1、 满分晋级知识切片6.1 随机抽样第 6 讲 概率与统计 2 级计数原理概率与统计 1 级概率默统计泪概率与统计 3 级二项式定理概率默统计泪2 第 6 讲目标班教师版考点 1：抽样方法知识点睛一随机抽样随机抽样：满足每个个体被抽到的机会是均等的抽样，共有三种经常采用的随机抽样方法：1简单随机抽样：从元素个数为 的总体中不放回地抽取容量为 的样本，如果每一次抽取时总体Nn中的各个个体有相同的可能性被抽到，这种抽样方法叫做简单随机抽样简单随机抽样是最简单、最基本的抽样方法抽出办法：抽签法：用纸片或小球分别标号后抽签的方法随机数表法：随机数表是使用计算器或计算机的应用程序生成随机数的功能生成的一张
2、数表表中每一位置出现各个数字的可能性相同随 机 数 表 法 是 对样 本 进 行 编 号 后 ， 按 照 一 定 的 规 律 从 随 机 数 表 中 读 数 ， 并 取 出 相 应 的 样本 的 方 法 简单随机抽样必须具备下列特点：简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数 是有限的N简单随机样本数 小于等于样本总体的个数 n简单随机样本是从总体中逐个抽取的简单随机抽样是一种不放回的抽样简单随机抽样的每个个体被抽取的可能性均为 n样本获取分为两种，一种是全面统计，一种是样本统计全面统计的例子非常多，比如美国大选，每个州的选民都是通过投票选出每个州的负责人也就是每个人都表达了自己的意见再比如我们调
3、查学生是海淀还是非海淀，我们也是给每个学生打了电话，访谈出结果，每个同学也都表达了自己的意见再比如一些小事，像一群人中午的时候讨论去哪吃饭，每个人都可以说自己喜欢的地方全面统计的好处在于无遗漏，数据准确无偏差，但是缺点也很明显，那就是非常的繁琐、麻烦对于大数据的处理很无力，所以我们需要有样本统计样本统计的意义就是从一个大数据中抽取数据样本分析，通过对样本的分析来估计原数据的性质于是首要的问题就是如何抽样一个合理的抽样方法的基本要求是“平等”，也就是每个个体被抽取的可能性是相同的比如我们发现，老师选出的学生代表很可能不能真正代表全体同学的意见，因为老师选取的一定是自己比较熟悉的学生，这类学生平时
4、一定非常活跃而对于一些比较内向， “存在感”比较低的同学来说，老师可能就不会关注，被选中的可能性就会降低由此可以推知，人为的抽样一般是不靠谱的再比如，现在很多的新闻都有网上的调查，有的媒体通过网上调查的数据来分析广大人民对新闻的反馈这样的调查也是不靠谱的，因为网上调查反映出来的大多是经常上网的人的意见，而对于平时不上网的人就没有调查，所以这样的抽样也是不合理的最常见的合理抽样方式是“抓阄”，这可以保证每个个体都能“等可能”的被选中当然抓阄的方式有很多，比如很多时候我们不需要每个人都去抓一次，我们可以把每个人编一个号，然后由一个人来抽号就可以了比如我们常见的彩票大致就是这个原理不过需要注意的是彩
5、票里面的等可能是对彩票是等可能的，对人不一样，因为一个人可以买很多彩票老师在讲完简单随机抽样后可以让学生做例 1 的【铺垫】，本小题主要是让学生理解什么是总体，什么是个体，什么是样本容量，因为简单随机抽样比较简单，而且在后边要讲的系统抽样和分层抽样中都要用到，所以这里就不再详细讲解了2 系统抽样：将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本的抽样方法系统抽样适用于大规模的抽样调查，由于抽样间隔相等，又被称为等距抽样抽出办法：从元素个数为 的总体中抽取容量为 的样本，如果总体容量能被样本容量整除，Nn设 ，先对总体进行编号，号码从 到 ，再从数字 到
6、 中随机抽取一个数kn1N1k作为起始数，然后顺次抽取第 个数，这样就得到容量s 2()sksn， ， ，为 的样本如果总体容量不能被样本容量整除，可随机地从总体中剔除余数，然后再按系统抽样方法进行抽样系统抽样时，当总体个数 恰好是样本容量 的整数倍时，取 ；若 不是整数时，先从NnknN总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被样本容量 整除 因 为 每 个 个 体 被 剔 除的 机 会 相 等 ， 因 而 整 个 抽 样 过 程 中 每 个 个 体 被 抽 取 的 机 会 仍 然 相 等 为 随着数量的增大，抓阄的方式效率会比较低当然，随着现在计算机的发展，数据量很大的时候也是可
7、以通过“选号”的方式进行随机抽样课本上提到的系统抽样其实现在已经不怎么使用了不过作为传统意义下的抽样方法，我们还是有必要介绍一下系统抽样的核心是“选出代表”，每个代表会直接代表一个群体的意见系统抽样的方式分为两种，一种是横向抽样，也就是我们教科书上的抽样方式，这种例子非常多，比如军训的时候，可能我们出现过“一到三”报数，这样就把我们分成了“一”“ 二”“三”三个组，然后就可以随机选一个数“一” ，然后所有的“ 一”就被选中了同样的道理，我们对 人，选10取一个 人的样本，那么我们就需要把总数分成 组，每组 个人，然后让第一组的10 1010人抓阄（为的是随机抽样） ，比如“ ”抓到，那么每一组
8、的“ ”就被选中了44另一种系统抽样的方式是“纵向抽样”，它出现的原理是这样的：原始的系统抽样方法会造成直观上的不公平比如我们 人里面选 人去叙利亚旅游，大家肯定都不愿意去，10第一组的人抓阄之后，由于第一组的 号被选中，那么每一组的 号就都被选中了，其他组的 号会认为被第一组的 号连累，因为他们是“被”选中的虽然从可能性上说，这没44有道理，不过直观上确实有点“躺枪”的意思于是人们改变了方式，也就是纵向系统抽样比如现在我们还是 人里面选 人去叙利亚，我们把所有人分成 组，每组101010人，然后每组自行推举一个代表上台抓阄，被选中的人所在的组，整组都被选中这10样我们每个组都有人去抓阄，也就
9、实现了直观上的公平但是在可能性的角度，横向和纵向抽样都是“等可能” 的，没有本质区别4 第 6 讲目标班教师版老师在讲完系统抽样后就可以让学生做例 1 的铺垫，例 1以及尖子班拓展，这几个题都是系统抽样，老师可以选择几个让学生做做，不一定都让学生做，老师自己选择3 分层抽样：当总体有明显差别的几部分组成时，要反映总体情况，常采用分层抽样，使总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分，每一部分叫做层，在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样，这种抽样方法叫做分层抽样分层抽样的样本具有较强的代表性，而且各层抽样时，可灵活选用不同的抽样方法，应用广泛简单随机抽样（抓阄）和系统抽样都是绝对
10、意义上的公平，但是分层抽样就是相对意义上的公平，因为我们人为的干扰了抽样的过程不过现实意义之下我们统计数据必须进行分层，否则统计数据会闹出笑话常见的一个就是我家房子 平米，后来搬过来一个邻居，10房子面积是 平米，那么我家的生活状况有没有改变实际上没有，但是统计数字可能10告诉你，你们的平均面积增加了现实生活中，很多的统计需要分层，比如统计收入水平的时候需要分不同的城市，统计生育问题的时候要分城市和农村，统计化妆品消费水平的时候要分性别等等所以分层抽样就是为了保证每个层面上的公平性，我们按照每个层次占到总体的多少来分配选取的比例这里老师可以开发更多的统计实例，一定要讲出现实意义来老师在讲完分层
11、抽样后可以让学生做例 1 的铺垫，例 1以及目标班专用，让学生熟练掌握分层抽样，因为在以后考试和北京高考中，三个抽样重点考察分层抽样老师在讲完三个抽样后一定要让学生明白什么情况下用什么抽样，这个时候就可以让学生做例1，尖子班拓展经典精讲【铺垫】 为了了解参加运动会的 名运动员的年龄情况，从中抽取 名运动员；就这个问题，2010下列说法中正确的有（ ）个 名运动员是总体；每个运动员是个体；所抽取的 名运动员是一个样本；20样本容量为 ； 每个运动员被抽到的概率相等10A B C D234 从编号为 的 枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取 枚来进行发射实验，若5 5采用每部分选取的号码间隔一样的
12、系统抽样方法，则所选取 枚导弹的编号可能是（ ）A B 10， ， ， ， 12， ， ， ，C D2345， ， ， ， 463， ， ， ， 某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有 种、 种、401种、 种，现从中抽取一个容量为 的样本进行食品安全检测若采用分层抽样的0方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是（ ）A B C D4567【解析】 B ；正确， 错误 B； C； 20(10)6413【例 1】 三种抽样 现有以下两项调查：某装订厂装订图书 册，要求检验员从中抽取 册图书，3050检查其装订质量状况；某市有大型、中型与小型的商店共 家，三
13、者数量之比为150为了调查全市商店每日零售额情况，抽取其中 家进行调查完成、这两:59项调查宜采用的抽样方法依次是（ ）A简单随机抽样法，分层抽样法 B分层抽样法，简单随机抽样法C分层抽样法，系统抽样法 D系统抽样法，分层抽样法 用系统抽样法要从 160 名学生中抽取容量为 20 的样本，将 160 名学生随机地从 1160编号，按编号顺序平均分成 20 组（ 号， 号， 号） ，若第 16 组抽1891653160出的号码为 126，则第 1 组中用抽签的方法确定的号码是 某工厂生产 、 、 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为 现用分层抽BC2 样方法抽出一个容量为 的样本，样本中 种型
14、号产品有 件那么此样本的容量 nAn （目标班专用）某校有 名学生， 型血的有 人， 型血的有 人， 型血的50125B15AB有 人，为了研究血型与色弱有没有关系，要从中抽取一个 人的样本，按分层抽样，50 0型血应抽取的人数为 人O【解析】 D； 是系统抽样； 明显是分层抽样； ；不妨设第 1 组抽出的号码为 ，则第 16 组应抽出的号码是 ， 6x81526xx ； 种型号的产品占总体的比例是 ，则样本容量 80A21006n 该学校 型血的人数为 ，按照分层抽样的抽样比相等得：505，解得 ，即 型血应抽取的人数为 人5:2:x8O86.2 用样本估计总体学习了抽样后，需要对收集的这些
15、有代表性的样本数据进行研究，找出有用的信息，然后用这些样本来估计总体这种估计一般分成两种，一种是用样本的频率分布估计总体的分布，另一种是用样本的数字特征估计总体的数字特征用来估计的图表和方法有很多种，本版块在初中的基础上来学习频率分布直方图、茎叶图和方差考点 2：频率分布直方图知识点睛1列出样本数据的频率分布表和频率分布直方图的步骤：计算极差：找出数据的最大值与最小值，计算它们的差；6 第 6 讲目标班教师版决定组距与组数：取组距，用 决定组数；极 差组 距决定分点：决定起点，进行分组；列频率分布表：对落入各小组的数据累计，算出各小组的频数，除以样本容量，得到各小组的频率绘制频率分布直方图：以
16、数据的值为横坐标，以 的值为纵坐标绘制直方图，频 率组 距知小长方形的面积组距 频率频 率组 距2频率分布折线图：将频率分布直方图各个长方形上边的中点用线段连接起来，就得到频率分布折线图，一般把折线图画成与横轴相连，所以横轴左右两端点没有实际意义3总体密度曲线：样本容量不断增大时，所分组数不断增加，分组的组距不断缩小，频率分布直方图可以用一条光滑曲线 来描绘，这条光滑曲线就叫做总体密度曲线总体()yfx密度曲线精确地反映了一个总体在各个区域内取值的规律这里主要介绍的就是样本分析方法，直方图就是很重要的一种其实直方图的形成过程就是把数据按大小排序，然后分段截取数据实际生活中最常见的方法就是“画正
17、字”，比如我们收到了一组数据是学生的跳绳次数，我们就可以把次数分成若干组，然后一个一个数据看落在了哪个组里，利用“画正字”的方式看出每组里有几个数，最后画出直方图直方图的主要作用是看出数据的分布变化趋势，很容易表示大量数据，缺点是原始数据不能在图上表示出来通过例 2 的学习，让学生可以由给出的频率分布直方图算出各组数据的频率和频数，理解横纵坐标代表的意义频率分布折线图和总体密度曲线不需要深究，在频率分布直方图的基础上，简单介绍即可经典精讲【例 2】 频率分布直方图 某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了 根棉花纤维的长度（棉花纤10维的长度是棉花质量的重要指标） ，所得数据都在区间 中
18、，其频率分布直方图如图54，所示，则其抽样的 根中，长度在 内的频率为_，有_根棉花纤维的10305，长度小于 2m y 510152025303540乙(m)0.10.20.30.40.50.6乙 （目标班专用）某班 50 名学生在一次百米测试中，成绩全部介于 13 秒与 19 秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于 13 秒且小于 14 秒；第二组，成绩大于等于 14 秒且小于 15 秒；第六组，成绩大于等于 18 秒且小于等于 19秒右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，设成绩小于 17 秒的学生人数占全班总人数的百分比为 ，成绩大于等于 15 秒且小于 17 秒
19、的学生人数为 ，则从频率分布x y直方图中可分析出 和 分别为（ ）y 乙乙/1981761541300.36.40.180.6.4.2A ，35 B ， 45 C ，35 D ，45.0. 0.10.1【解析】 ， ；由频率分布直方图可得，长度在 内的频率为 35， .25.棉花纤维长度小于 20mm 的频率为 则棉花纤维长度小于.43，20mm 的频数为 根10. （目标班专用）A考点 3：茎叶图知识点睛当样本数据较少时，可以用样本分析的另一个常用图表方法茎叶图，这个图主要作用是两组数据的对比一左一右很容易估计出两组数据的对比状况，而且茎叶图是把所有的数据都列出来，精确性上比直方图要好一点
20、，但是对于数据特征的分析不如直方图直观可以结合铺垫讲解知识点，并简单复习一下初中学过的中位数、平均数的概念1制作茎叶图的步骤：将数据分为“茎”、 “叶” 两部分；将最大茎与最小茎之间的数字按大小顺序排成一列，并画上竖线作为分隔线；将各个数据的“叶”在分界线的一侧对应茎处按一定次序同行列出8 第 6 讲目标班教师版8964 553819261846172852乙乙54535251“ 按一定次序” 一般是按大小顺序，也可以按统计数据的顺序2平均数：平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数中位数：是指将统计总体当中的各个数据值按大小顺序排列起来，形成一个数列，处于数列中间位置的数据值就称为
21、中位数当数列的项数为奇数时，处于最中间位置的数据值即为中位数；当项数为偶数时，中位数则为处于中间位置的两个数据值的平均数经典精讲【铺垫】某班甲、乙两学生的高考备考成绩如下：甲： 5124859365412538乙： 27用茎叶图表示两学生的成绩；分别求两学生成绩的中位数和平均分【解析】 两学生成绩的茎叶图如图所示将甲、乙两学生的成绩从小到大排列为：甲： ，512853468514956乙： 71238从以上排列可知甲学生成绩的中位数为 ，372乙学生成绩的中位数为 5642甲学生成绩的平均数为 ，1868419560 370乙学生成绩的平均数为 7312385【例 3】 茎叶图随机抽取某中学甲
22、，乙两班各 名同学，测量他们的身高10（单位： ） ，获得身高数据的茎叶图如图，则下列关于甲，cm乙两班这 名同学身高的结论正确的是（ ）10A甲班同学身高在 以上的人数较多75B甲班同学身高的中位数较大C甲班同学身高的平均值较小D甲、乙班同学身高的平均值一样大【解析】 C；甲班同学身高 175 以上的有 3 人，乙班有 4 人，故而 A 错误甲班同学身高的中位数为 169，乙班同学身高的中位数为 故而 B 错误17.5容易计算得知， ， ，故 C 对=170x甲 1.乙 乙乙98 82238 90019171615 86531182考点 4：统计数据的数字特征分析样本数据时，我们已经学过了众
23、数、中位数和平均数这些概念，它们都可以用来表示统计数据的特征信息，各有利弊平均数是统计数据一个非常好的特征，它可以利用所有的样本数据，而且比较好算也正因为平均数利用了所有的数据，所以它容易受到一些极端数据的影响比如歌唱比赛时，去掉一个最高分和一个最低分，然后再平均，就是为了避免出现个别评委的极端喜恶，尽量体现评分的准确和公正性再比如公布一个地区的家庭平均收入时，平均数也掩盖了一些极端情况的存在，而这些是不容忽视的怎么样能反映这些极端情况呢，也就是数据的离散程度呢，从运算方便等各方面考虑，引入了方差或标准差来进行衡量知识点睛统计数据的数字特征1用样本平均数估计总体平均数；用样本标准差估计总体标准
24、差：2数据的离散程度可以用极差、方差或标准差来描述：极差又叫全距，是一组数据的最大值和最小值之差，反映一组数据的变动幅度；样本方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，样本的标准差是方差的算术平方根一般地，设样本的元素为 ，样本的平均数为 ，12nxx， ， ， x定义样本方差为 ，222()()()ns样本标准差 ，简化公式：12n2221()nsxxn这部分其实没有真正的考察，现在最多也就是通过样本的特征直接套用在整体数据上 寒假班对方差只需要初步理解它存在的意义即可，对方差的直观理解放在春季同步班讲解经典精讲【例 4】 方差甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭 20 次，三人的测试成
25、绩如下表 ， ， 1s23分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ）甲的成绩 乙的成绩 丙的成绩环数 7 8 9 10 环数 7 8 9 10 环数 7 8 9 10频数 5 5 5 5 频数 6 4 4 6 频数 4 6 6 4A B C D312s213s123s231s【解析】 B；10 第 6 讲目标班教师版根据题中数据计算 1 2175891058.768491068.520 0x x， ；3464123x22 2178.58.598.58.51.50s ，同理得 2310s， 213s6.3 随机事件概率概率的定义是一个漫长的过程，最开始就是根据经验，对统计事实的
26、认识历史上对概率的理解可以分为三个阶段：第一阶段：大量统计中发生的几率有 多大比如很多数学家都玩过“扔硬币”这个游戏，而且还统计了结果，如图大家发现，扔了很多很多次之后，结 果都差不多是正反面各占一半，所以大家认为硬币出正面的概率是可能有人觉得这个做法很无50%聊，但是这只是概率的现象，是一个结果层面的东西，并不是概率的本质不过现在计算机在估计概率的时候也是用这样的方法进行多次的实验，最终估计出一个结果第二阶段：人们开始想一些复杂的问题这里面著名的问题有两个，一个是赌徒分金问题（注：两个赌徒玩掷硬币，规定正面则甲加一分，反面则乙加一分，谁先得到 分谁就可16以赢得一袋金币，现在进行到甲 乙 ，
27、警察来了，说不让赌了，那么这些金币该怎:15:2么分 （【解析】按照 的比例分；假设警察没有来，则乙赢的概率为：15:，甲赢的概率为： ， 应该按照12611526的比例分金币） ，另一个问题是掷两个骰子，至少有一个 的概率（【解析】：5:） 这些问题基本上是很难通过实验来得出结论，毕竟情景比较复杂，这就促使人们要136从概率的理论角度入手解决费马在概率的定义方面做出了杰出的贡献，因为他引入了“等可能”这个概念就是我们需要先认同一些基本的“ 等可能 ”的条件，然后再由此出发考虑复杂情况第三阶段：古典概型有弊端，因为古典概型的必然要求是要把一个事件分解成若干等可能的基本事件，不过有些问题中这件事
28、是做不到的比如打靶问题所以才有了几何概型这个概念之后随着函数论的发展，我们用函数基础定义概率的时候我们就有了新的概率理论后续的离散型随机变量说的就是这个阶段的问题建议老师在一开始教学的时候强化概率的直观解释比如：掷硬币模型，再比如：猜黑白（俗称手心手背） 其实这就是利用了概率均等的原理进行的我们可以想一想，手心手背其实是很有效的一个等概率选取方式另外，猜拳也是一个非常有效的等概率选取方式这些概率其实挺难算的，不过我们可以让学生直观的理解概率的意义同样的问题还有：【趣题】1甲乙两个人去公园，公园有 个景点，在这 个景点中两个人各自独立的选取 个，10105假定甲和乙同时出发，游览每一个景点的时间
29、都是相同的，那么他们在最后一个景点相遇的概率是多少？【解析】下面有三种方法，老师在给学生讲本讲的时候可以讲法一，法二和法三供老师参考：法一：从概率意义的直观理解，考虑甲最后在的一个景点，乙最后在任何一个景点的可能性相同，恰好在甲所在的景点的概率为 10法二：甲最后一个景点为 号景点的概率都为 ，乙最后一个景点为 号景点i10i的概率也为 ，故他们最后一个景点为同一个景点1023， ， ，的概率为 法三：他们参观景点的所有顺序有 种，每种参观景点的顺序出现的可能510A性相同，故在最后一个景点相遇的情况有 ，故所求概率为1409CA14095CA2华约的自招考题： 个人传球，每个人都等概率的传给
30、其他人，由甲开始第一次传球，设 为传球次数， 次传球后球在甲手里的概率记为 ，问当 趋向于无穷的时候，nnnp趋向于多少？p【解析】下面有两种方法，老师在给学生讲本题的时候可以讲法一，法二供老师参考：法一：从概率意义的直观理解，因为每个人都等可能的传给其他人，所以球在甲手里的概率为 ，传 次球后球在甲手里的概率依然为 14n14法二：记 表示事件 “经过 次传球后，球在甲手中”，nA 2n， ，12 第 6 讲目标班教师版则有 ， 10PA111nnnPA13nnPAp所以 与 的关系式为 ， np 3p2， ，设 ，对比得 1()3n4于是 式可以变形为 ，113npp从而 是公比为 的等比
31、数列，其首项为 4np 14p故有 ， ， 113nn43np2， ，由可得 1limli4nnp另外还可以介绍一些概率不能直观解释的例子：比如生日悖论：世界上任取 个人，他们至少有两个人生日在同一天的概率是多少？请50见下图（转自维基百科）由此可见，当取到 个人的时候，概率已经超过了 ，选取 人的时候，概率应该在2350%左右95%还有一个例子：乒乓球体育比赛中规定：如果双方得分是 ，那么一方至少要得1:分才能获胜，也就是至少比对方多两分那么这种“延球”制相对于没有延球制度，到12底是对强者更有利，还是帮助弱者有更大的机会翻身呢？（【解析】延球制度对强者更有利；假设强者很强，则再比赛一局有可
32、能强者胜也有可能弱者胜，但是再比赛两局或者比赛无穷多局，肯定是强者赢的概率更大） ，这些其实都是通过直观解释概率比较复杂的问题接下来我们可以定义事件：考点 5：随机事件的概率知识点睛一事件1必然现象与随机现象必然现象是在一定条件下必然发生某种结果的现象；随机现象是在相同条件下，很难预料哪一种结果会出现的现象例子：判断以下现象是否为随机现象某路口单位时间内通过“宝马”牌轿车的车辆数； 边形的内角和为 ；n2180n某同学竞选学生会主席成功；一名篮球运动员每场比赛所得的分数答案：是随机现象2试验：我们把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为试验，把观察结果或实验的结果称为试验的结果一次试验是
33、指事件的条件实现一次3事件在同样的条件下重复进行试验时，始终不会发生的结果，称为不可能事件；在每次试验中一定会发生的结果，称为必然事件；在试验中可能发生，也可能不发生的结果称为随机事件通常用大写英文字母 来表示随机事件，简称为事件ABC， ， ，建议老师和学生强调，我们其实可以把任何一件事情看成一个事件，但是我们必须把事件说的准确比如我们不能说抛硬币是一个事件，而“抛一次硬币出现了正面”才是一个事件，因为这样我才能定义这个事件的概率再比如说我们不能说“掷骰子”是一个事件，我们必须说“掷一次骰子出现了偶数”是一个事件简单的说就是我们对事件的描述必须是准确的，有结果的基本事件放到古典概型里再讲，老
34、师在讲完事件后就可以让学生做例 5，这道题是考查事件的二随机事件的概率计算1如果事件 同时发生，我们记作 ，简记为 ；AB， ABA2概率的统计定义：一般地，在 次重复进行的试验中，事件 发生的频率 ，当 很大时，总是n mn在某个常数附近摆动，随着 的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫n做事件 的概率，记为 从概率的定义中，我们可以看出随机事件的概率()P满足： 当 是必然事件时， ，当 是不可能事件时，()PA01A ()1PA3互斥事件与事件的并14 第 6 讲目标班教师版互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，或称互不相容事件由事件 和事件 至少有一个发生（即 发生，或
35、 发生，或 都发生）所构成的事件 ，称ABABA， C为事件 与 的并（或和） ，记作 若 ，则若 发生，则 、 中至少有一个CCB发生，事件 是由事件 或 所包含的事件组成的集合B4互斥事件的概率加法公式：若 、 是互斥事件，有 ()()PP若事件 两两互斥（彼此互斥） ，有 12nA， ， ， 1212()()()n nAPAPA 事件“ ”发生是指事件 中至少有一个发生 12n， ， ，5互为对立事件不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件事件 的对立事件记作 有()1()P例子：抛掷一枚骰子，记事件 为“落地时向上的数是奇数”，事件 为“落地时向上的数是AB偶数”，事件 为
36、“ 落地时向上的数是 的倍数” ，事件 为 “落地时向上的数是 或 ”，则下C3D64列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是（ ）A 与 B 与 C 与 D 与C答案：C1因为事件的概率记为 等等，这种写法和函数很相似，其实我们可以理解，PAB，概率可以认为是一个事件到一个 和 之间实数的映射关系有了事件的定义之后，我01们可以定义事件的交集和并集，交集指的就是同时发生，并集就是二者至少有一个发生所谓的互斥事件就是交集为空的事件，也就是不能同时发生的事件而互斥事件中有一类特殊的事件就是对立事件，他们不仅交集为空，还满足并集为全集形象的说，一组对立事件就是对全部可能发生情况的一个划分于是我们就有
37、了互斥事件和对立事件的公式2概率可以通过频率来“测量”，或者说是频率的一个近似，此处概率的定义叫做概率的统计定义在实践中，很多时候采用这种方法求事件的概率随机事件的频率是指事件发生的次数与试验总次数的比值，它具有一定的稳定性，总是在某个常数附近摆动，且随着试验次数的增加，摆动的幅度越来越小，这个常数叫做这个随机事件的概率概率可以看成频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，频率在大量重复试验的前提下可近似地看作这个事件的概率老师在讲完互斥事件与对立事件后就可以让学生体会一下什么是互斥事件，什么是对立事件，可以做例 5，在学生弄清互斥与对立的关系后就可以让学生求互斥与对立
38、事件的概率，就可以让学生做例 6 和备选经典精讲【例 5】 判断事件 指出下列事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件：在标准大气压下且温度低于 时，冰融化；0C今天晚上下雨；没有水分，种子发芽；技术充分发达后，不需要任何能量的“永动机”将会出现；买彩票中一等奖 有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件 为“只订甲报”，事件 为“至少订一种报” ，AB事件 为“至多订一种报”，事件 为“ 不订甲报”，事件 为“ 一种报也不订”判断下列CDE每对事件是不是互斥事件，再判断它们是不是对立事件 与 ； 与 ； 与 ； 与 ； 与 ； 与 ；ABAEBDC 与 ； 与 ； 与 D【解析】 为不可能事件，为随
39、机事件，为不可能事件，为不可能事件， 为随机事件 不是互斥事件；不是互斥事件；是互斥事件，不是对立事件；是互斥事件，且为对立事件；不是互斥事件；不是互斥事件；不是互斥事件；不是互斥事件；不是互斥事件【备选】 设 和 是两个随机事件，表示事件 和事件 都不发生的是（ ）MNMNA B C DN MN【解析】 D【例 6】 计算随机事件概率某射手射击一次射中 环、 环、 环、 环的概率分别为 ，计算这109870.123.701， ， ，名射手射击一次： 射中 环或 环的概率；98 至少射中 环的概率；7 至多射中 环的概率【解析】 射手一次射中 环、 环、 环、 环，是彼此互斥事件，分别记为事件
40、 ，10987 ABCD， ， ， 射中 环或 环表示事件 与 的并，故 ；98BC()()0.32.70.59PBCP 至少射中 环是事件 的并，7AD， ， ，故 ；()()PABCP0.12.18 至多射中 环的对立事件是至少射中 环，至少射中 环是事件 与 的并，99AB故所求概率为 11()BPAB.0.32.56或者利用来求，至少射中 环与至多射中 环是对立事件，故至多射中 环的概率是76，至多射中 环是三个彼此互斥事件“至多射中 环”、 “恰好射中 环”和“ 恰10.82.867好射中 环”的并，故所求的概率为 0.8().DC【备选】 甲、乙两人下棋，乙不输的概率是 ，下成和棋
41、的概率为 ，分别求出甲、乙获胜的概.70.5率【解析】 记甲胜为事件 ，乙胜为事件 ，和棋为事件 ，故 彼此为互斥事件，ABAB， ，乙不输为 ，BC法一：16 第 6 讲目标班教师版甲、乙两人下棋，结果只有三种：甲胜、和棋、乙胜，彼此都是互斥事件其中乙不输为互斥事件“乙胜”与“ 和棋”的并，从而可以求出乙胜的概率，进而可求出甲胜的概率， ，故 ，()(PBCP)0.7BC()0.75.2PB1)(1253A即甲、乙获胜的概率分别为 .3，法二：乙不输与甲获胜为对立事件，故可直接求出甲获胜的概率，从而求出乙获胜的概率乙不输与甲获胜是对立事件，故 ，()10.73PA又结果只有三种：甲胜、和棋和
42、乙胜，且两两互斥，故 ，()10.35.2PB即甲、乙获胜的概率分别为 0.32，6.4 古典概型与几何概型考点 6：古典概型知识点睛一古典概型1基本事件：在一次试验中，可以用来描绘其它事件的，不能再分的最简单的随机事件，称为基本事件它包含所有可能发生的基本结果所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，常用 表示老师讲完基本事件后，就可以让学生做考点 6 的【铺垫】 ，让学生能够写出所有的基本事件，从而为下边要讲的古典概型公式做铺垫基本事件一定是两两互斥的，它是互斥事件的特殊情形2古典概型：如果一个试验有以下两个特征： 有限性：一次试验出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件； 等可能性
43、：每个基本事件发生的可能性是均等的称这样的试验为古典概型3概率的古典定义：随机事件 的概率定义为 A()PA事 件 包 含 的 基 本 事 件 数试 验 的 基 本 事 件 总 数古典概型实际是最土的一个办法，通俗的讲就是数数，把所有的可能列出来，看我们要研究的事件占了几个这个问题中的事件要求所有的基本事件必须是等可能的，一个比较经典的例子就是掷两个硬币的时候，我们可能遇到的情况有正正，正反，反反三种，但是他们并不是等可能的，不能作为一组基本事件另一方面，我们的基本事件要尽量的细一点，也就是要足够的基本比如我们要研究掷一个骰子，我们把点数分成 六123456， ， ， ， ，种情况，那么点数
44、就是六个基本事件，也就可以研究之前提过的，123456n， ， ， ， ，掷两次，至少有一个 的概率理论上我们也可以把掷出 或 ，掷出 或 ，掷出 或6看成一组基本事件，但是这组基本事件就非常的粗，我们要研究掷两次至少出现一个6的时候就没有办法了总的来说，古典概型的核心就是数数，需要注意的就是基本事件的选取要等可能，而且要尽可能的细经典精讲【铺垫】同时转动如图所示的两个转盘，记转盘得到的数为 ，x转盘得到的数为 ，结果为 y()xy，写出这个试验的基本事件空间；求这个试验的基本事件总数；“ ”这一事件包含哪几个基本事件？“ 且 ”呢？5xy 3x1y“ ”这一事件包含哪几个基本事件？“ ”呢？
45、4 【解析】 这个试验的基本事件空间为： (1)2(13)4(21)(2)4(3)2(3)4， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，；， ， ， ， ， ， ，基本事件的总数为 ；6“ ”包含以下 个基本事件： ；5xy()3()1， ， ， ， ， ， ，“ 且 ”包含以下 个基本事件： 31124(2)3(24)， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，“ ”包含以下 个基本事件： ；434， ， ， ， ，“ ”包含以下 个基本事件： xy4()()， ， ， ， ， ， ，【例 7】 古典概型一个盒子中装有 张卡片，每张卡片上写有
46、个数字，数字分别是 、 、 、 现从盒子11234中随机抽取卡片 若一次抽取 张卡片，求 张卡片上数字之和大于 的概率；337 若第一次抽 张卡片，放回后再抽取 张卡片，求两次抽取中至少一次抽到数字 的概1 3率（目标班专用）按的抽取方式，抽出的两张卡片的和为偶数的概率是多少？【解析】 设 表示事件“抽取 张卡片上的数字之和大于 ”，任取三张卡片，三张卡片上的数字全A37部可能的结果是 ， ， ， 其中数字之和大于 的是(1,2)(,4)(1,3)(2,4)7， ，所以 (1,34) 2PA 设 表示事件“至少一次抽到 ”，第一次抽 1 张，放回后再抽取一张卡片的基本结果有：B3(,)2(,)
47、14(,),(,3),4(,)32(,)3,4(,1)，共 个基本结果436事件 包含的基本结果有 ，共 个基本结,2,2,4,7211 243 342118 第 6 讲目标班教师版果所以所求事件的概率为 7()16PB 12【拓展】袋里装有 30 个球，每个球上都记有 1 到 30 的一个号码， 设号码为 的球的重量为n243n（克） 这些球以等可能性（不受重量， 号码的影响）从袋里取出 如果任意取出 1 球，求其号码是 3 的倍数的概率 如果任意取出 1 球，求重量不大于其号码的概率； 如果同时任意取出 2 球，试求它们重量相同的概率【解析】 设“ 其号码是 3 的倍数 ”为事件 ，则 A103P 由 ，可解得24nn 4n 由题意知 ，5，
