1、2016 年竞赛与自主招生专题第十三讲排列组合与二项式定理从 2015 年开始自主招生考试时间推后到高考后，政策刚出时，很多人认为，是不是要在高考出分后再考自主招生，是否高考考完了，自主招生并不是失去其意义。自主招生考察了这么多年，使用的题目的难度其实已经很稳定，这个题目只有出到高考以上，竞赛以下，才能在这么多省份间拉开差距.所以，笔试难度基本稳定，维持原自主招生难度，原来自主招生的真题竞赛真题等，具有参考价值。在近年自主招生试题中，排列组合、二项式定理是自主招生必考的一个重要内容之一。一、知识精讲1.分类加法原理（加法原理）: .12nNm2.分步计数原理（乘法原理）: .3.排列数公式:
2、= = .( ， N *，且 )注:规定 .mnP)1()n !()nmn1!04.排列恒等式 ：（1） ； （2） ； （3） ；1mn1nnP11mmnnP(4) .!3!()!5.组合数公式： = = = ( ， ，且 ).mnCPmn21)1()!)n*Nmn6.组合数的两个性质：(1) = ； (2) + = ；注:规定 .mnnC1mn10nC7.组合恒等式（1） ； （2） = ； （3） ； 1mnnCnr0n2 121rnrr C(4) ； 3541nnnnnC (5) ；12 12(6) ；nnnnn CC222120 )()()( 8.排列数与组合数的关系： .!mnnP
3、9.二项式定理： ;nrnrnnn bCabaCaCb 210)(二项展开式的通项公式： .rrnrT1 )0(， 1.几个基本组合恒等式： ； ； ；knk1kknn1kn；012nnC ； （范德蒙公式） 。02413512nnnnC 0qkqnmnC2.不尽相异的 个元素的全排列：在 个元素中，有 个元素相同，又另有 个元素相同，m1 2n。 。 。 。 ， 一直到另有 个元素相同，且 ，这 个元素的全排列叫做不尽相rn12rn异的 个元素的全排列。不难得到，此全排列数计算公式为： 。12!rmXn3.从 个元素里取 个元素的环排列：从 个不同元素中任取 个元素按照圆圈nmn()排列，这
4、种排列叫做从 个元素里取 个元素的环排列。如果元素之间的相对位置没有改nm变，它们就是同一种排列。把一个 个元素的环在 个不同的位置拆开，即得 个不同的线排列。由于 个不同元素中任务 个元素的排列方法 种，所以 个不同元素中任取Pmn个元素的环排列方法有 种。特别地， 个不同元素的环排列方法有 （种） 。mmnPn(1)!nP注：排列数 ，有些地方也记为 。mn mnA4.一次不定方程 的非负整数解的个数等于 （或 ） ；正整数解的12nxxr 1rnC1nr个数等于 （或 ） 。nrCrn5.错位排列问题：设集合 ，所有元素的一种全排列 ，满足,I 12,nt，则称这样的排列 为错位全排列。
5、用 表示 错位全(1,2)itn 12,nt nD1,2In排列总数，则 。!1()!3!nD6.排列、组合应用题常用的解法有：运用两个基本原理（加法原理、乘法原理） ；特殊元素（位置）优先考虑；捆绑法；插入法；排除法；机会均等法；转化法 。7.证明组合恒等式的常用方法有：赋值法；母函数法；构造组合模型法。3、典例精讲例 1 （2009 华南理工）在 的展开式中， 的系数为（ 221(1)()()nnnxx nx） 。（A） （B） （C） （D）(2)!n()!n(2)!n(2)!1n答案 A分析与解答：的系数nx120 12 212nnnnnnC C 。1 1222232()!nnnnnn
6、C 例 2 （2011“卓越联盟” ）数列 共有 11 项， ，且 。na10,4a1|,120ka满足这种条件的不同数列的个数为（ ）（A）100 （B）120 （C）140 （D）160分析与解答：依题意， 或 ，设有 个 1，则有 个-1，依题意知：1ka1kax0x，所以 。从而所有这样的数110921()()()a 4()7列个数为 。故选 B。732C例 3 （2006 复旦）对于一个四位数，其各位数字至多有两个不相同，试求共有多少个这种四位数？分析与解答：来源:Z.xx.k.Com显然，四位数全部相同的四位数恰有 9 个，下面考虑四位数字恰有两个不同数字的四位数，分三个步骤考虑：
7、第一步，先考虑千位数字，有 9 种可能取法：1,2,3， 。 。 。9第二步，再考虑百位、十位、个位上的数字，由于恰有两个不同数字，故除了千位数字外，再从 中选出 1 个数码。0,129第三步：前两步两个数码确定后，再对个位、十位、百位上的数字进一步确定；这三个位置上分别各有 2 种可选择性， 但要去掉一种情况：即个位、十位、百 位上的数码选出的都和千位数字完全相同，故有 种选法。(21)综上，共有四位数 个。9576例 4 （2007 复旦）三边均为整数，且最大边长为 11 的三角形共有（ ）个。（A）20 （B）26 （C）30 （D）36答案：D分析与解答：不妨设三边长为 ，且 ，则 。
8、,abcc1若 ， ，共 1 个；1a若 ，共 2 个；2,0,若 ，共 3 个；39b若 ，共 4 个；4,8,1a若 ，共 5 个；570若 ，共 6 个；来源:学科网 ZXXK6,9,b若 ，共 5 个；81a若 ，共 4 个；,0若 ，共 3 个；来源:学#科#网 Z#X#X#K9b若 ，共 2 个；1,a若 ，共 1 个。故共有 个。265436 例 5 （2010 同济）若多项式 ，则 210 9101()(1)()xaxaxx 9a。答案：-10分析与解答：考虑两边 的系数，易知 。再考虑两边 的系数，右边 。10x10a9x9910aCa左边 的系数为 0，所以 。99例 6
9、（2008 上海交大） 中 的系数为 2989(1)(1)()xx 3x。答案： 410C分析与解答：原式910()()()()xx121000CCx，故 的系数为 。23243109100109xx 3410C例 7 （2008 上海交大）通信工程中常用 元数组 表示信息，其中 或n123(,)na ia1（ ） 。设 ， 表示 和 中相对应的元素不,*inN123123(,),(,)nuavb ,duvv同的个数。（1） 问存在多少个 5 元数组 ，使得 ；(0,) (,)1（2） 问存在多少个 5 元数组 ，使得 ；1uv3duv（3）令 ，求证：123120(,),(,),(,)nnn
10、wuab 个。(,)(,)(,)duvd分析与解答：（1）满足条件的数组共有 个。15C（2）满足条件的数组共有 个。30（3）设 中对应项同时为 0 的共有 个，同时为 1 的共有 个，从而对应项一项为 1、一,uvms项为 0 的共有 个，这里 ，从而 。nmsns(,)duvnm而 ，得证。(,)(,)2(),2dws例 88 个女孩和 25 个男孩围成一圈，任何两个女孩之间至少站两个男孩，问共有多少种不同的排列方法（只要把圈旋转一下就重合的排法认为是相同的）.分析：以 1 个女孩和 2 个男孩为一组，且使女孩恰好站在两个男孩中间， 余下的 9 个男孩和这 8 个组被看成是 17 个元素
11、，显然这 17 个元素任意的圆排列是满足题意的分析： 先从 25 个男孩中选出 9 个男孩共有 种可能。其次，上述 17 个元素的圆排列925C数为 种. 再次，分在 8 个组内的 16 个男孩在 16 个位置上的排列是 ，所以 总的排列16p 16P方法数为：916255!9CP例 9 （2012“北约” ）求证:对任意的正整数 ， 必可表示成 的形式，其n(12)n1s中 。*sN分析与解答 ：由二项式定理， 123(12)()()()n nnnnCC。2435()(4nnC 而 ，所以123)(2)nnn，24(1()(2)nnnC，135(12)()2()()nnnnC 2 21(1)
12、()nn,12()()421nnnk为当 时，令 ，则 ，显然2nk2nnS 2()()1nnS，且 ；*SN2 2(12)()()()(1) 1nnnnn S当 时，令 即可。21nk2(12)()nnS来源:Z。xx。k.Com4、真题训练1.（2009 复旦）设有 个不同颜色的球，放入 个不同的盒子中，要求每个盒子至少有1nn一个球，则不同的放法有（ ）种。（A） （B） （C） （D）(1)!n()!1()!21()!2n2.（2008 复旦）在二项式 的展开式中，若前 3 项的系数成等差数列，则展开式124nx中有理项的项数为（ ）（A）2 （B）3 （C）4 （D）53.（2008
13、 复旦）二项式 的展开式中系数之比为 的相邻两项是（ ） 。10x3:68（A）第 29、30 项 （B）第 33、34 项 （C）第 55、56 项 （D）第81、82 项来源:学科网 ZXXK4.（2008 复旦）5 个不同元素 排成一列，规定 不许排第一， 不许排第二，(1,2345)ia1a2a不同的排法共有（ ）（A）64 种 （B）72 种 （C）78 种 （D）84 种5.（2008 复旦）设 是由三个不同元素组成的集合，且 是 的子集族，满足123,Aa TA性质：空集和 属于 ，并且 中任何两个元的交集和并集还属于 。问所有可能的 的个T T数为（ ） 。（A）29 （B）3
14、3 （C7）43 （D）596.（2007 复旦）将一个四棱锥的每个顶点染 上一种颜色，并使一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法的总数为（ ）（A）120 （B）260 （C）340 （D）4207.（2007 复旦）在 的展开式中有（ ）项为有理数。504(23)（A）10 （ B）11 （C）12 （D）138.（2007 复旦）在集合 中任选两个数作为椭圆 方程 中的 和 ，则能1,221xyabab组成落在矩形区域 内的椭圆个数是（ ）(,)|,|9xyy（A）70 （B）72 （C）80 （D）889.（2008 武大）某停车场内有序号为 1,2,3,4,5
15、的五个车位顺次排成一排，现在四辆车需要停放，若 两车停放的车位必须相邻，则停放方式种数为（ ） 。,BCD,A（A）120 （B）48 （C）24 （D）1210.（2006 复旦）在 的展开式中系数最大的项是（ ） 。102x（A）第 4,6 项 （B）第 5,6,项 （C）第 5,7 项 （D）第 6,7 项11.（2006 复旦）对所有满足 的 ，极坐标方程 表示的不同双15nm,n1cosnmC曲线条数为（ ） 。（A）6 （B）9 （C）12 （D）1512.（2006 武大）a,b,c,d,e 五人站成一排准备合影，如果 a 要求既不与 b 相邻，也 不与 c相邻，那么不同的排法有
16、（ ）（A）12 种 （B）24 种 （C）36 种 （D）72 种13.（2006 武大）设 是等差数列，从 中任取 3 个不同的数，使这三个数na12320,a仍能成等差数列，则这样不同的等差数列最多有（ ） 。（A）90 个 （B）120 个 （C）180 个 （D）200 个来源:学科网 ZXXK来源:学科网14.（2007 武大）如果 9 名同学分别到三个不同的工厂进行社会实践调查活动，每个工厂 3人，那么不同的分配方案共有（ ）（A） 种 （B） 种 （ C） 种 （D） 种396C396C396A396CA15.（2007 武大）一个口袋中装有大小相同的 3 个红球和 2 个白球
17、，从袋中每次至少取一个球，共 4 次取完，那么不同的取球方式共有（ ）（A）40 种 （B）28 种 （C）16 种 （D）10 种16.（2007 武大）在 的展开式中，各项系数之和是（ ） 。(12)(*)nxN（A）1 （B） （C）-1 （D）2n (1)n5、真题训练答案1.【答案】D【分析与解答】：由条件， 个盒子所放球只能为 1 个盒子放 2 个，其余 个盒子放 1n n个；其中放 2 个球盒子共有 种选法放在一起的 2 个球共有 种选法，其余 个球放在1nC个盒子中，共有 种选法。1n(1)!故不同放法共有 种。2(1)!nCn2.【答案】B【分析与解答】：由条件，前 3 项系
18、数分别为 1、 、 ，故12nC2n解得 。12(1),48nnC8n从而 ，其中 。要使1 34224188814112rr rrr rrrTxCxCx 08r为有理项，则 ，从而 ，故共有 3 项有理项。1r34rZ0,r3.【答案】B【分析与解答】： ，则11020,rrrrTCxx1010!3():3:6868!9r rC，故相邻两项为第 33、34 项。13068rr4.【答案】C【分析与解答】：若 排第一，共有 种排法；若 排第二，共有 种排法；若 排第一1a4!2a4!1a且 排第二，有 种排法。由容斥原理，共有 种不同排法。2a3! 5!43!108675.【答案】A【分析与解
19、答 】：按照集合 所含元素个数分类。T若 为二元集，即 ，共 1 个；T,A若 为三元集，有 、 、 、 、a2,a3,Aa12,a、 ，共 6 个；13,Aa23,若 为四元集，有 、 、 、T12,A13, 23,、 、 、 、212, 33a32Aa1Aa、 ，共 9 个；3,Aa12,若 为五 元集，有 、 、T13,A2123,、 、 、31323,a22,a31Aa，共 6 个；2,Aa若 为六元集，有 、 、T12123,A131213,a、 、12123,a123aa2,A、 ，共 6 个；2,a213,若 为七元集，不存在集合满足要求；T若 为八元集，即 ，共 1 个。123
20、12313,Aaaa故共有 个。16996.【答案】D【分析与解答】：若用五种颜色，则共有 种方法；若用四种颜色，共有50P种方法；若用三种颜色，由于四个侧面中任一个面确定下来，其余也随之43520CP确定，故共有 种方法。从而不同染色方法共有 种。356124062来源:Z|xx|k.Com来源:学科网7.【答案】D【分析与解答】： ，要使其为有理数，则25504 4150 0(2)(3)(1)3rrrrrrTCC2|,4r。又 ，故 ，从而共有 13 项为有理数。|0r,48r8.【答案 】B【分析与解答】：对椭圆 ，有 ，故落在矩形区域21xyab|,|xayb内的椭圆 满足 且 ，故共
21、 有 个。(,)|1,|9xyy,0,8108729.【答案】B【分析与解答】： 可停在 共有 4 种可能，且 可互换位置；,AB1,23,4,5,AB可停在余下 3 个位置，共有 种可能。故停放方式共有 种。,CDP2348P10.【答案】C【分析与解答】： ， 为偶210 202031 11()()()rrrrrrrrTCxCxCx 数时 ， 为奇数时 ，又 ，故 或 6 时， 最大，即为第10rT1r4610410r5、7 项。11.【答案】A【分析与解答】：离心率 ，故 ，从而 ，1nmeCn(,)2,1(3),4(5,1)2,()m共有 6 条。12.【答案】C来源:学.科.网 Z.
22、X.X.K【分析与解答】：若 相邻，将 看成整体，共有 种排法；若 相邻，同理,ab,ab4!28,ac也有 48 种排法；若 相邻且 相邻，则将 看成整体，有 种，又 可换，故此c,c3!b时共有 种排法。从而所求排法数为 种。3!215!81613.【答案】C【分析与解答】：易知 成等差数列当且仅当 成等差数列，即 ，,pqsa,pqs2()psqs即只要 与 同奇偶就对应 1 个等差数列。ps令 ，则 、 同属于 A 或同属于 B，从而不同等差数1392420,ABa 列共有 个。208P14.【答案】A【分析与解答】：9 个人中先选 3 个人到第一个工厂，再在余下 6 个人中选 3 个人到第二个工厂，那么剩下的 3 个人去第三个工厂，共有 种方案。396C15.【答案】B【分析与解答】：4 次中有 1 次取 2 个球，则这一次共有 4 种可能。所取 2 个球若为 2 个白球，则剩下 3 个红球，只有 1 种可能；若所取为 2 个红球则剩下 1 个红球和 2 个白球，可能为红、白、白或白、红、白或白、白、红，有 3 种可能；若所取为 1 个红球 1 个白球，则剩下 2 个红球和 1 个白球，同理有 3 种可能。故不同的取球方式有 种。4(3)816.【答案】D【分析与解答】：设 ，令 ，得 。201(12)n nxaxax 101(1)nna
