1、2016 年竞赛与自主招生专题第十四讲 概率统计、随机变量从 2015 年开始自主招生考试时间推后到高考后，政策刚出时，很多人认为，是不是要在高考出分后再考自主招生，是否高考考完了，自主招生并不是失去其意义。自主招生考察了这么多年，使用的题目的难度其实已经很稳定，这个题目只有出到高考以上，竞赛以下，才能在这么多省份间拉开差距.所以，笔试难度基本稳定，维持原自主招生难度，原来自主招生的真题竞赛真题等，具有参考价值。在近年自主招生试题中，排列组合、二项式定理、概率统计是自主招生必考的一个重要内容之一。一、知识精讲一随机事件的概率1.随机事件在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，随机事件一般用大写
2、英文字母等来表示；AB、2.确定事件（1）必然事件：在一定条件下必然要发生的事件；（2）不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件；必然事件和不可能事件合起来称为确定事件。3.事件 A 的概率：在大量重复进行同一试验时，事件 A 发生的频率 总接近于nm某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件 A 的概率，作 P（ A）.由定义可知 0 P（ A）1，显然必然事件的概率是 1，不可能事件的概率是0。4.等可能性事件的概率：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件，通常此试验中的某一事件 A 由几个基本事件组成。如果一次试验中可能出现的结果有 n 个，即此试验由 n 个基本事件
3、组成，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一基本事件的概率都是 。如果某个事件 A 包含的结果 有1m 个，那么事件 A 的概率 P（ A）= 。nm说明：使用公式 P（ A）= 计算时，确定 m、 n 的数值是关键所在，其计算方法灵活多变，没有固定的模式，可充分利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理,必须做到不重复不遗漏。二互斥事 件的概率1.相关概念（1）互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件；（2）对立事件：其中必有一个发生的互斥事件叫对立事件。2.对于互斥事件要抓住如下的特征进行理解：（1）互斥事件研究的是两个事件之间的关系；（2）所研究的两个事件是在一次试验中涉及的；
4、（3）两个事件互斥是从试验的结果不能同时出现来确定的。从集合角度来看， A、 B 两个事件互斥，则表示 A、 B 这两个事件所含结果组成的集合的交集是空集。对立事件是互斥事件的一种特殊情况，是指在一次试验中有且仅有一个发生的两个事件，集合 A 的对立事件记作 ，从集合的角度来看，事件 所含结AA果的集合正是全集 U 中由事件 A 所含结果组成集合的补集，即 A =U， A =.对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件。2.事件 A、 B 的和记作 A+B，表示事件 A、 B 至少有一个发生.当 A、 B 为互斥事件时，事件 A+B 是由“ A 发生而 B 不发生”以及“ B 发生而
5、A 不发生”构成的，因此当 A 和 B 互斥时，事件 A+B的概率满足加法公式： P（ A+B）= P（ A）+ P（ B）（ A、 B 互斥） ，且有 P（ A+ ）= P（ A）+ P（ ）=1。当计 算事件 A 的概率 P（ A）比较困难时，有时计算它的对立事件 的概率则要容易 些，为此有 P（ A）=1 P（ ） 。对于 n 个互斥事件 A1， A2，A n，其加法公式为 P（ A1+A2+An）=P（ A1）+ P（ A2）+ P（ An） 。说明：分类讨论思想是解决互斥事件有一个发生的概率的一个重要的指导思想。三独立事件的概率1.相关概念（1）相互独立事件：事件 A 是否发生对事件
6、 B 发生的概率没有影响，这样的两个事件叫相互独立事件。（2）独立重复实验：如果在一次试验中某事件发生的概率为 p，那么在 n 次独立重复试验中，这 个事件恰好发生 k 次的概率为 Pn（ k）=C pk（1 p） n k。n2.关于相互独立事件也要抓住以下特征加以理解：（1）相互独立也是研究两个事件的关系；（2）所研究的两个事件是在两次试验中得到的；（3）两个事件相互独立是从“一个事件的发生对另一个事件的发生的概率没有影响”来确定的。注意互斥事件与相互独立事件是有区别的：两 事 件 互 斥 是 指 同 一 次 试 验 中 两 事 件 不 能 同 时 发 生 ， 两 事 件 相 互 独 立 是
7、 指不 同 试 验 下 ， 二 者 互 不 影 响 ； 两 个 相 互 独 立 事 件 不 一 定 互 斥 ， 即 可 能 同 时 发 生 ，而 互 斥 事 件 不 可 能 同 时 发 生 。3.事件 A 与 B 的积记作 AB， AB 表示 A 与 B 同时发生。当 A 和 B 是相互独立事件时，事件 AB 满足乘法公式 P（ AB）=P（ A） P（ B） ，还要弄清 ， 的区别。 表示事件 与 同时发生，因此它们的对立事件 A 与 B 同时不发生，也等价于 A 与 B 至少有一个发生的对立事件即 ，因此有 ，但 = 。 1.离散型随机变量的分布列：一般地，设离散型随机变量 可能取的值为，
8、 取每一个值 （ ）的概率 ，则称下表为12,ix ix1,2 ()iiPxp随机变量 的概率分布，简称为 的分布列。1x2xixPpp ip2.数学期望：一般地，若离散型随机变量 的概率分布为来源:学科网1x2xnxPppp则称 为 的数学期望（平均数，均值） ，简称为期12nExpxp 望。它反映了离散型随机变量取值的平均水平。若 （二项分布） ，则(,)Bnp:。n3.二项分布：（1）定义： 如果在一次试验中某事件发生的概率是 ，那么在 次独立重复试Pn验中这个事件恰好发生 次的概率是： （其中k()knCpq） 0,1knqp ，于是得到随机变量 的概率分布如下：我们称这样的随机变量
9、服从二项分布，记作 ，其中()B为参数，并记 .,np(;)knCpqBkp（2）二项分布的判断与应用.二项分布，实际是对 次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行 次独n立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布.当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.4.几何分布：“ ”表示在第 次独立重复试验时，事件第一次发生，如果kk把 次试验时事件 发生记为 ，事 不发生记为 ，那么kAkAk.根据相互独立事件的概率乘法分式：121()()kP于是得到随机变量
10、 的1(,23)kkPqp 概率分布列. 1 2 3 kPq p2q 1qp我们称 服从几何分布，并记 ，其中1(,)kgpq1,23qpk，5.几何概型（1）定义：如果每个事件发生的概率只与构成事件区域的长度、面积或体积成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型（2）在几何概型中，事件 的概率的计算公式为：A()P构 成 事 件 的 区 域 长 度 面 积 或 体 积试 验 的 全 部 所 构 成 的 区 域 长 度 面 积 或 体 积（3）古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个（4）几何概型的两个特征
11、：试验结果有无限多； 每个结果的出现是等可能的事件 可以理解为区域 的某一子区域，事件 的概率只与区域 的度量AAA（长度、面积或体积）成正比，而与 的位置和形状无关（5）解决几何概型的求概率问题关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率3、典例精讲例 1 （2009 复旦）某种细胞如果不能分裂则死亡，并且一个细胞死亡和分裂为两个细胞的概率都为 。现有两个这样的细胞，则两次分裂后还有细胞存活的12概率是（ ） 。（A） （B） （C） （D）396456431642964分析与解答：先考虑一个母细胞，两次分裂后还有细胞存活的概率。这个概率应是 。1328故两个这
12、样的细胞，两次分裂后还有 细胞存活的概率为 ，2391864选 A。例 2 （2012 复旦）随机任取一个正整数，则它的 3 次方的个位和十位上的数字都是 1 的概率是（ ） 。（A） （B） （C） （D）519110答案：D分析与解答：首先，一个正整数的三次方的个位数是 1 的正整数个位数字也必须是 1.其次可试得 1-100 中只有 71 符合要求。而且末两位是 71 的均符合要求。故选 D。例 3体育彩票的抽奖是从写在 36 个球上的 36 个号码随机摇出 7 个有人统计了过去中特等奖的号码，声称某一号码在历次特等奖中出现的次数最多，它是一个幸运号码，人们应该买这一号码，也有人说，若一
13、个号码在历次特等奖中出现的次数最少，由于每个号码出现的机会相等，应该买这一号码，你认为他们 的说法对吗？分析与解答：来源:Z+xx+k.Com体育彩票应本 36 个号码的 36 个球大小、重量等应该是一致的，严格说，为了保证公平，每次用的 36 个球，应该只允许用一次，除非能保证用过一次后，球没有磨损、变形，和没有用过的球一样因此，当你把这 36 个球看成每次抽奖中只用了一次时，不难看出，以前抽奖的结果对今后抽奖的结果没有任何影响，上述两种说法都是错的例 4 （2011 复旦）在半径为 1 的圆周上随机选取 3 点，它们构成一个锐角三角形的概率是（ ）（A） （B） （C） （D ）12314
14、15答案：C分析与解答：如图一，若 为锐角三角形，当且仅当 的长度均小于 。ABC:,AB不妨设 ，则 为锐角三角形的充要条件是:,xyzC20,xyz由于 ， 即为一个三角形 MNP 平面（如图二） ，且,0xyz2xyz对应的点是是三条中位线围成的小三角形。故由几何概率模型知，0所求构成锐角三角形的概率为 。故选 C。14来源:Zxxk.Com图一： 图 二：例 5 （2012“华约” ）系统内有 个元件，每个元件正常工作的概率为 ，21kp，若有超过一半的元件正常工作，则系统正常工作，求系统正常工作01p的概率 ，并讨论 的单调性。kPk分析与解答：个元件中，恰有 个正常工作，求系统正常
15、工作的概率 ；21 121()kkCp恰有 个元件正常工作的概率为 恰有 个元件正常k122(),kkCp工 作的概率为 。故 。210()kCp 2121()kiikiiPp当有 个元件时，考虑前 个元件，为使系统正常工作，前2个元件中至少有 个元件正常工作。21k前 个元件中恰有 个正常工作，它的概率为 。1k12()kkCp此时后两个元件必须同时正常工作。所以这种情况下系统正常工作的概率为；122()kkCpp前 个元件中恰有 个正常工作，它的概率为 ，此k 121()kkp时后两个至少有一个正常工作即可。所以这种情况下系统正常工作的概率为。1221()()kkpp前 个元件中至少有 个
16、元件正常工作，它的概率为1k。此时系统一定正常工作。121()kkPC故A B Czxy(0,2)M(0,2)P(2,0)N21 21 11 121()1()()()kkkkkkkPpCpCpPCp 。（这里用到11221()()()kkk ）21222()(1)kkpCpp1)(k。2(1)(k故，当 时， ；pkP当 时， ；021当 时， 。来源:Zxxk.Com1k例 6 （2011“华约” ）投掷一枚硬币（正反等可能） ，设投掷 次不连续出现三n次正面向上的概率为 ，nP（1）求 ；1234,（2）写出 的递推公式，并指出单调性；n（3） 是否存在？有何统计意义。limP分析与解答：
17、（1）显然 ， ；又投掷四次连续出现三次正面向上的情况123178只有：正正正正或正正正反或反正正正，故 。4316P（2）共分三种情况：如果第 次出现反面，那么前 次不出现连续三次正面nn和前 次不出现连续三次正面是相同的，所以这个时候不出现连续三次正面1n的概率是 ；如果第 次出现正面，第 次出现反面，那么前 次不1nP1n出现连续三次正面和前 次不出现连续三次正面是相同的，所以这个时候不2出现连续三次正面的概率是 ；如果第 次出现正面，第 次出现正214npn1面，第 次出现反面，那么前 次不出现连续三次正面和前 次不出现连2n 3n续三次正面是相同的，所以这时候不出现三次连续正面的概率
18、是 。8P综上， ， 。123(4)248nnnnPP123471,86PP由上知， ，所以1，- ，有1234,(5)nnnn24(5)6P所以 时， 单调递减，又易见 。nP1234P（3）由（2）知 时， 单调递减，且显然有下界 0，所以 的极限存在，3 nP对 两边同时取极限可得 。146nnPlimn其统计意义：当投掷的次数足够多时，不出现连续三次正面向上的次数非常少，两者鼻子和趋近于零。来源:学_科_网注：本题第三问用到了下面定理：单调递增（或递减）且有上界（或下界）的数列必有极限。例 7 （2011“卓越联盟” ）一袋中有 个白球和 个黑球。从中任取一球，如果ab取出白球，则把它
19、放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，另补一个白球放到袋中。在重复 次这样的操作后，记袋中白球的个数为 。n nx（1）求 的数学期望 ；1x1Ex（2）设 ，求 ；()nkPap1(),01,nPakb（3）证明： 的数学期望 。1nx1nnxEx分析与解答：（1） 时，袋中白球的个数可能是 个（即取出的是白球） ，概率为 ；aab也可能为 个（即取出的是黑球） ，概率为 ，故1ab。21()bExa（2）首先 ； 时，第 次取出来有 个白球的10nPxP1knak可能性有两种：第 次袋中有 个白球，显然 每次取球后，球的总数保持不变，即ak个， （故此时黑球有 个。 ）第 次取出来的也
20、是白球，这种情况发生abbk1n的概率为 。kaP第 次袋中有 个白球，第 次取出来的是黑球，由于每次球的总n1数为 个，故此时黑球的个数是 。这种情况发生的概率为k。1,()kbka故 。1 1(1)nkkabPxPa（3）第 次白球的个数 的数学期望 分为两类：nxnEx若第 次取出来的是白球，由于每次白球和黑球的总个数是 ，这种情ab况发生的概率是 ，此时白球的个数的数学期望为 ；nEabnx若第 次取出来的是黑球，这种情况发生的概率是 ，此时白球1n nE的个数变为 。x故 2 221 ()()()(11(1nnnnnnnEabExxExExxx ababab。1nnxab例 8 （2
21、010 五校联考）已知基因型为 AA、Aa、aa 的比例为 ，且:2uvw。2uvw（1）求子一代 AA、Aa、aa 的比 例；（2）子二代与子一代比例是否相同？分析与解答：（1）父亲的基因有 AA、Aa、aa 三种情况，母亲的基因也有 AA、Aa、aa 三种情况，故搭配起来有 9 种情况，我们把它列表如下：父母 AA,AA AA,Aa AA,aa Aa,AA Aa,Aa Aa,aa aa,AA aa,Aa aa,aaAA u2 uv 0 uv v2 0 0 0 0Aa 0 uv uw uv 2v2 vw wu wv 0aa 0 0 0 0 v2 vw 0 wv w2我们把每行数据相加可得 2
22、2 2:():():()Aauvuwwv2):(v这就是子一代三种基因型的比例。（2）设 ，上式即 ，且 。由于,uvxwy22:xy1xy，将 分别看成 ，则由（1）的结论可知，子二代21xy2,uvw的 AA、Aa、aa 的比例为2222():():()xyxyxy(2222():):()xyxyxy:故子二代与子一代比例相同。注：这是一道源自生物学的概率问题，凸现了自主招生考试中注重数学知识和其他科目的整合，考查学生应用数学知识解决问题的能力。4、真题训练1.（2008 复旦）一批衬衣中有一等品和二等品，其中二等品率为 0.1.将这批衬衣逐渐检测后放回，在连续三次检测中，至少有一件是二等
23、品的概 率为（ ） 。（A）0.271 （B）0.243 （C）0.1 （D）0.0812.（2007 复旦）设甲、乙两 个袋子中装有若干个均匀的白球和红球，且甲、乙两个袋子中的球数为 1:3.已知从甲袋中摸到红球的概率为 ， 而将甲、乙两个13袋子中的球装在一起后，从中摸到红球的概率为 。则从乙袋中摸到红球的概2率为（ ）（A） （ B） （C） （D）7919451302453.（2006 复旦）复旦大学外语系某年级举行一次英语口语演讲比赛，共有十人参赛，其中一班有三位，二班有两位，其他班有五位。若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班的三位同学恰好演讲序号相连。问二班的两位同学的演讲序
24、号不相连的概率是（ ）（A） （B ） （C） （D）1201401601904.（2006 武大）一个容量为 20 的样本数据，分组后，组距与频数如下：组距 (10,20 (20,30 (30,40 (40,50 (50,60 (60,70频数 2 3 4 5 4 2则样本在 上的频率为（ ） 。(10,5（A） （B） （C） （D）14127105.（2007 武大）某工厂新招了 8 名工人，其中有 2 名车工和 3 名钳工，现将这8 名工人平均分配给甲、乙两个车间，那么车工和钳工均不能分到同一车间的概率是（ ）（A） （B） （C） （D）1235635135956.（2009 华南理
25、工）甲、乙两人下围棋，下三盘棋，甲：平均能赢两盘，某日，甲、乙进行五打三制胜赛，那么甲胜出的概率为 。7.（2003 同济）从 1-100 这 100 个自然数中取 2 个数，它们的和小于等于 50的概率是 。8.（2007 上海交大）6 名考生坐 在两侧各有通道的同一排座位上应考，考生打完试卷的先后次序不定，且每人答完后立即交卷离开座位，则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为 。9.（2004 同济）从 0,1,2， 。 。 。9 这 10 个数码中随机抽出 5 个，排列成一行，则恰好构成可以被 25 整除的五位数的概率是 （用分数给出答案） 。10.（2008 南大）设
26、 是随机事件，且 。则,AB11(),(),()842PABPA。()PAB11.（2010 浙大）甲乙两人轮流掷硬币，第一局甲先掷，谁先掷出正面谁就胜，上一局的负者下一局先掷。问：（1）任意一局甲胜的概率；（2）第 局甲胜n的概率。12.（2007 武大）从一个装有三个红球、两个白球的口袋中任取两球放入一个箱子中。（1）求箱子中两球都是红球的概率；（2）记“从箱子中任意取出一球，然后放回箱子中”为一次操作，如果操作三次，求恰有两次取到红球的概率。13.（2012“卓越联盟” ） ，求：21:,(1,2345),:CyaxbCxy（1） 有交点的概率 ；（2）求交点个数的数学期望 。12,C(
27、)PA()EA来源:Zxxk.Com5、真题训练答案1.【答案】A来源:学科网【分析与解答】：考虑三次检验中，没有一件是二等品的概率是，故所求概率为 。3(10.).72910.729.12.【答案】A【分析与解答】：设甲袋共有 个球，则乙袋中有 个球，且甲袋中红球有x3x个，而甲、乙两袋共有红球 个，故乙袋中有红球3x 8(3)个，从而所求概率为 。81779x3.【答案】A【分析与解答】：先排一班和其它班，将一班 3 人看成整体共有 种排法，又6P3 人内部有 种可能，再将二班两位 同学插在 7 个空隙中，有 种可能，从而! 27所求概率为 。627103P4.【答案】D【分析与解答】：所
28、求频率为 34572015.【答案】C【分析与解答】：不妨设甲车间有 2 名钳工，则甲车间有 1 名车工、2 名钳工，还有 1 名其他工人，这时共有 种方法；同理，若乙车间有 2 名钳工，113C也有 种方法。故所求概率为213C2134856.【答案】 648【分析与解答】：分三种情况讨论：打满五盘甲胜出有 6 种情况。记“”表示甲胜， “”表示乙胜，即有；。概率为：；32168打四盘甲胜出有 3 种情况，即；。概率为；327打三盘甲胜出只有 1 种情况，即，概率为 。3287所以甲胜出的概率为： 。68642717.【答案】 43【分析与解答】：设取 2 个数为 ，且设 ，由,ab。505
29、04abab若 ，共 48 种；若 ，共 46 种；若1,38 2,34,8，共 2 种。24,5,6ab故所求概率为 。来源:Zxxk.Com2210104843C8.【答案】 35【分析与解答】：要不打扰考生则必须每次在两旁的人离开，即每次有 2 种选择，故共有 种可能，故所求概率为 。52524316!9.【答案】 1360【分析与解答】：末两位只能是 25、50 或 75.对于末两位为 25 或 75，若含有 0，则有 个，若不含 0，则有 个，127P 37P从而共有 个符合要求的五位数。1237()P对于末两位为 50，共有 个符合要求。38P从而所求概率是 。1237850()1
30、6010.【答案】 18【分析与解答】： ，而()()PAB。()PABPAB3184211.【分析与解答】：（1）3112n 。4（2）设第 局甲胜的概率为 ，则nnP，其中 ，112()33nnP123，故12nn132nnP。 113n n12.【分析与解答】：（1） 。来源:Zxxk.Com2350CP（2）取出两球必须是一红一白， 。1321359()4013.【分析与解答】：（1）设圆心 到直线 的距离为 ，若(0,)axybd有交点，则 。 时， ；12,C22 1)1bdba1,2345a时， ； 时，b,345a,3； 时， ； 时， 。共 种情况；所4,5,b45a43219以 。19()25PA（2）交点个数为 0 时，直线与圆相离，有 6 种情况；交点个数为 1 时，直线与圆相切， ，只有 ；2(1)ba1,2ab交点个数为 2 时，由（1）知直线与圆相交，有 18 种情况。所以 。61837()055EA
