1、第 22 讲 不等式选讲1.2018全国卷 设函数 f(x)=5-|x+a|-|x-2|.(1)当 a=1 时,求不等式 f(x)0 的解集;(2)若 f(x)1,求 a 的取值范围.试做 2.2018全国卷 已知 f(x)=|x+1|-|ax-1|.(1)当 a=1 时,求不等式 f(x)1 的解集;(2)若 x(0,1)时不等式 f(x)x 成立,求 a 的取值范围.试做 3.2017全国卷 已知 a0,b0,a3+b3=2,证明:(1)(a+b)(a5+b5)4;(2)a+b2.试做 (1)形如|x-a|+|x-b| c(或c )的不等式主要有两种解法: 分段讨论法:利用绝对值内表达式对
2、应方程的根 ,将数轴分为(-,a,(a,b,( b,+)(此处设 a0).(1)当 a=1 时,解不等式 f(x)x-1;(2)若关于 x 的不等式 f(x)4 有解 ,求 a 的取值范围.听课笔记 【考场点拨】(1)对于形如|f( x)|g(x)|的不等式,可利用不等式两边平方的技巧去掉绝对值;(2)对于形如|f(x)|g(x)|a,|f(x)|g(x)|a 的不等式,通常利用“零点”分区间法去掉绝对值.【自我检测】设函数 f(x)=|2x-7|+1.(1)求不等式 f(x)x 的解集;(2)若存在 x 使不等式 f(x)-2|x-1|a 成立,求实数 a 的取值范围.解答 2 不等式的证明
3、2 已知 a0,b0,且 a2+b2=2.(1)若 + |2x-1|-|x-1|恒成立,求 x 的取值范围;1242(2)证明: (a5+b5)4.(1+1)听课笔记 【考场点拨】(1)证明不等式的基本方法有综合法、分析法,也常用到基本不等式进行证明 ;(2)对于含有绝对值的不等式,在证明时常用到绝对值三角不等式;(3)对于含有根号的不等式,在证明时可用平方法(前提是不等式两边均为正数 );(4)如果所证命题是否定性命题或唯一性命题,或以“至少”“ 至多”等方式给出,可以考虑反证法 .【自我检测】已知关于 x 的不等式 |x+2|的解集为 R.|12+|(1)求实数 m 的值 ;(2)若 a,
4、b,c0,且 a+b+c=m,求证: + + . 3解答 3 含绝对值不等式的恒成立问题3 已知函数 f(x)=|x-2|+2|x-1|.(1)求不等式 f(x)4 的解集;(2)若不等式 f(x)2m2-7m+4 对任意 xR 恒成立,求实数 m 的取值范围.听课笔记 【考场点拨】利用绝对值不等式恒成立求参数的值或取值范围常用以下结论: 若 f(x)g(a)恒成立,则 f(x)ming(a); 若 f(x)0 的解集;(2)若对于任意 xR,不等式 f(x)2 恒成立,求 m 的取值范围 .第 22 讲 不等式选讲典型真题研析1.解:(1)当 a=1 时,f(x)=2+4,-1,2,-12.
5、可得 f(x)0 的解集为x|-2x 3.(2)f(x)1 等价于 |x+a|+|x-2|4.而|x+a|+|x-2|a+2|,且当 x=2 时等号成立,故 f(x)1 等价于|a+2| 4.由|a+2|4 可得 a-6 或 a2,所以 a 的取值范围是(- ,-6 2,+).2.解:(1)当 a=1 时,f( x)=|x+1|-|x-1|,即 f(x)=-2,-1,2,-11 的解集为 x x .12(2)当 x(0,1)时 |x+1|-|ax-1|x 成立等价于当 x(0,1) 时|ax- 1|0,|ax-1|x-1 即为|x-1|-|3x+2|x-1.当 x1 时,不等式可化为- 2x-
6、3x-1,解得 x1 矛盾,此时不等式无解;23当- x1 时,不等式可化为-4x-1x-1,23解得 xx-1,23解得 x-4,所以 -4. 因为函数 f(x)在 上单调递增 ,在 上单调递减 ,(-,-23) (-23,+)所以当 x=- 时,f(x) max= +a.23 23不等式 f(x)4 有解等价于 f(x)max= +a4,解得 a ,23 103故 a 的取值范围为 .(103,+)【自我检测】解:(1)由 f(x)x,得|2x-7|+1x,即|2x-7|x-1.当 x1 时,显然不成立 .当 x1 时,两边平方得 3x2-26x+480,即(x-6)(3 x-8)0,解得
7、 x6,83综上得,不等式的解集为 x x6 .83(2)因为存在 x 使不等式|2x-7|-2|x-1|+1a 成立,所以|2x-7|-2|x-1|+ 1 的最小值小于等于 a.又因为|2x-7|-2 |x-1|+1= 所以 a-4.6,1,-4+10,12.不等式 f(x)4 等价于 或 或4 12,4 2,3-44,解得 x ,故所求解集为(-,0) .83 (83,+)(2)由(1)可得,当 x=1 时,f(x)取得最小值 1.f(x)2m2-7m+4 对任意 xR 恒成立,f(x)min2m2-7m+4,即 2m2-7m+42. 当 m=5 时,f(x) 0 等价于 或 或-1,-2
8、+15 -15 2,2-15,解得 x3,不等式 f(x)0 的解集为( -,-2)(3,+).(2)由题意知 m|x+1|+|x-2|-2 在 R 上恒成立,又|x+1|+|x-2|-2|(x+ 1)-(x-2)|-2=1,m1,即 m 的取值范围是(-,1.备选理由 例 1 考查含参绝对值不等式的求解,解题时要对参数进行分类讨论 ,有利于学生进一步掌握去掉绝对值的原则;例 2 考查不等式的证明,需要采用反证法证明,难度不大,但思维含量较高;例 3 考查绝对值不等式恒成立问题 ,需要分类讨论去掉绝对值,涉及分类与整合思想,分离参数法,利用基本不等式及导数求最值等知识与思想方法, 综合性较大.
9、例 1 配例 1 使用 已知函数 f(x)=|2x+1|+|x-a|,aR.(1)当 a=2 时,解不等式 f(x)4;(2)若不等式 f(x)2 时,原不等式为 2x+1+x-24,可得 x .综上可知,原不等式的解集是- 1,1.(2)f(x)=|2x+1|+|x-a|,aR.当 a=- 时,f(x) = |2x+1|0,显然不等式 f(x)- 时,易知当 x=- 时,f( x)取得最小值 a+ ,即 f(x)=|2x+1|+|x-a|a+ .欲使不等式 f(x)0,n0,求证: m+n2.解:(1)f(x) =|x+1|+|x-1|x+1-(x-1)|=2,当且仅当-1x1 时取等号,所
10、以 f(x)min=2,即 a=2.(2)证明:假设 m+n2,则 m2-n,则 m3(2-n)3,所以 m3+n3(2-n)3+n3=2+6(1-n)22.由(1)知 a=2,所以 m3+n3=2.矛盾,所以假设不成立 ,即 m+n2.例 3 配例 3 使用 已知函数 f(x)=|2x|+|2x+3|+m,mR.(1)当 m=-2 时, 求不等式 f(x)3 的解集;(2)若对任意 x(-,0),都有 f(x)x+ 恒成立,求 m 的取值范围.2解:(1)当 m=-2 时,f(x)=| 2x|+|2x+3|-2=4+1(0),1(-320,22y=5x+ +3 在 上是增函数.2 (-,-32当 x=- 时,y=5x+ +3 取到最大值,最大值为- ,32 2 356m- .356综上可得 m-3-2 .2
