1、1回扣 2 导 数1.导数的几何意义(1)f( x0)的几何意义：曲线 y f(x)在点( x0， f(x0)处的切线的斜率，该切线的方程为y f(x0) f( x0)(x x0).(2)切点的两大特征：在曲线 y f(x)上；在切线上.2.利用导数研究函数的单调性(1)求可导函数单调区间的一般步骤求函数 f(x)的定义域；求导函数 f( x)；由 f( x)0 的解集确定函数 f(x)的单调增区间，由 f( x) ；当 x1 时， f(x) ，则12x 12 ln xx2f( x) ，令 f( x)0，得 x ，当 x1， )时， f( x)0， f(x)单调递增，1 2ln xx3 e e
2、当 x( ，)时， f( x) ，且 f(x)e e12e180，当 x 趋近于时， f(x)趋近于 0.作出函数 y| f(x)|的大致图象如图所示，由图可知，函数 y| f(x)| 的零点个数为 4.189.已知函数 f(x) (e 为自然对数的底数).x 1ex(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)设函数 (x) xf(x) tf( x) ，存在实数 x1， x20,1，使得 2 (x1) (x2)1ex成立，求实数 t 的取值范围.解 (1)函数的定义域为 R， f( x) ，xex当 x0 时， f( x)0，当 x0 时， f( x)0， f(x)在(，0)上单调递增，在(0，)
3、上单调递减. f(x)的单调增区间为(，0)，单调减区间为(0，).(2)存在 x1， x20,1，使得 2 (x1) (x2)成立，5则 2 (x)min (x)max. (x) xf(x) tf( x)e x ， x0,1 ，x2 1 tx 1ex ( x) . x2 1 tx tex x tx 1ex当 t1 时， ( x)0， (x)在0,1上单调递减，2 (1) (0)，即 t3 1；e2当 t0 时， ( x)0， (x)在0,1上单调递增，2 (0) (1)，即 t32e0；当 0 t1 时，若 x0， t)，则 ( x)0， (x)在0， t)上单调递减，若 x( t,1，则
4、( x)0， (x)在( t,1上单调递增，2 (t)max (0)， (1)，即 2 max .t 1et 1， 3 te (*)由(1)知， g(t)2 在0,1上单调递减，t 1et故 2 2，而 ，4e t 1et 2e 3 te 3e不等式(*)无解.综上所述，存在 t(，32e) ，使得命题成立.(3e2， )10.已知函数 f(x) x3 ax2， aR.13 12(1)当 a2 时，求曲线 y f(x)在点(3， f(3)处的切线方程；(2)设函数 g(x) f(x)( x a)cosxsin x，讨论 g(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.解 (1)由题意得 f(
5、 x) x2 ax，所以当 a2 时， f(x) x3 x2， f(3)0， f( x) x22 x，13所以 f(3)3，因此曲线 y f(x)在点(3， f(3)处的切线方程是y3( x3)，即 3x y90.(2)因为 g(x) f(x)( x a)cosxsin x，所以 g( x) f( x)cos x( x a)sin xcos x x(x a)( x a)sin x( x a)(xsin x).6令 h(x) xsin x，则 h( x)1cos x0，所以 h(x)在 R 上单调递增.因为 h(0)0，所以当 x0 时， h(x)0；当 x0， g(x)单调递增；当 x( a,
6、0)时， x a0， g( x)0， g( x)0， g(x)单调递增.所以当 x a 时， g(x)取到极大值，极大值是 g(a) a3sin a；16当 x0 时， g(x)取到极小值，极小值是 g(0) a.当 a0 时， g( x) x(xsin x)，当 x(，)时， g( x)0， g(x)单调递增；所以 g(x)在(，)上单调递增， g(x)无极大值也无极小值；当 a0 时， g( x)( x a)(xsin x)，当 x(，0)时， x a0， g(x)单调递增；当 x(0， a)时， x a0， g( x)0， g(x)单调递增.所以当 x0 时， g(x)取到极大值，极大值是 g(0) a；当 x a 时， g(x)取到极小值，极小值是 g(a) a3sin a.16综上所述，当 a0 时，函数 g(x)在(，0)和( a，)上单调递增，在(0， a)上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是 g(0) a，极小值是 g(a) a3sin a.16
