1、38 第 10 讲尖子班教师版满分晋级新课标剖析当前形势 计数原理在近五年北京卷(理) 考查 5 分要求层次内容A B C具体要求分类加法计数原理、分步乘法计数原理 高考要求 加法原理、乘法原理用分类加法计数原理与分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题理解加法原理与乘法原理,并会运用它们分析和解决一些简单的实际问题会用两个原理计算一些简单的随机事件的概率2010 年(新课标) 2011 年(新课标) 2012 年(新课标) 2013 年(新课标)北京高考解读 第 4 题 5 分 第 12 题 5 分 第 6 题 5 分 第 12 题 5 分第 10 讲 与计数原理相关的概率问题概率与统计 8
2、级排列与组合强化训练概率与统计 7 级与计数原理相关的概率问题概率与统计 6 级概率与统计考点归纳知识切片10.1 加法原理与乘法原理知识点睛1分类加法计数原理:做一件事,完成它有 类办法,在第一类办法中有 种不同的方法,在第二n1m类办法中有 种方法,在第 类办法中有 种不同的方法那么完成这件事共有2mnm种不同的方法又称加法原理1nN例:某大学食堂分四种风味的窗口,陕西风味窗口有 种选择,山西风味窗口有 种选择,84四川风味窗口有 种选择,广州风味窗口有 种选择,从中任选一种,有_种不同的方612法【解析】 8412302分步乘法计数原理:做一件事,完成它需要分成 个子步骤,做第一个步骤有
3、 种不同的方法,n1m做第二个步骤有 种不同方法,做第 个步骤有 种不同的方法那么完成这件事共有2mnm种不同的方法又称乘法原理12nN汽车牌照一般从 个英文字母、 个阿拉伯字母中选出若干个,并按照适当的顺序排列610而成目前使用的九二式机动车号牌由地区简称的中文与发牌机关代码的英文字母,以及五位号码组成比如“苏 A-12345”, “苏”代表江苏省,A 是南京市公安局车辆管理所发牌代码,代表此车是由南京市公安局车辆管理所发牌后面五位数是序号原则上,五位序号会从40 第 10 讲尖子班教师版00000(某些地区从 00001 开始,以下不特别说明)开始按数字顺序发牌直到 99999,这样的牌照
4、共有 10 万个超过这个数字就采用英文字母为字首,从 A0000 开始排到A9999,再接着 B0000 到 B9999,以此类推到 Z9999如果这 24 万个号码再满的话(为了避免与数字混淆,某些字母不能用,可能用的字母通常有 个) 24接下来有两种方式接着编号,其一是把英文字母放在第二位,从 0A000 排列到 0A999,再接着 1A000 到 1A999,一次类推到 9Z999第二种是前两位都使用英文字母,从AA000 到 AA999,再到 AB000-AB999,以此类推到 AZ999 后开始 BA000-BA999、BB000-BB999 ,一路延伸到 ZZ999,如果这样数字还
5、满了的话,接着就采用英文字母放在第三位的了,如杭州市,从 00A00 排列到 99Z99再往下?英文放第四位、第五位了,不是开玩笑,广东有些地区的摩托车牌已经这么排了 (当然这只是一般规律,很多地方是不用这个顺序的 )下面我们用一个简化的北京的车牌来作一些计算:原来的车牌一般都是:地区简称+地区代码+5 位车号,如京 A12345一般来说第二位的字母是有一定意义的,如京 B 是出租车,京 O 是公安部的车;京 Y 是郊区户籍车,说 V 是中央直属部车京 Z 一般没用过,为了简单起见,假设第二位可用的字母有十个后五位中的字母可用的有 个241请问北京汽车保有量超过多少时,就再也没有车牌用了?答案
6、:10 万2如果后五位车号的第一位可以是数字或字母,可能有多少不同的车牌?答案:分两类:第一位为数字,第一位为字母: 万102453如果后五位车号的任意一位都可以是数字或字母,但后一位中只含一个字母,有多少种不同的车牌?答案:分两类:五位都为数字,第一、二、三、四、五位为字母: 万10245304在 2009 年时,北京汽车后五位由只含一个字母变成了可以含有两个字母,有多少种不同的车牌?答案:第一位为数字: 万;有一个字母: 万;有两个字母:10120选定两个位置有十种方法,选定后共有 种,共有 万;410576从而共有 万76北京现在的汽车保有量已经突破 万,车牌后五位的字母与数字的要求更加
7、宽松520经典精讲加法原理与乘法原理是计数原理中最基本的原理,很好地理解与应用这两个定理可以解决很多计数的问题加法原理的主要思想是分类,乘法原理的主要思想是分步分类是指每一种方法都可以独立完成一个事件,分步是把一件事情每一步都必须执行,相互之间不可替代,当一个问题不能划分成清晰的步骤时,可以需要根据情况先进行分类,再就分类情况进行分步【例 1】 从 地到 地有 趟对开飞机, 趟对开列车AB38从 地到 地有多少种不同的方式?从 地到 地,再从 地回到 地,A如果先坐列车,后坐飞机,有多少种不同的方式?如果不限制出行工具的选择,有多少种不同的方式?如果最多坐一趟飞机,有多少种不同的方式?【解析】
8、 ;381 ; ; 241283812【备选】若 、 是正整数,且 ,则以 为坐标的点共有多少个?ab6ab(),ab若 、 是整数,且 , ,则以 为坐标的不同的点共有多少个?xyx7y,xy【解析】 坐标共有: 个15共有: 个9【铺垫】用 这 个数字,12345, , , ,可以组成_个数字允许重复的四位数可以组成_个数字不重复的四位数可以组成_个数字不重复的四位偶数【追问】可以组成_个大于 的数字不重复的四位数130可以组成_个小于 的数字不重复的四位数2【解析】 个.625个.10个48【追问】共有 个1共有 个30【例 2】 用 这 个数字,1245, , , , , 6可以组成_
9、个数字允许重复的三位数可以组成_个数字不允许重复的三位数可以组成_个数字不允许重复的三位奇数可以组成_个大于 ,小于 的数字不重复的四位数30542142 第 10 讲尖子班教师版【追问】能被 5 整除的数字不允许重复的三位数有_个;能被 3 整除的数字不允许重复的三位数有_个【解析】 个180 个 个4共有 (个) 175【追问】 ; 3640【例 3】 个高一学生准备寒假各去一所大学考察,现有剑桥大学、巴黎高等师范学校、麻省理工5学院三所学校可供选择,问一共有多少种不同的选择方式?如果这三所学校每个学校都只有一个参加活动名额,这个名额会随机地分配给这五名学生中的一个,有多少种不同的名额分配
10、方式?【解析】共有 种125【备选】 将 封信投入 个邮筒,有多少种不同的投法?43 三位旅客到 个旅馆住宿,有多少种不同的住宿方法?【解析】 种3 种【点评】 对于可重复问题,所得结果往往发生 与 之间的混淆,正确解答问题的关键在于弄清做mnn什么事情,在完成事情的过程中是“谁选择谁”, “若 某选择 某, ”则答案应该是 例如pqpq中做的事情是把信投入到邮筒,是信选择邮筒,在这里面 是 , 是 ,所以答案43是 一般利用分步计数原理来求43本题可以作为例 3 的练习与巩固10.2 利用两个原理解决概率问题在上一讲中我们已经学习过古典概型,知道古典概型的问题可以列出基本事件空间,去计算一些
11、相关的概率但对于一些更复杂的古典概型问题,列出基本事件空间再去统计数据比较复杂,而应用计数原理直接去计算就简单得多了这部分内容大部分学校不会在这个时候系统学习,会在选修 2-3 中再进行学习,我们安排在这时利用最基本的两个原理去计算事件数,可以更好地理解基本事件,同时熟悉使用互斥事件的概率加法公式,以及对立事件的概率和为 的关系可以处理更多的概率1问题可以以下面的铺垫为引入,体会两个原理带来的计算上的便利经典精讲【铺垫】将一颗质地均匀的骰子先后抛掷两次,分别观察骰子落地时朝上的点数两次的点数都为偶数的概率为多少?两次的点数不同的概率为多少?至少出现一次 点朝上的概率为多少?5【解析】 ;14
12、;56 3【例 4】 将一颗质地均匀的骰子先后抛掷 3 次,分别观察骰子落地时朝上的点数三次的点数都为偶数的概率为多少?三次的点数互不相同的概率为多少?至少出现一次 5 点向上的概率为多少?【追问】求有且只有两次落地的点数相同的概率【解析】 18 ;59 126【追问】51【例 5】 袋中装有红、黄、白 种颜色的球各 只,从中每次任取 只,有放回地抽取 次,求:3213 只全是红球的概率;3 只颜色全相同的概率; 只颜色不全相同的概率; 只颜色全不相同的概率【解析】 ;12744 第 10 讲尖子班教师版 19 ,8 2【铺垫】一个盒子里装有标号 , , , 的标签,今随机地选取两张标签,12
13、 10如果标签的选取是无放回的,求两张签上的数字为相邻整数的概率;标签的选取是有放回的,求两张标签上的数字为相邻整数的概率【解析】 ;15 90求抽出的两张标签中第二张标签上的数比第一张标签上的数大的概率分别是多少?放回时:此事件包含的基本事件有 个,故概率为 ;12945 451902不放回时,概率为 459102【例 6】 有十张卡片,分别写有 、 、 、 、 和 、 、 、 、 ,ABCDEabcde从中任意抽取一张,求抽出的一张是大写字母的概率; 求抽出的一张是 或 的概率;Aa若从中先后抽出两张,求抽出的两张都是大写字母的概率;求抽出的两张不是同一个字母的概率;求抽出的两张卡片上的字
14、母(不分大小写)是按字母顺序相邻的概率【解析】 ;12 ;5 ;9 8 45【例 7】 某地区发行 万张彩票,号码是 位,从 至 ,号码末位为 、 时获纪念1050905奖,末两位为 、 获四等奖,末三位为 、 获三等奖,末四位为 、 时获6521765321876二等奖,五位数字为 、 时获一等奖,并且规定每一张彩票有一次中奖机会,仅4321098765取最高奖项,不兼中兼得,试分别求出获一等奖、二等奖、三等奖、四等奖以及全部奖项时的概率某城市开展体育彩票有奖销售活动,号码从 到 ,购买时揭号对奖,若规定09从个位起,第一、三、五位是不同的奇数,第二、四、六位均为偶数(可以相同)时为中奖号码
15、,求任意买一张彩票,中奖的概率为多少?【解析】 150.7%【备选】甲乙两人各有相同的小球 个,在每人的 个小球中都有 个标有数字 , 个标有数字 ,10105132个标有数字 两人同时分别从自己的小球中任意抽取 个,23 1若规定:若抽取的两个小球上的数字相同,则甲获胜,否则乙获胜,求乙获胜的概率若规定:抽取的两个小球上数字之和大于 ,则甲获胜,否则乙获胜,求乙获胜的概率3【解析】 故乙获胜的概率为 150所求概率为 2【例 8】 赵小雪手中有五把钥匙,但忘记了开门的是哪一把,只好逐把试开, 赵小雪恰在第三次打开房门的概率是多大? 赵小雪三次内打开房门的概率是多大?【解析】 ;15 3【点评
16、】对于概率问题来说,可以选择不同的基本事件,降低概率计算的复杂性例如,某人有 把5钥匙,其中 1 把是办公室的抽屉锁钥匙,但他忘了是哪一把了,于是他将 5 把钥匙逐一不重复试开问恰好第 3 次打开抽屉锁的概率是多少?解决此问题,可以把“5 把钥匙在 5 个位置上的每一种情况”当成基本事件,这样的基本事件共有 个,而恰好第 3 次找开抽屉锁的事件有4210个,故所求概率为 43215也可视 5 把钥匙任选 3 把的每一种情况为基本事件,于是基本事件空间有 种54360情况,而第 3 把恰好是打开门的那把包含的事件为 种,故所求概率4312为 126046 第 10 讲尖子班教师版还可以视第 3
17、次用哪一把钥匙试开为基本事件,此时基本事件空间只有 5 个基本事件,而恰好打开抽屉锁的基本事件就只有 1 个,从而所有概率直接就是 1当然以上三种方法中的基本事件发生的概率都是相等的,不同的等可能角度只是降低了概率计算的难度,不会改变事件的概率如果基本事件不是等可能的,答案就会出问题,比如先后抛掷两次骰子,观察落地的点数的和,就不能认为落地点数的和为 为等可能事件231, , ,【备选】一部小说共六卷,六卷书按任意次序放在书架的一层,第三部正好排在第三位的概率是_【解析】 ;16如图,是一些由 的方格构成的 的表格,146 图中面积为 的矩形共有多少个?6 图中共有多少矩形?【解析】 面积为
18、的矩形可能为 ,也可能为 ,23其中 的矩形一定是横着的,有 个;164的矩形有两类,横着的与竖着的,23前者有 个(先选定相邻的两行,再选定相邻的三列) ;42后者有 个(先选定相邻的三行,再选定相列的两列) ;50故面积为 的矩形共有 个;641206 矩形可由不同行不同列的两个对角线上的点确定,所以选择这样的一对不同行不同列的点就能对应一个矩形,但与点选择的先后无关,且每个矩形对应两对这样的点我们先选择任意一个点,有 种选择,再选择不同行不同列的另一个点,有573种选法,于是得到这样的点对共有 个,(51)7243524对应的矩形是 个3510当然,本题在学完组合后,可以从组合的角度去考
19、虑,这时任意一个矩形可由两条横线和两条纵线组成;在 7 条纵线中任选 2 条,在 5 条横线中任选 2 条,这样的 4 条线可确定 1 个矩形,故可组成矩形有 个不同的思考方式会对应不同的解决思路75C10实战演练【演练 1】某班共有男生 名、女生 名,从该班选出学生代表参加校学代会280若学校分配给该班 名代表,有多少种不同的选法?1若学校分配给该班 名代表,且男、女生代表各 名,有多少种不同的选法?1【解析】 种48种560【演练 2】如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆,每天最多只安排一所学校,要求甲学校连续参观两天,其余两所学校均只参观一天,那么不同的安排方法共有_
20、种【解析】 10【演练 3】一个盒中装有 5 个完全相同的小球,分别标以号码 1,2,3,4,5,从中有放回地随机抽取两次,每次只抽一个小球,则两次所抽小球的号码都是偶数的概率是( )A B C D4220【解析】 A;【演练 4】袋中装有红、黄、白、蓝 种颜色的球各 只,从中每次任取 只,有放回地抽取 次,求:4113 只全是红球的概率;3 只颜色全相同的概率; 只颜色不全相同的概率; 只颜色全不相同的概率【解析】 164 51 38【演练 5】某地区有 个工厂,由于用电紧缺,规定每个工厂在一周内必须选择某一天停电(选哪一5天是等可能的) ,假定工厂之间的选择互不影响 求 个工厂均选择星期日
21、停电的概率;48 第 10 讲尖子班教师版 求至少有两个工厂选择同一天停电的概率【解析】 16807 241大千世界从 中,任取 个不同的数作为抛物线方程 321023, , , , , , 2(0)yaxbc的系数,如果抛物线过原点,且顶点在第一象限,则这样的抛物线共有_条从集合 中任取三个元素(可以相同)分别作为直线方程571, , , , , ,中的 、 、 ,其中过坐标原点的直线有_条AxByCABC【追问】如果集合改为 ,答案为_023471, , , , , ,【解析】 条;9抛物线过原点一定有 ,顶点坐标为 ,它在第一象限,需要 ,0c24ba, 204ba推出 不同的 对应不同的抛物线,故这样的抛物线有 条;0ab, abc, , 319 条;3当直线过原点时,一定有 ,且 不同时为 ,因为集合中的元素都不成比例,0CAB, 0故 时,直线都不同;故需要先对特殊情况进行分类,再计算:AB当 时,直线就是 ;00y当 时,直线就是 ;x考虑 ,0AB ,对应的直线就是 ;yx 时,此时 有 种取法, 有 种选法,对应 条直线;6B56530综上知,过坐标原点的直线共有 条直线130【追问】 条31