1、精品资源课题：含有绝对值的不等式（1）教学目的：1 .理解含有绝对值的不等式的性质；2 .培养学生观察、推理的思维能力，使学生树立创新意识；3 .运用联系的观点解决问题，提高学生的数学素质；4 .认识不等式证法的多样性、灵活性 .教学重点：含有绝对值不等式的性质、定理的综合运用教学难点：对性质的理解、常见证明技巧授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：前面我们已学过不等式的性质和证明方法，这一节我们再来研究一些含有 绝对值的不等式的证明问题 .我们知道，当a0时，|x|vau avxva,|x|au xa 或 xv a*根据上面的结果和不等式的性质，我
2、们可以推导出含有绝对值的不等式具 有下面的性质二、讲解新课：定理：|a| -|b|,|a b|a| |b|、r 一 | a |E a 目 a |证明：八)二(|a|+|b|)a+b|a| + |b|-|b|-b -|b|二 |a+b|E|a|十|b|又= a=a+ b-b|-b|=|b|由 | a|=| a+b-b| w | a+b|+|- b| 即 |a|-|b|w |a+b|综合:|a| - |b|_|a b|_|a| |b|注意：141左边可以“加强”同样成立，即|a|-|b| M|a+b|M|a| + |b|2这个不等式俗称“三角不等式”一三角形中两边之和大于第三边，两边之差 小于第三
3、边3a,b同号时右边取“ =，a,b异号时左边取“=”推论 1： |a +a2 + +an | |ai |+|a21 +|an |推论 2： |a| |b|M|a b|a| |b|证明：在定理中以-b代b得：|a| |b|M|a+(b)国a| + |b|即 |a| - |b|_|a - b|a| |b|例1证明:三、讲解范例: 已知冈 v , |y| 一 ,|z| 一,求证 |x+2y - 3z| & *|x+2y-3z| 冈+ |2y|+ |3z|=|x|+2|y|+ 3|z|；2 ； 3 ；|x| + 2|y|+3|z|4 b c d a证明：:1a| 0,|b| - 0,|-| 0,|d
4、| 0,b c a a . | a 11b | 2 1a 11b | =2 1ab | = 2 | a | |b| |c|.|b| |c| 2 |b c| Jcl|? |d|-2, 1c 11d | =2 1c d | =2； |c|, d a又3+后旧旧=花2c由，式，得|：11b |；11d 口 1a| 2.1c| = 2（ 1a|、1c|）.4 b c d a c . a c a说明：此题作为一个含绝对值的不等式，在证明过程中运用了基本不等式及不等式的性质，在证法上采用的是综合法.a b .例 3 已知 |a|1,|b|1,求证 1a |1.1 ab2a b , d (a b)证明：|1
5、：= 11 ab (1 ab)2 _2_2 2=a 2ab b ： 1 2ab a b2,22, 2= 1- a - b a b 0:二(1 -a2)(1 -b2) 0.,一，ooa b由 |a|v1,|b|0 成立，所以 | 11 ab说明：此题运用了 |x|va。x2v a2这一等价条件将绝对值符号去掉，并采 用了求差比较法证明其等价不等式的正确性，并用到了绝对值的有关性质，也 体现了证明不等式的方法的综合性和灵活性.例 4 设|a|1, |b|1 求证 |a+b|+|a-b|2证明：当 a+b 与 a-b 同号时，|a+b|+|a-b|=|a+b+a-b|=2|a|2当 a+b 与 a-
6、b 异号时，|a+b|+|a-b|=|a+b-(a-b)|=2|b|2 . |a+b|+|a-b|2例 5 已知 f (x) = v1 +x2 当 a用时 求证：| f (a) - f (b) | a - b |证法| f(a) - f(b) |=|、.a2 1 - b2 1 尸a2 1 -b2 -1 a2 1. b2 1欢下载|a2二b2| ：|(a_b)(a二b)| =|a b|(a-b)| .a2 1b2 1a2, b2 1a | |b |Fb|证法二：(构造法)如图OA = f (a) = J +a2 ,| ABH a-b |,由三角形两边之差小于第三边得| f(a)-f(b)|a-b
7、|四、课堂练习：已知：|x- 1| 1,求证：(1) |2x+ 3|7;(2)|x21|W3.证明：(1) .|2x+ 3|=|2(x-1)+5|2|x- 1|+5 2 + 5=7(2)|x2-1|=|(x+ 1)(x-1)|=|(x-1)(x- 1)+ 2|& |x-1|(x- 1) + 2| |x- 1|+2 1+2=3五、小结：通过本节学习，要求大家理解含有绝对值不等式的性质，并能够简 单的应用，同时认识证明不等式的方法的灵活性、多样性 .六、课后作业：1 .证明下列不等式： a, be R 求证 | a+b| w | a|+| b|;(2)已知 | h| &, k|0),求证：| hk
8、| & ;(3)已知 | h| c e , c 0, & 0),求证:| -| .x分析：用绝对值性质及不等式性质作推理运算.绝对值性质有：| ab|=| a| | b|;| an|=| a| n,| a1= .3 等. b|b证明:(1)证法 1:-| a| a | a|,-| b| b | b|. -(| a|+| b|) a+b 0 显然成立.故(| a|+| b|) 2引 a+b|又.| a|+| b| 0,| a+b| 0,所以 | a|+| b| 引 a+b|,即| a+b| & | a|+| b|*(2)0 | h| J名,0 | k|0) ,0 | hk| = | h| | k
9、| & -蕊=由0c| x|可知：01 L(一且 0W | h|2 冈,1 =2,即 |x+二 | 2 x x x |x|x证法二：当 x0 时，x+ 1 2 .1x=2x x当x0,有1 c /、1c 1 o-x+2, ( -x)= 2= x -2x+ 1 2xfl - xxx C R且 xw 0 时有 x+ 1 2 x方法点拨：不少同学这样解：因为 |x+11 2 J|x| J-j =2,所以 | x+ 工1 2, x y|x|x学生认为这样解答是根据不等式的传递性.实际上，上述两个不等式是异向不等式，是不符合传递性的，因而如此作解是 错误的.3.已知:|A- a| : ,|B- b| ；,求证：(1)|( A+B)-( a+b)| e ; (2)|( A-E)-( a- b)| s分析：证明本题的关键是把结论的左边凑出条件的左边，创造利用条件的机会.证明：因为 |A-a| ,| B-b| 所以(1)|(A+B)-(a+b)|=|(A-a)+(B-b)| |A-a|+|B-b| -+- = 即 |( A+B)-( a+b)| &(2)|(A-BHa-b)|=|(A-a)-(B-b)| |A-a|+|B-b| - + - = 即 |( AB)-( a- b)| &方法点拨：本题的证明过程中运用了凑的技巧，望给予足够重视，灵活掌握.七、板书设计(略)八、课后记：
