1、基本不等式中“1 的妙用”一、考法解法命题特点分析此类题目主要特点是：1、两个变量是正实数（使用基本不等式的前提） ，2 、有一个代数式的值已知，求另一个代数式的最小值，其中两个代数式一个是整式 ，一个是分式 ，当然会在此基础上进行变形。axbymnxy解题方法荟萃主要是凑出可以使用基本不等式的形式： 的形式，多数情况下是让两个代数式相乘。yx二、典型题剖析例 1：（1）已知 ， ，求 的最小值；,xyR21y2xy（2）已知 ， ，求 的最小值；,3x（3）已知 ， ，求 的最小值；,yR2y62xy（4）已知 ， ，求 的最小值；,x【解析】这四个题目中， （1）是“1 的替换”的最基础题
2、目，已知整式的值为 1，求分式的最小值， （2）是将已知值变成了 3，需要调节系数， （3）是已知分式的值求整式的最值， （4）对分式进行等价变换。【答案】 （1） 22()1529xyxy当且仅当 即 时取等号y3（2） 11221() 452433 3xyxy（ ） （ ）当且仅当 即 时取等号y3（3） 13266=()6)9218yxxx当且仅当 即 时取等号63xy32+x（4）因为 ，所以 ，然后21y124=(+y)=8xyx当且仅当 即 时取等号4xy4例 2：（1）已知 ， ，求 的最小值；,R1xy23xy（2）已知 ， ，求 的最小值；,y21（3）已知 ， ，求 的最小
3、值；,xR1y23xy（4）已知 ， ，求 的最小值；,y23x【解析】这四个题目是便是比较大的四个题目：（1）是分式的分母分别加上一个常数，为了能够使用基本不等式，我们需要对整式也进行相应的变形；（2）在上一题的基础上，是分式的分子分母不再是一个常数而是二次项，需要分离出一个代数式，变成熟悉的形式；（3）在（1）的情况下分母进一步变化，不是加一个常数，而是混搭的形式；（4）在上一题的基础之上不再是直接观察出结果，而是需要配凑一个系数。【答案】（1）整式变形成 ，13xy22132(1)2()()(35 3yxxyxy当且仅当 取等号1=x（2）222()()1()(1)11221yxyxyx
4、y然后求当 时，代数式 的最小值1x1xy（3）整式变形成 ，求代数式 最小值235y123xy（4）假设分式变形为 的形式，保证 x 的系数与 y 的系数之比等于整式中的系数之比，即2()(3)xy， ，分式变形为2=+3， 1,=23y整式变形为 ，然后求 的最小值。34xyx例 3：（1）已知 ， ，求 的最小值；,R1xy2y（2）已知 ， ，求 的最小值；0,1x【解析】这两个题目的变式又不同于之前的形式， （1）主要是分式的一个分子的系数不是一个常数，而是 的形式，2xy因为比较接近我们使用基本不等式的形式，所以对另一个分子替换；（2）中好像是缺了整式，但仔细观察不难发现，其实分母
5、之和为定值。【解析】（1） 当且仅当 时取等号221xyxyx2xy（2）因为 ，然后求 的最小值(1)x三、达标与拓展1 若正数 ， 满足 ，则 的最小值是（ ）xyy53y43A B C D524286【解析】 正数 ， 满足 ， ，xyxy5315y， 53232495134 yxxyx当且仅当 时取等号即 的最小值是 【 答 案 】 C.2yx352. 已知 均为正实数，且 ，则 的最小值为 ,xy2xy【解析】试题分析： ，32327721 7(3) 6yxxxyyxy当且仅当 即 时，等号成立，即 的最小值是 32xy6123x2xy7623. 设 ，若 是 与 的等比中项，则 的
6、最小值为（ ）0，abab1abA B C D844【解析】因为 是 与 的等比中项，所以3ab 1【答案】B1()224ab4已知 _.的 最 小 值 是则 bab31,0【解析】令 解得，（ )2ayx 512yx， babb 32)3(51312 )(5)(ba25）（ 52当 即 取等号.）（ 32ba2ba5. 已知实数 ， 满足 ，则 的最大值为 xy1342xyyx【解析】 实数 ， 满足 ， ，xyyx1422211yxyxy解关于 的不等式可得 ，故答案为： 74746. 已知 ， ， ，则 取到最小值为 0ab21a133ab【解析】试题分析：令 ， ，(4)()()(43
7、)ab15432 111212()()(3)()3434553abababab，当且仅当 时，等号成立，32()34255ab21(3)4ab即 的最小值是 1343ab7.已知正数 满足 则 的最小值为 ,xy1,12Mxy【解析】 ()()42y则 ，令 ，即 ， 恒成立，由 得42Mxtx12yxt1()12xyt0，t42M8. 若正数 满足 ，则 的最小值为 .,xyz356xyz14yzx【解析】 =14213()6322xzyz令 ，则 ，即 ，,yzaxb()()45yab132ab原式= 117()3623ab9.已知 ，且 ，若 恒成立，则实数 的取值范围是 ，当 取到最大值时0yx， yxmyx2 m.【解析】恒成立问题，求 的最小值，即为“1 的替换”2答案为： ， ；8，10. 在边长为 1 的正三角形 中， 且 ，则 的最小值等ABC)0(yxACyEBxD， 341xyBECD于 .【解析】这是结合向量来解的一个题目， 的最小值为 . 621
