1、精品资源课题： 含有绝对值的不等式（2）教学目的：1进一步掌握含有绝对值不等式的定理及其推论；2 培养学生的化归( 或转化 ) 的数学思想3 提高分析问题和解决问题以及综合运用数学知识的能力4 培养创新意识 , 提高学生的数学素质教学重点： 不等式性质、定理的综合运用教学难点： 常见证明技巧授课类型： 新授课课时安排： 1 课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程 ：一、复习引入：上一节课，我们学习了含绝对值的不等式的一个重要性质，并认识到证明不等式的方法的多样性与灵活性，这一节，我们将综合运用绝对值的性质、不等式的性质、算术平均数与几何平均数的定理证明不等式定理： | a | b | | ab
2、| | a | b |注意： 1左边可以“加强”同样成立，即| a | b | ab | | a | b |2 这个不等式俗称“三角不等式”三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边3 a,b 同号时右边取“ =”， a,b 异号时左边取“ =”推论 1： | a1a2an | | a1 | a2 | an |推论 2： | a | b | | ab | | a | b |二、讲解范例：例 1已知 a、 b、c、 d 都是实数，且a2 b2 2 ，c2 d2 R2， ( 0， R 0)求证： ac bd r 2R22证明： (综合法 ) a、 b、 c、 d 都是实数， ac bd ac
3、bd a 2c 2b 2d 2a 2b 2c 2d 2222 a2 b22 ，c2 d2 R2，欢下载精品资源 ac bd r 2R2.2例 2设 f (x) = x2 px q, 求证：| f (1)|、| f (2) |、| f (3) | 中至少有一个不小于12说明：此题正面证明较为困难，“正难则反” ，引导学生尝试“反证法”证明证明：（反证法）假设原命题不成立，则|f(1)| 1,|f(2)|1,|f(3)|1,222|f(1)|+2 |f(2)|+|f(3)|2由 f(1)=1+ p+q, f(2)=4+2 p+q, f(3)=9+3 p+q得f(1)+ f(3) 2f(2)=2 |
4、f(1)|+2 | f(2)|+|f(3)| |f(1)+ f(3) 2f(2)|=2这与矛盾，故假设不成立，求证为真例 3 求证：| a | | b | a b |1 | a | |b | 1 | a b |证法一： (分析法 )要证明| a | |b | a b |1 | a | | b | 1 | a b |只需证 (|a|+|b|)(1+| a+b|) |a+b| (1+|a|+|b|)只需证 |a|+|b|+(|a|+|b|) |a+b| |a+b|+(|a|+|b|)|a+b|只需证 |a|+|b| |a+b|显然上式成立所以原不等式成立证法二： (利用函数的单调性)构造函数 f(
5、x)=x(x 0)1x f(x)=x1=11x1 x函数 f(x)在 0， ) 是增函数 f(|a|+|b|)= | a | | b | ，f(|a+b |)= | a b |1 | a | | b |1 | a b |而 |a|+|b| |a+b |， f(|a|+|b|) f(|a+b |)即| a | b | ab |1 | a | b |1 | ab |例 4已知 x2y21, 求证：1a2y ax1 a2说明：根据已知条件22的形式特点，可以进行三角代换，即设x y =1欢下载精品资源x cos , y sin ，转化为三角形式的不等式解：设 x cos, y sin， 则| y a
6、x | | sina cos |1 a 2 | sin() |（其中 tan =a） |sin( )| 1 1a2 | sin() |1 a 2 | yax |1a 2即1a 2yax 1a 2三、课堂练习：1若 |x a ， y a n，则下列不等式一定成立的是(D)A x y 2B x y 2nC x y nD xy n 2已知函数 f(x)= 2x+1 ，对任意的正数 ，使得 f(x1) f(x2) 成立的一个充分非必要条件是 ( C )A x1 x2 B x1 x2C x1 x23D x1 x223四、小结 ：通过本节学习，要求大家进一步认识证明不等式的方法的多样性，并能灵活掌握绝对值
7、的性质、不等式的性质，算术平均数与几何平均数的定理对不等式进行证明五、课后作业：1 若 a b， a 0， b0，则2 解不等式 x24x 2| a | b | a | b | b | a |x20 x 1 或 717 x 717 或 x 42443 求证 :(1)| x+1|+| x-1| 2;(2)|x+2|+|x+1|+|x-1|+| x-2| 6;(3)2|x+2|+|x+1| 1( 当且仅当 x=-2 时 , “=”号成立 )证明 :(1)|x+1|+|x-1| |( x+1)-( x-1)|=2(2)| x+1|+| x-1| |(x+1)-( x-1)|=2当且仅当 ( x+1)
8、(x-1) 0, 即 -1 x 1 时“ =”成立 ;欢下载精品资源又 | x+2|+| x-2| |( x+2)-( x-2)|=4,当且仅当 ( x+2)( x-2) 0, 即 -2 x 2 时“ =”号成立 | x+2|+| x+1|+| x-1|+| x-2| 6,1x1当且仅当x即 -1 x 1 时“ =”号成立22(3)| x+2|+| x+1| |( x+2)-(x+1)|=1,当且仅当 ( x+2)(x+1) 0, 即 -2 x -1 时“ =”号成立 ;又 | x+2| 0, 当且仅当 x=-2时，“ =”号成立 , 2| x+2|+| x+1| 1,当 x=-2 时，“ =
9、”号成立4 已知 f ( x)=1x 2, 当 | a| | b| 时 , 求证 :(1)| a+b|f ( a)-f ( b)|证明:(1)|a b|a|+|b|1a21b2f ( a)+ f ( b)|+ |=|(2) 由 (1) 得:|a+b| b| 时 , 又 a0, 从而 | a|0, 有 |b |-1b 2b|-|aaa (| b| 0)a 2b2a 2b2b 2aa=| a|- | a|-| b|a综上所述有 :a 2b 2 | a|-| b|(a b)a欢下载精品资源6 若| x|1,| y|1,|xyzxyzz|1, 求证： |xyyz|11zx证明：所证不等式| x+y+z
10、+xyz |1+ xy+yz+zx |( x+y+z+xyz ) 2(1+ xy+yz+zx) 2( xyz+xy+yz+zx+x+y+z+1)( xyz - xy- yz- zx+x+y+z-1)0 ( x+1)( ( x2-1)(由于 | x|1,|2于是 ( x -1)(y +1)( z+1) ( x-1)( y-1)( z-1) 0 y2-1)( z2-1)0y|1,| z|1 ，从而 x21, y21, z21, y2-1)( z2-1)0 成立 , 所以原不等式成立7 已知 a, b R, 求证 :abab1ab1a1b证明 : 原不等式| a+b|(1+|a|)(1+|b|) |
11、a|(1+| +|)(1+|b|)+|(1+|+ |)(1+|a|)a bba b| a+b|(1+|b|)+|a+b| | a|(1+|b|) | a|(1+| b|)+|a| (1+|b|) | a+b|+|b|(1+|a|)+|b| | a+b|(1+| a|)| a+b|+| a+b| | b| | a|+2|ab|+| b|+| b| | a+b|+| ab| | a+b| a+b| | a|+| b|+2|ab|+| ab| | a+b|由于 |+ | |+| 成立 , 显然最后一个不等式成立, 从而原不等式成立a bab以上证明是最基本的方法,但过程繁琐冗长 , 利用放大技巧证明要简捷得多 ,证明如下 : | a+b| | a|+|b| a|+|b|-|a+b| 0,abab( abab )1 a b1 a b ( a b a b )ababab.1 a b 1 a b 1 a b 1 a 1 babab.1ab1a1b六、板书设计（略）七、课后记：欢下载
