1、1限时集训（二十一）不等式选讲基础过关1.已知函数 f(x)=|x-1|.(1)解关于 x的不等式 f(x)1 -x2;(2)若关于 x的不等式 f(x)0且 m1)对任意的实数 x,y恒成立,求实数 a的最小值 .amy4.设函数 f(x)=|x+1|-|x-1|.(1)求不等式 f(x)1的解集;(2)若关于 x的不等式 f(x) |a-1|+a有解,求实数 a的取值范围 .能力提升5.已知 a,b,cR, a2+b2+c2=1.(1)求证: |a+b+c| ;3(2)若不等式 |x-1|+|x+1|( a-b+c)2对一切实数 a,b,c恒成立,求实数 x的取值范围 .26.已知函数 f
2、(x)=|x+a|+|2x+1|,aR .(1)当 a=1时,求不等式 f(x)1 的解集;(2)设关于 x的不等式 f(x) -2x+1的解集为 P,若 -1,- P,求 a的取值范围 .14限时集训(二十一)基础过关1.解:(1)由题意 f(x)1 -x2|x-1|1 -x2,所以 x-11 -x2或 x-1 x2-1,所以 x2+x-20 或 x2-x0,所以 x -2或 x1,或 x1 或 x0,故原不等式的解集为 x|x0 或 x1 .(2)f(x)x2+|x-1|-|x+1|,由于 x2+|x-1|-|x+1|=x2+2,x1, 所以当 x=1时, x2+|x-1|-|x+1|取得
3、最小值,最小值为 -1.因为原不等式的解集非空,所以实数 a的取值范围为( -1,+ ).2.解:(1)因为 |x+1|+|x-2| |(x+1)-(x-2)|=3,当且仅当 -1 x2 时等号成立,3所以函数 f(x)的最小值 k=3.(2)证明:由(1)知, + = ,1a1b 3又因为( m2+n2)(c2+d2)-(mc+nd)2=m2d2+n2c2-2mcnd=(md-nc)20,所以 + 12+ 2 1+ 2=3,1a22b2 12 1a 2b 12所以 + 2 .1a22b23.解:(1) f(x)=|2x-1|-|2x+3|= f (x) x即 或4,x1 -11 x 1,21
4、,解得无解或 ,12 12因此,不等式 f(x)1的解集为 x x .12(2)不等式 f(x) |a-1|+a有解,即 f(x)max |a-1|+a.由 |x+1|-|x-1| |x+1-(x-1)|=2,知 f(x)的最大值为 2,则有 |a-1|+a2,即 |a-1|2 -a,a- 2 a-12 -a,4解得 a .32能力提升5.解:(1)证明:由柯西不等式得( a+b+c)2(1 2+12+12)(a2+b2+c2)=3,- a+b+c ,|a+b+c| .3 3 3(2)由柯西不等式得( a-b+c)21 2+(-1)2+12(a2+b2+c2)=3,若不等式 |x-1|+|x+
5、1|( a-b+c)2对一切实数 a,b,c恒成立,则 |x-1|+|x+1|3,则 或 或 解得 x - 或无解或 x ,x- 1,-2x 3 -1x1,2 3 x 1,2x 3, 32 32 实数 x的取值范围为 - ,- ,+ .32 326.解:(1)当 a=1时, f(x)=|x+1|+|2x+1|,所以 f(x)1 即 |x+1|+|2x+1|1,所以 或 或x- 1,-x-1-2x-1 1 -1x -12,x+1-2x-1 1 x- 12,x+1+2x+1 1,即 或 或x- 1,x- 1 -1x -12,x- 1 x-12,x- 13,解得 x=-1或 -1x- 或 - x -
6、 ,12 12 13所以原不等式的解集为 x -1 x - .13(2)因为 -1,- P,所以当 x -1,- 时,不等式 f(x) -2x+1,即 |x+a|+|2x+1| -2x+114 14恒成立 .当 x -1,- 时, |x+a|-2x-1 -2x+1,即 |x+a|2,12所以 -2 x+a2,即 -2-x a2 -x在 x -1,- 上恒成立,12所以( -2-x)max a(2 -x)min,即 -1 a ;525当 x - ,- 时, |x+a|+2x+1 -2x+1,即 |x+a| -4x,12 14所以 4x x+a -4x,即 3x a -5x在 x - ,- 上恒成立,12 14所以(3 x)max a( -5x)min,即 - a .34 54综上, a的取值范围是 - , .3454
