+a=1,3）未点燃的烟草和过滤嘴对随烟雾穿行的毒物的(单位时间)吸收率分别是b和,4）烟雾沿香烟穿行速度是常数v，香烟燃烧速度是常数u， v u,Q 吸一支烟毒物进入人体总量,模型建立,t=0, x=0，点燃香烟,q(x,t) 毒物流量,w(x,t) 毒物密度,1
26、) 求q(x,0)=q(x),t时刻，香烟燃至 x=ut,1) 求q(x,0)=q(x),2) 求q(l,t),3) 求w(ut,t),4) 计算 Q,结果分析,烟草为什么有作用?,1）Q与a,M成正比， aM是毒物集中在x=l 处的吸入量,2) 过滤嘴因素，, l2 负指数作用,是毒物集中在x=l1 处的吸入量,3）(r) 烟草的吸收作用,b, l1 线性作用,带过滤嘴,不带过滤嘴,结果分析,4) 与另一支不带过滤嘴的香烟比较，w0, b, a, v, l 均相同，吸至 x=l1扔掉,提高 -b 与加长l2，效果相同,6 人口预测和控制,年龄分布对于人口预测的重要性,只考虑自然出生与死亡，不
27、计迁移,人口发展方程,人口发展方程,一阶偏微分方程,人口发展方程,已知函数（人口调查）,生育率（控制人口手段）,生育率的分解,总和生育率,h生育模式,人口发展方程和生育率,总和生育率控制生育的多少,生育模式控制生育的早晚和疏密,正反馈系统,滞后作用很大,人口指数,1）人口总数,2）平均年龄,3）平均寿命,t时刻出生的人，死亡率按 (r,t) 计算的平均存活时间,4）老龄化指数,控制生育率,控制 N(t)不过大,控制 (t)不过高,7 烟雾的扩散与消失,现象和 问题,炮弹在空中爆炸，烟雾向四周扩散，形成圆形不透光区域。,不透光区域不断扩大，然后区域边界逐渐明亮，区域缩小，最后烟雾消失。,建立模型
28、描述烟雾扩散和消失过程，分析消失时间与各因素的关系。,问题分析,无穷空间由瞬时点源导致的扩散过程，用二阶偏微分方程描述烟雾浓度的变化。,观察的烟雾消失与烟雾对光线的吸收，以及仪器对明暗的灵敏程度有关。,模型假设,1）烟雾在无穷空间扩散，不受大地和风的影响；扩散服从热传导定律。,2）光线穿过烟雾时光强的减少与烟雾浓度成正比；无烟雾的大气不影响光强。,3）穿过烟雾进入仪器的光线只有明暗之分，明暗界限由仪器灵敏度决定。,模型建立,1）烟雾浓度 的变化规律,热传导定律：单位时间通过单位法向面积的流量与浓度梯度成正比,曲面积分的奥氏公式,1）烟雾浓度 的变化规律,初始条件,Q炮弹释放的烟雾总量, 单位强
29、度的点源函数,对任意t, C的等值面是球面 x2+y2+z2=R2; RC,仅当 t, 对任意点(x,y,z), C0,1）烟雾浓度 的变化规律,2）穿过烟雾光强的变化规律,光强的减少与烟雾浓度成正比,3）仪器灵敏度与烟雾明暗界限,烟雾浓度连续变化,烟雾中光强连续变化,设光源在z=-, 仪器在z=,则观测到的明暗界限为,不透光区域边界,4）不透光区域边界的变化规律,对任意t, 不透光区域边界是圆周,不透光区域边界半径,结果分析,观测到不透光区域边界达到最大的时刻t1，可以预报烟雾消失的时刻t2,5.8 万有引力定律的发现,背景,航海业发展,天文观测精确,“地心说”动摇,哥白尼：“日心说”,伽里略：落体运动,开普勒：行星运动三定律,变速运动的计算方法,牛顿：一切运动有力学原因,牛顿运动三定律,牛顿：研究变速运动，发明微积分（流数法）,开普勒三定律,牛顿运动第二定律,万有引力定律,自然科学之数学原理(1687),模型假设,极坐标系 (r,),太阳 (0,0),1. 行星轨道,a长半轴, b短半轴, e离心率,3. 行星运行周期 T,行星位置：向径,2. 单位时间 扫过面积为常数 A,m 行星质量, 绝对常数,4. 行星运行受力,模型建立,向径 的基向量,模型建立,万有引力定律,需证明 4A2/p =kM （与哪一颗行星无关）,A单位时间 扫过面积,(习题),
