1、2016 年竞赛与自主招生专题第七讲 定积分与微积分应 用从 2015 年开始自主招生考试时间推后到高考后，政策刚出时，很多人认为，是不是要在高考出分后再考自主招生，是否高考考完了，自主招生并不是失去其意义。自主招生考察了这么多年，使用的题目的难度其实已经很稳定，这个题目只有出到高考以上，竞赛以下，才能在这么多省份间拉开差距.所以，笔试难度基本稳定，维持原自主招生难度，原来自主招生的真题竞赛真题等，具有参考价值。在近年自主招生试题中，有关导数与积分的内容大约占 20%30%。一、知识精讲1定积分：设函数 在 上有界，在 中任意插入若干个分点()fx,ab,ab。把区间 分成 个小区间，各小区间
2、的长度依次为0121nax n并作和 ，记 ，如果不论对1(,)ii 1()niiSfx12max,nx怎样的分法，也不论在小区间 上点 怎样的取法，只要当 时，和 趋于,ab,iif 0S确定的极限 ，我们称这个极限 为函数 在区间 上的定积分，记为II()x,ab。01()lim()bniafxdfx二定积分存在定理：当函数 在区间 上连续时，则 在区间 上可积；()f,ab()fx,ab设函数 在区间 上有界，且只有有限个间断点，则 在区间 上可积。x ()fx,ab三定积分的几何意义：时， ，则 表示 的图像与 及 轴围成的曲边梯形()0f()bafdxA()fx,a面积；若 ，令 ，
3、则 表示 的图像与 及 轴围成的曲边()fx()bafx()fx,xbx梯形面积的负值。四微积分基本定理：牛顿-莱布尼兹公式如果 是区间 上的连续函数，并且 ，则 。若()fx,ab()Fxf()()bafxdFba记，则 。()()|baFbx()()|()bafxdFFa牛顿-莱布尼兹公式沟通了导数与积分之间的关系，由此求定积分问题转化为求原函数问题。五洛必塔法则：设（1）如果当 时，函数 都趋于零；（2）在 内，xa(),fxg(,)a都存在，且 ；（3）极限 存在（或为无穷大） ；则 存在，(),fxg()0glim()xa lim()xafg且 。limli()()xaxaff上述准
4、则称为洛必塔法则。六二次曲线在某点处的切线方程 ：设 是圆 上一点，则过 的圆切线方程为 ；0(,)Pxy22xyR0(,)Pxy20xyR设 是椭圆 上一点，则过点 的椭圆切线方程为 ；0,21ab0, 021ab设 是双曲线 上一点，则过 的双曲线切线方程为 ；0(,)Pxy2xy0(,)Pxy02xy设 是抛物线 上一点，则过 的抛物线切线方程为 ；0(,)2ypx0(,)00()ypx7函数的单调性：若函数 在 内可导，则 在 内递增（递减）的充要条件是f(,)abf(,)ab（ ） ， 。()0fx()fx八函数的极值：1.定义： 已知函数 及其定义域内一点 ，对于存在一个包含 的开
5、区间内的()yfx0x0x所有点 ，如果都有x0()f则称函数 在点 处取得极大值，记作 ，并把 称为函数 的()yf0x()yfx极 大 值 0()yfx一个极大值点；如果都有0()fx则称函数 在点 处取得极小值，记作 ，并把 称为函数 的()yfx0 ()yfx极 大 值 0()yfx一个极小值点极大值与极小值统称为极值，极大值 点与极小值点统称为极值点。注意：（1）.函数 的最大（小） 值是函数在指定区间内的最大（小）值；()yfx（2）.极值与最值不同，极值只是相对一点附件 的局部性质，而最值是想对整个定义域内或所研究问题的整体性质。2.极值的必要条件：若函数 在 可导，且在 处取得
6、极值，则 。f0x0x0()fx九两个重要的极限：1. ， 2. 0sinlm1x1lim()xxe来源:学&科&网3、典例精讲例 1 （2011 复旦）设 为正数， ，若 在区间 上大于 0，则a32()fxa()fx(,)a的取值范围是 （ ） 。a（A） （B） （C） （D）(0,(0,1)(1,)1,)答案：A分析与解： ，当 时， ，所以 在 上单调递减，2()34fxax(,)a()0fx()fx0,a所以 在 上大于 0，当且仅当 ，即 。()f,af32,1a例 2 （2011“华约” ）已知 ，过 的直线与该函数图像相切，且321yx(,)不是切点，求直线斜率。(1,)分析
7、与解：显然 在 的图象上。设切点为 ，(1,)32yx 3200(,1)xx，所以 。另一方面，23yx0k2000()()(11xk。所以 ， ，而 ，所以 ，所以0(2)x20)320,1x0x01x。1k例 3 （2 010 南开）求证： 。3sin,0,62x分析与解：令 ，则 ，3()i,fx 21()0.()cosffxx。()sinfx由三角不等式 ，由 知 单调递增。又 ，故sin0,2x()0fx()fx(0)f，从而 单调递增。()0fx()f所以， ，即 。得证。0fx3sin6x注：在高等数学中 的泰勒展开式为： 。si357sin()!xx为其前两项。36x例 4 （
8、2003 复旦）已知过两抛物线 的交点的各自221:(1),:()41CxyCyxa的切线互相垂直，求 。a分析与解：联立21(),4xy得交点坐标为 或 。,5a,15a由对称性，不妨设切线在 处互相垂直。,对 求导，有： ；1C12(),2yy对 求 导，有： 。2()4,它们切线的斜率分别为 、 ，故 。125a2121015aa例 5 （2009 清华）一元三次函数 的三次项系数为 ， 的解集为 。()fx3()9fx(,2)（1）若 有两个相等实根，求 的解析式；()70fxa()f（2）若 在 上单调递减，求 的范围。Ra分析与解：设 ，则 ，32()fxbxcd2()fxabxc
9、2()99fxac的解集为 ，故有 ，且 得 。0f(1,2)0a290,418cab239,2bac（1） ， 有两个相等实根，2()7(39)fxax()7fx23960整理得 或 （舍去） ， ，所以 。,1a26,2bc2()6fxx（2） ，要使 在 上单调递减，只需22()(39)fxabxcxa()fxR39a在 上恒成立即可，故只需0R220, 0,(39)45481aaa解得 ，所以 的范围为 。27182718727例 6 （2010 武大）已知 是定义在区间 上的可导函数，满足 ，且()fx(0,)()0fx。()0fx（1）讨论函数 的单调性；()()xFef（2）设
10、，比较函数 与 的大小。01xf1fx分析与解：（1）由于 。所以 在()()()()0xxxFeffefx()Fx上单调递减。(0,)（2）当 时，有 。证明如下：1x1()xffx注意到，当 时， ，故由（1）可得 ，即 。01()xxeff1()xfef下证 ，即证 。12xe2ln0x为此，考虑函数 。1()l,1gx因为，当 时，有 ，0x2 2()() 0x所以 在 上单调减少，故 ，即 。()g,1()1g12xe于是 ，即 。2()fxf()xffx例 7 （2011“卓越联盟” ） （1）设 ，求 ；()lnf()fx（2）设 ，求常数 ，使得 取得最小值；0abC|l|ba
11、Cd（3）设（2）中的最小值为 ，证明 。,abm,ln2b分析与解：（1） ；1()lnfxx（2）若 ，则 ，显然，当 取最小；来源:学&科&网lnCa|Cl,nCax若 ，则 ，当 取最小。b|lxxln,b故不妨设 。llb1|n|ad(l)(ln)c cebaeCxxCdb 。1()(ln1)(ln1)()c ce ba eCxdxCdxb 由（1）知 ，l ln1()ln|c cc Ce e Ceaa aaex因 ，(ln)(1)(ln1)()|CC CCb bbbee eexdxdxdx所以 （*）| l2)ba记 ，()l2()()Cgab令 ，得 。2()0Cebln2即 时
12、， 取最小值。lna1|l|axd（3）将 代入（*）式右边，l2b来源:Z_xx_k.Com,1ln()lnl2lnab bmaal()ll2ll()ln2lnl()2babaab。ln()lnlln1lba 由于 ，所以 。0,12bll2aa下面只须证明 即可。lnln。l2l1l2ln1abaab令 ，则 ，(0,1)atbln()ll()tt注意到函数 是单调递减的，且 。ln()t1t所以 ，得证。11lln2t4、真题训练1.（2006 武大）如果定义在 上的函数 的单调递增区 间为 ，R32()(0)fxabcxa(1,)那么实数 的大小关系是（ ）,abc（A） （B） （C
13、） （D）bcccba2.（2007 武大）在曲线 的所有切线中，斜率最小的切线方程为（ ） 。31yx（A） （B） （ C） （D）0y 10xy203xy3.（2008 南大）函数 的单调减区间为 。()ln(1)2xfe4.（20 08 武大）求常 数 的值，使 。,ab31lim1xabx来源:学。科。网 Z。X。X。K5.（2000 上海交大）若方程 有 3 个不同实根，求实数 的取值范围。3270xmm6.（2000 上海交大） 设 在 处可 导，且原点到 中直线的距2,0()xbcflmx()fx离为 ，原点到 中曲线部分最短距离为 3，试求 的 值（ ） 。13fx ,bcl
14、m,0bc来源:学科网7.（2007 清华）求 的单调区间及极值。来源:Z,xx,k.Com()xef8.（2008 武大）已知函数 。2()(0,)afxxR（1）判断函数 的奇偶性；()fx（2）若 在区间 上是增函数，求实数 的取值范围。f2,a来源:Zxxk.Com9.（2000 上海交大）已知函数 满足： ，又 ，()fx()()()fxyfyx(0)1f求函数 的解析式。()fx10.（2012 清华保送生） ， 。1()lnxef1.()nnafa（1）求证： 恒成立；10xe（2）试求 的单调区间；()f（3）求证： 为递减数列，且 恒成立。na0na来源:学科网5、真题训练答
15、案1.D 。由题意知 的两根 为-1，1，且注意到 在 上2()3fxabxc()0fx()fx1,)递增，故 。0由韦达定理， 。,1,33bcacbaa2.C ，故过 的切线斜率为 ，即所有曲线的切线构成的直线系为21yx0()xy201x。0()yx又 ，故 时斜率最小，此时 ，切线方程为 ，即20x0x0y1yx。1y3. 。(1,01()1()xxef 时， ，故 ；x,xe()0x时， ，即 ，故 ；0(1)11xe时， 。x0xe又函数定义域为 ，所以单调减区间为 。(,)(,04.分析与解答： ，而 ，故22333(1)()11abaxbaxbx31lim()0x。21lim(
16、)0xa。3211()3lilim1,3x xbaab5.分析与解答：记 有 3 个根，则 应有两根 ，且设3()7,()0fxf()0fx12,x，则 （如图所示） 。12x10fx令 。212()33,x时， 有极大值，故 ；x()f()054fm时， 有极小值，故 。x所以 。54m6.分析与解答：由题意知， 在零点连续，且右导数与左导数相等，则()fxxyO1x2x200lim()li()xxbcm,c又 到直线 距离为 。(0,)ybx221|19133cbb由于 在 上单调递增，故在曲线上与原点最近的点为 。2,bcc0,)0x所以 。3,45ml7.分析与 解答：令 或 （显然不
17、可能） 。2()01xxef0xe时， 单调递增； 时， 单调递减； 时，1x0ff()()ffx0x， 单调递减。来源:Zxxk.Com()0f()故 极小值为 （ 时取到） ， 在 上单调递减，在 上单调递减，fxe1x()fx,0)(0,1)在 上单调递增。(1,)8.分析与解答：（1）对 进行讨论：a为偶函数；20()afx，对 不恒成立，2()afx,(),()xfxffx故 非奇非偶。来源:学。科。网 Z。X。X。K()fx（2）由题意，在 时， ，即 的范围是2x33min2()0,(2)16axfxaxa。(,169.分析与解答：取 ，则 。0xy()0f令 ，有 。xy32(
18、2)(2),fxffxx从而有 2221()42,642nnnxfxffxxffx累加得 1214()nnxfx（*）由 知，对 ，有(0)1faR00()()limli(0)1aafff对（*）式令 ，有 ，且 时 。n231()3fxxfx()0f综上， 。3()xf10.分析与解答：（1）令 ，求导得 。当 时， ；当()1xge()xge0()0gx时， 。所以 在 内为减函数，在 内为增函数。所以0x()0gx,0)0,，即 恒成立。()1xe（2）对 求导，得 。由（1）知，当()lnf 21()xxxeef时，0x，又 时， 时， ，故 ，所以 恒成1e0x10,xe0xe01xe()0fx立。因为 的定义域为 ，所以 的单调增区间 为 。()f(,)(,)()f (,（3）用数学归纳法证明：对任意 ，都有 。*nN10na当 时， ，由于 ，所以 ，即1n121,()l()afafee0ln(1)e。20假 设当 （ ）时结论成立，即 。因为 在 内为增函数，k*N10ka()fx,)且 0lim()xf（这里用到罗必塔法则，见知识拓展） ，所以0011linlilnxxee 01()kfa，即 。因此当 （ ）时结论也成立。21ka1nk*N由可知， 对任意 都成立。所以数列 为递减数列，且0k na恒成立。0na
