1、1课 题：3.4.1 基本不等式的证明（1）教学目标：探索并了解基本不等式的证明过程，体会证明不等式的基本思想方法； 重点难点：理解基本不等式 等号成立条件及 “当且仅当时取等号”的数学内涵课 型 新授课 课堂教学模式 学生活动教学过程：1、创设情景1.提问： 与 哪个大？ 2ab2.基本不等式 的几何背景：如图是在北京召开的第 24 界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？（教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系） 2、学生讨论问题 1 我们把“风车”造型抽象成
2、上图在正方形 中ABCD有 4 个全等的直角三角形设直角三角形的长为 ，那么正方ab，形的边长为多少？面积为多少呢？生答： .22,ab问题 2 那 4 个直角三角形的面积和呢？生答 问题 3 好，根据观察 4 个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得容易得到一个不等式， .什么时候这两部分2ab面积相等呢？生答：当直角三角形变成等腰直角三角形，即 时，正方形xyEFGH 变成一个点，这时有 .2ab3、建构数学21重要不等式：一般地，对于任意实数 ， ，我们有ab，当且仅当 时，等号成立2abab问题 4：你能给出它的证明吗？(学生尝试证明后口答,老师板书)证明：2222(),()0,()
3、0,abababab当 时 ， 当 时 ,所以 注意强调：当且仅当 时, 2注意：（1）等号成立的条件， “当且仅当”指充要条件；（2） 公式中的字母和既可以是具体的数字，也可以是比较复杂的变量式，因此应用范围比较广泛问题 5：将 降次为 , 降次为 ,则由这个不等式可以ab得出什么结论？2基本不等式：对任意正数 ， ，有 当且仅当ab,2ab时等号成立 （学生讨论回答证明方法）ab证法 1： ab当且仅当 即22 21()()0abab时，取 “ ”ab证法 2：要证 ，只要证 ，只要证ab22ab，只要证 因为最后一个不等式成0a0()立，所以 成立，当且仅当 即 时，取“=”号3证法 3
4、：对于正数 有 ，,ab2()020ab,ab说明： 把 和 分别叫做正数 的算术平均数和几何,平均数，上述不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 注意：（1）基本不等式成立的条件是： ；0,ab（2）不等式证明的三种方法：比较法（证法 1） 、分析法（证法 2） 、综合法（证法 3） ；（3） 的几何解释：（如图 1）以 为直径作圆，abba在直径 上取一点 ， 过 作弦 ，则ABCCDAB，从而 ，而半径CD2 abD2基本不等式 几何意义是：“半径不小于半弦” ；2ab（4）当且仅当 时，取“ ”的含义：一方面是当时取等号，即ab；另一方面是仅当 时取等号，即2abab；（5）如果 ，那么Rba, 22（当且仅当 时取“ ”） ；（6）如果把 看作是正数 、 的等差中项， 看作是2baabab正数 ， 的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差a中项不小于它们的等比中项四、课堂小结BDCab（图 1）
