1、侧212侧2侧2019 届上高二中与新余四中第二次联考高三数学（理）试卷考试时间：120 分钟 试卷总分：150 分一、选择题：本大题共 l2 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合 , 集合 ( 为自然对数的底数),ln(1)Mxy|,xNyeR则 ( )NA. B. C. D.|1x|012.若复数 满足 为虚数单位）,则 ( )z2i13i(ZA. -2+4i B. -2-4i C. 4+2i D. 4-2i3.若 为偶函数，且当 时, ,fx0x2sin(01)lxf则不等式 的解集为( )1fA. B. C. D.02x1x0
2、1x2x4.现有 5 人参加抽奖活动，每人依次从装有 5 张奖票(其中 3 张为中奖票) 的箱子中不放回地随机抽取一张，直到 3 张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第 4 人抽完后结束的概率为( )A. B. C. D.101510255.在等差数列 中， ，则数列 的前 11 项和 ( )na82ana1SA. 8 B. 16 C. 22 D. 44 源:6. 一个几何体的三视图如图所示,该几何体的体积为( )A. B. C. D.34389497 已知函数 （ ， ）,其图像与直线 相邻两个()2sin()1fx|21y交点的距离为 ,若 对于任意的 恒成立, 则 的取值范围是（ ）
3、f()3xA. B. C. D.,123,12(,62,638 已知抛物线 上有三点 ， 的斜率分别为 3，6， ，xy42CBA,A, 2则 的重心坐标为（ ）ABCA B C D)1,94()0,91()0,2714()1,274(9 已知函数 ， 满足 ，2xfnm, 0mnff则 的取值范围是（ ）|47|nmA B C D2,1,1,212,1210. 在平面直角坐标系 中，已知两圆 ： 和 ： ，xOyyxC42yx又 点坐标为 ， 是 上的动点， 为 上的动点，),3(NM,1Q2则四边形 能构成矩形的个数为（ ）QA0 个 B2 个 C4 个 D无数个11 如图所示 ,圆形纸片
4、的圆心为 ,半径为 , 该纸片上的正方形 的中心为 .O5cmABCO, , , 为圆 上的点, , , , 分别EFGHEAFBGH是以 , , , 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后, 分别CD以 , , , 为折痕折起 , , , ,ABCD使得 , , , 重合, 得到四棱锥. 当正方形 的边长变化时，所得四棱锥体积(单位： )的最大值为( )3cmA. B. C. D.3855351612. 定义在 R上函数 xf满足 ffx，且对任意的不相等的实数12,0,x有 120fx成立，若关于 的不等式 2ln3m3ln3fm在 ,上恒成立，则实数 的取值范围是（ ）A 1l6,2e B 1
5、ln3,26e C. 1ln3,2e D 1ln6,23e二、填空题：本题共 4 题，每小题 5 分，共 20 分13. 已知向量 夹角为 ，且 ， ，则 .ba,061|a10|2|b|b14. 已知锐角三角形 ABC 中, 角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，若 ,2cosaB则 的取值范围是 2sin()AB15. 已知数列 满足 ，数列 是公比为 2 的等比数列，na34112na则 . n 21321116. 设函数 ,若函数 有 6 个不同的零点,xfxe21Gxfafxe则实数 的取值范围是 .a三、解答题：( 本大题共 6 小题共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程
6、或演算步骤 .)17 （本小题满分 12 分）如图， 是等边三角形， 是 边上的动点（含端点） ，ABCDBC记 .,D（1 ）求 的最大值；cos2（2 ）若 ，求 的面积.71,A18.（本小题满分 12 分）如图,三棱柱 的所有棱长均为 ,底面 侧面 ,1ABC2ABC1B为 的中点, .016,P1O(1)证明： 平面 .1O(2)若 是棱 上一点, 且满足 ,MA045MP求二面角 的余弦值.1B19 （本小题满分 12 分）某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱, 一片心,诚信用水”活动,学生在购水处每领取一瓶矿泉水,便自觉向捐款箱中至少投入一元钱.现统计了连续 5 天的
7、售出和收益情况,如下表：(1)若 与x成线性相关,则某天售出 8 箱水时,预计收益为多少元？y(2)期中考试以后 ,学校决定将诚信用水的收益 ,以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生 ,规定：特困生考入年级前 200 名，获一等奖学金 500 元；考入年级 201500 名，获二等奖学金 300 元；考入年级 501 名以后的特困生将不获得奖学金.甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为 ,获二等奖学金的概率均为 ,不获得奖学金的概率均为 .5231154在学生甲获得奖学金条件下,求他获得一等奖学金的概率；已知甲、乙两名学生获得哪个等第的奖学金是相互独立的,求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额 X 的
8、分布列及数学期望.附： , .niiiiixyb12)(xba20 （本小题满分 12 分）设常数 ，在平面直角坐标系 中，已知点 ，2t xOy)0,2(F直线 ： ，曲线 ： . 与 轴交于点 ，lx),0(82tylxA与 交于点 分别是曲线 与线段 上的动点.QPB, AB（1）设 ， ，线段 的中点在直线 上，3t|FQP求 的面积；A（2）设 ，是否存在以 为邻边的矩形 ，8tP,FEQ使得点 在 上？若存在，求点 的坐标；若不存在，说明理由.E21 （本小题满分 12 分）已知函数 .24xfe(1)讨论函数的单调性, 并证明当 时, ；240xe(2)证明：当 时，函数 有最小
9、值,0,1a23()ag售出水量 x（单位：箱） 7 6 6 5 6收益 y（单位：元） 165 142 148 125 150设 最小值为 ,求函数 的值域.gxha请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22 （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程以平面直角坐标系 的原点为极点, 轴的正半轴为极轴, 建立极坐标系,两种坐标系中xOyx取相同的长度单位, 直线 的参数方程为 ,圆 的极坐标方程为l21tyC.42sin(1)求直线 的普通方程与圆 的直角坐标方程；lC(2)设曲线 与直线 交于 两点, 若 点的直角坐标为 ,求 的值.lABP2
10、1PAB23 （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 , (1)解不等式 ； (2)若不等式 的解集为 ， ，且满足 ，求实数 a 的取值范围.2019 届上高二中与新余四中第二次联考高三数学（理）试卷答案一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分.二、填空题:本大题共 4小题,每小题 5分，满分 20分13. 14. 15. 16. 1721,12n3826,e三解答题：本大题共 6小题，共 70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17解：（1）由 是等边三角形，得 ， ，ABC30故 ，cos2 )sin()cos(2故当 时，即 为 中点时，原
11、式取得最大值 .6D3（2）由 ，得 ，故71cos734sin，143sincoi)3in( 由正弦定理得 ，故 ，BADsisi 38147siBD故 .321382sin21ABSD18. 解：(1) 取 的中点 ，连接 ，易证 为平行四边形，从而 .由底面 侧面 ，底面 侧面 ， ，底面 ，所以 侧面 ，即 侧面 ，又 侧面 ，所以 ，又侧面 为菱形，所以 ，从而 平面 ，因为 平面 ，所以 .题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C A A C C A D C B D D B(2)由(1)知， ， ， ，以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 .因为侧面
12、是边长为 2 的菱形，且 ，所以 ， ， ， ， ，得 .设 ，得 ，所以 ，所以 .而 .所以 ，解得 .所以 ， ， .设平面 的法向量 ，由 得 ，取 .而侧面 的一个法向量 .设二面角 的大小为 .则 19. 解：解(1) , ,6567x 146502148y, ,20109)(12 niiiiixyb 26014 xbya,当 时, ,886y即某天售出 8 箱水的预计收益是 186 元.(2)设事件 A 为“学生甲获得奖学金 ”,事件 B 为“学生甲获得一等奖学金 ”,则 ,2()65(|)1PB即学生甲获得奖学金的条件下，获得一等奖学金的概率为 .16X 的取值可能为 0,30
13、0,500,600,800,1000, , , , ,即 的分布列为（元）68164()0350801602547952EX20解：（1） ， ， ，则 ，),(F2|Q3t|FA ， ，设 的中点 ， ，3|AQ3OD3(,)2，则直线 方程： ，02DFkPF)(xy联立得 ，解得 ， （舍去） ，132x32x6 的面积AQP67S（2）存在，设 ，则 ， ，2(,)8m22816PFmk28QFmk直线 方程为 ， ， F216()yx 243()Qy，根据 ，则 ，2483(,)QFEP286, ，解得(6)m215m存在以 、 为邻边的矩形 ，使得点 在 上，且 .FPQFPEQ)
14、54,2(P21解：(1) ,24xfe,222 0,44xxfx e故 在 上递增. 当 时，由上知 ,f,4,和 21fxf即 ,即 ,得证.21xe20xe(2) , .22334exx aag 记 , .由(1)知,函数 区间 内递增,2e4xx2又 , , 所以存在唯一实数 ,10a0a0使得 . 于是, 002e4xx 02e4x当 时, , ,函数 在区间 内递减；2gg0,当 时, , ,函数 在区间 内递增.0x0xx所以 在 内有最小值 .g,02e3a由题设即 0 02 2020e1e4x xha .根据 (1)知, 在 内递增, ,所以 .fx0exa0x令 ,则 ，函数 在区间 内递21e(0)4xu234xu u2,增,所以 . 即函数 的值域为 .2xuha21e,22. 解：(1) 直线 的普通方程为： ,lyx,所以 42sin()4sincos24sincos所以曲线 C 的直角坐标方程为 （或写成 ） 20xy22()()8xy(2)点 在直线 上,且在圆 C 内,把21ty代入 042yx,(2,1)Pl得 70t,设两个实根为 12t,则 212,7tt，即 12t异号.所以 1|ABt.23. 解：(1) 可化为 ,故 或 或 ,即 或 或 ,所以不等式的解集为 .(2)易知 ，所以 ，又 在 恒成立，在 恒成立，在 恒成立，故 .
