1、1第 1 课时 不等式的基本性质学习目标 1.理解不等式的性质，会用不等式的性质比较大小.2.能运用不等式的性质证明简单的不等式、解决不等式的简单问题知识点 不等式的基本性质思考 你认为可以用什么方法比较两个实数的大小？答案 作差，与 0 比较类比等式的基本性质，联想并写出不等式的基本性质梳理 (1)两个实数 a， b 的大小关系(2)不等式的基本性质对称性： a bb a.传递性： a b， b ca c.可加性： a ba c b c.可乘性：如果 a b， c0，那么 ac bc；如果 a b， c0，那么 ac bc.乘方：如果 a b0，那么 an bn(nN， n2)开方：如果 a
2、 b0，那么 (nN， n2).na nb类型一 作差比较大小例 1 (1)已知 a b0，比较 与 的大小；ab a 1b 1(2)已知 x1，比较 x31 与 2x22 x 的大小解 (1) .ab a 1b 1 ab 1 ba 1bb 1 a bbb 1因为 a b0，所以 a b0， b(b1)0，2所以 0，a bbb 1所以 .ab a 1b 1(2)x31(2 x22 x) x32 x22 x1( x3 x2)( x22 x1) x2(x1)( x1)2( x1)( x2 x1)( x1) ，(x12)2 34因为 x1，所以 x10.又因为 2 0，(x12) 34所以( x1
3、) 0，(x12)2 34所以 x312 x22 x.反思与感悟 比较两个数(式子)的大小，一般用作差法，其步骤是：作差变形判断差的符号得出结论，其中“变形”是关键，常用的方法是分解因式、配方等跟踪训练 1 已知 x， y 均为正数，设 m ，1x 1yn ，试比较 m 和 n 的大小4x y解 m n 1x 1y 4x y x yxy 4x y ，x y2 4xyxyx y x y2xyx y x， y 均为正数， x0， y0， xy0， x y0，( x y)20. m n0，即 m n.(当且仅当 x y 时，等号成立)类型二 不等式基本性质的应用命 题 角 度 1 判 断 不 等 式
4、 是 否 成 立例 2 判断下列命题是否正确，并说明理由(1)若 a b0，则 ；1a 1b(2)若 c a b0，则 ；ac a bc b(3)若 ，则 ad bc；ac bd(4)设 a， b 为正实数，若 a b ，则 a b.1a 1b3解 (1)正确因为 a b0，所以 ab0.两边同乘以 ，1ab得 a b ，得 .1ab 1ab 1b 1a(2)正确因为 c a0， c b0，且 c a c b，所以 0.1c a 1c b又 a b0，所以 .ac a bc b(3)不正确因为 ，所以 0，ac bd ac bd即 0，ad bccd所以Error!或Error!即 ad bc
5、 且 cd0 或 ad bc 且 cd0.(4)正确因为 a b ，且 a0， b0，1a 1b所以 a2b b ab2 aa2b ab2 b a0 ab(a b)( a b)0( a b)(ab1)0，所以 a b0，即 a b.反思与感悟 (1)利用不等式的性质判断命题真假的技巧要判断一个命题为真命题，必须严格证明；要判断一个命题为假命题，或者举反例，或者由题中条件推出与结论相反的结果其中，举反例在解选择题时用处很大(2)运用不等式的性质判断命题真假的三点注意事项倒数法则要求两数同号；两边同乘以一个数，不等号方向是否改变要视此数的正负而定；同向不等式可以相加，异向不等式可以相减跟踪训练 2
6、 下列命题中正确的是_(填序号)若 a b0， c d0，那么 ；ad bc若 a， bR，则 a2 b252(2 a b)；若 a， bR， a b，则 a2 b2；4若 a， bR， a b，则 .ac2 1 bc2 1答案 解析 对于， c d0， 0，1d 1c 0， ，不对；ad bc ad bc对于， a2 b25(4 a2 b) a24 a b22 b5( a2) 2( b1) 20， a2 b252(2 a b)，对；对于，由于 a b 不能保证 a， b 同时大于 0， a2 b2不成立，不对；对于， c210，由 a b，可得 ，对ac2 1 bc2 1命 题 角 度 2
7、证 明 不 等 式 成 立例 3 已知 a b0， c d0，求证： .ba c ab d证明 c d0， c d0.又 a b0， a c b d0，0 .1a c 1b d又 0 b a， .ba c ab d引申探究1若本例条件不变，求证： .3ad 3bc证明 c d0， c d0，0 . 0，1 c 1 d a d b c ，即 ，3a d 3b c 3ad 3bc .3ad 3bc52若本例条件不变，求证： .aca c bdb d证明 a b0， 0.1b 1a又 c d0， c d0， 0.1 d 1 c 0，即 0，1b 1 d 1a 1 c d bbd c aac 0， .
8、acc a bdd b aca c bdb d反思与感悟 进行简单的不等式的证明，一定要建立在记准、记熟不等式性质的基础之上，如果不能直接由不等式的性质得到，可以先分析需要证明的不等式的结构，利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件跟踪训练 3 已知 a0， b0，求证： a b.b2a a2b证明 ( a b) ( a b)(a b)b2a a2b (b2a a) (a2b b) b ab aa a ba bb (a b)2(a b)，(1b 1a) 1ab a0， b0， (a b)2(a b)0，即 a b.1ab b2a a2b1若 a b0，则下列结论不正确的是( )A a2
9、 b2 B ab a2C. 2 D| a| b| a b|ba ab答案 A解析 a b0， a b0，即( a)2( b)2， a2 b2.2若 a0，1 b0，则有( )A a ab ab2 B ab2 ab aC ab a ab2 D ab ab2 a答案 D解析 1 b0， b b21. a0， ab ab2 a.3下列说法中，正确的个数是_6若 a b，则 ac2 bc2； 若 a b，则 ac2 bc2；若 ，则 ac bc； 若 ，则 ac bc；ac bc ac bc若Error!则 c0； 若Error! 则 c0.答案 4解析 当 c20 时，不正确；正确；正确；正确；正确
10、；当 a b 时，不正确4已知 12 a60,10 b20，则 的取值范围是_ba答案 16 ba 53解析 由 12 a60，得 ，又 10 b20，160 1a 112所以根据不等式的性质可得 .16 ba 535设 x a2b25， y2 ab a24 a，若 x y，则实数 a， b 满足的条件是_答案 ab1 或 a2解析 x y， x y a2b25(2 ab a24 a) a2b22 ab a24 a5( ab1) 2( a2) 20， ab1 或 a2.1不等式的基本性质是不等式变形的依据，每一步变形都要做到有根有据，严格按照不等式的性质进行2作差法比较大小的基本步骤：作差变形
11、与 0 比较总结其关键是将“差”式变成“积”式，方便与 0 比较3不等式的证明实质就是根据性质把不等式进行恰当变形，在变形过程中一定要注意不等式成立的条件一、选择题1已知 a0 b， c d0，给出下列不等式：(1)ad bc；(2) a c b d；(3) a(d c) b(d c)其中成立的个数是( )7A0B1C2D3答案 C解析 因为 a0， b0， c d0，所以 ad0， bc0，故(1)不成立；因为 a b， c d0，所以 c d，所以 a c b d，故(2)成立；由 c d0，知 d c0，又 a0 b，所以 a(d c) b(d c)，故(3)成立2已知 a1 且 b1，
12、则 p 与 q 的大小关系是( )b1 a a1 b a1 a b1 bA p qB p qC p qD p q答案 C解析 p q b a1 a a b1 b 0， p q.b ab a1 a1 b b a21 a1 b3设 a， b(，0)，则“ a b”是“ a b ”成立的( )1a 1bA充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案 C解析 a， b(，0)， a b， ，即 ， a b ，1a 1b 1a 1b 1a 1b“ a b”是“ a b ”成立的充分条件1a 1b又由 a b a b 01a 1b 1b 1a(a b) 0 (a b) 0a bab
13、ab 1aba b0 a b.“ a b”又是“ a b ”成立的必要条件1a 1b故“ a b”是“ a b ”成立的充要条件1a 1b4已知 a， b， c(0，)，若 ，则( )ca b ab c bc aA c a b B b c a8C a b c D c b a答案 A解析 由 ，ca b ab c bc a可得 1 1 1，ca b ab c bc a即 .又 a， b， c(0，)，a b ca b a b cb c a b cc a所以 a b b c c a.由 a b b c，可得 a c；由 b c c a，可得 b a，于是有 c a b.5设 a1 b1，则下列不等
14、式中恒成立的是( )A. B. 1a 1b 1a 1bC a b2 D a22 b答案 C解析 1 b1， b21 a.6设角 ， 满足 ，则 的取值范围是( ) 2 2A 0 B C 0 D 2 2 2答案 A解析 ， 2 2 且 0， 0. 2 2二、填空题7已知 a， b， c 是实数，则 a2 b2 c2与 ab bc ca 的大小关系是_答案 a2 b2 c2 ab bc ca解析 a2 b2 c2 ab bc ca (2a22 b22 c22 ab2 bc2 ca) (a b)2( b c)12 122( c a)20，当且仅当 a b c 时，等号成立， a2 b2 c2 ab
15、bc ca.8已知 0 a ，且 M ， N ，则 M， N 的大小关系是_1b 11 a 11 b a1 a b1 b答案 M N9解析 M N .1 a1 a 1 b1 b 21 ab1 a1 b0 a ， ab1，即 1 ab0，1b M N0， M N.9若 a， bR，且 a b，下列不等式： ；( a b)2( b1) 2；( a1) 2( b1) 2.ba b 1a 1其中不成立的是_(填序号)答案 解析 中， .ba b 1a 1 ab b ab aaa 1 a baa 1因为 a b0， a(a1)的符号不确定，不成立；中，取 a2， b2，则( a b)20，( b1) 2
16、0，不成立；中，取a2， b2，则( a1) 21，( b1) 29，不成立10已知三个不等式： ab0； ； bc ad.以其中两个作为条件，余下一个作为ca db结论，则可组成_个正确命题答案 3解析 若 ab0， bc ad 成立，不等式 bc ad 两边同除以 ab，得 ，ca db即 ab0， bc ad ；ca db若 ab0， 成立， 两边同乘以 ab，ca db ca db得 bc ad，即 ab0， bc ad；ca db若 ， bc ad 成立，ca db由于 0，ca db bc adab又 bc ad0，故 ab0，所以 ， bc adab0.ca db综上，任两个作为
17、条件都可推出第三个成立，故可组成 3 个正确命题三、解答题1011已知 a， b， x， y 都是正数，且 ， x y.1a 1b求证： .xx a yy b证明 因为 a， b， x， y 都是正数且 ， x y，1a 1b所以 ，故 ，xa yb ax by则 1 1，即 .ax by a xx b yy所以 .xx a yb y12若 a b0， c d0， e0，求证： .ea c2 eb d2证明 c d0， c d0. a b0， a c b d0，( a c)2( b d)20， .1a c2 1b d2又 e0， .ea c2 eb d213已知 a0， b0，试比较 与 的大
18、小ab ba a b解 ( )(ab ba) a baa bb aba babaa bb ab baabaa b ba baba ba bab .a ba b2ab因为 a0， b0，所以 0， 0，a b ab又因为( )20(当且仅当 a b 时等号成立)，a b11所以 0，即 (当且仅当 a b 时等号成立)a ba b2ab ab ba a b四、探究与拓展14若 x y0，则 与 的大小关系是_y2 1x2 1 yx答案 y2 1x2 1 yx解析 y2 1x2 1 y2x2 x2y2 1 y2x2 1x2x2 1 .x2 y2x2x2 1 x yx yx2x2 1因为 x y0，所以 x y0， x y0， x20， x211，所以 0.x yx yx2x2 1所以 0.y2 1x2 1 y2x2故 .y2 1x2 1 yx15已知1 a b1,1 a2 b3，求 a3 b 的取值范围解 设 a3 b 1(a b) 2(a2 b)( 1 2)a( 12 2)b，Error!解得 1 ， 2 .53 23又 (a b) ，2 (a2 b) ，53 53 53 23 23 a3 b1，即 a3 b 的取值范围为 .113 113， 1
