1、4.2.2 圆与圆的位置关系课时过关能力提升基础巩固1.圆 C1:(x+2)2+(y-2)2=1 与圆 C2:(x-2)2+(y-5)2=16 的位置关系是( )A.外离 B.相交C.内切 D.外切解析: 圆 C1 的圆心是 C1(-2,2),半径 r1=1,圆 C2 的圆心是 C2(2,5),半径 r2=4,则圆心距|C 1C2|=5.因为|C1C2|=r1+r2,所以两圆外切.答案: D2.圆 C1:x2+y2+4x+8y-5=0 与圆 C2:x2+y2+4x+4y-1=0 的位置关系为( )A.相交 B.外切C.内切 D.外离解析: 由已知,得 C1(-2,-4),r1=5,C2(-2,
2、-2),r2=3,则 d=|C1C2|=2,所以 d=|r1-r2|.故两圆内切.答案: C3.已知圆 A 与圆 B 相切,圆心距为 10 cm,其中圆 A 的半径为 4 cm,则圆 B 的半径为( )A.6 cm 或 14 cm B.10 cmC.14 cm D.无解解析: 令圆 A、圆 B 的半径分别为 r1,r2,当两圆外切时,r 1+r2=10,所以 r2=10-r1=10-4=6;当两圆内切时,|r 1-r2|=10,即|4-r 2|=10,r2=14 或 r2=-6(舍 ),即圆 B 的半径为 6cm 或 14cm.答案: A4.已知圆 O1 的方程为 x2+y2=4,圆 O2 的
3、方程为( x-a)2+y2=1,如果这两个圆有且只有一个公共点,那么a 的所有取值构成的集合是( )A.1,-1 B.3,-3C.1,-1,3,-3 D.5,-5,3,-3解析: 因为两个圆有且只有一个公共点 ,所以两个圆内切或外切.当两圆内切时,|a|=1;当两圆外切时,|a|=3,即实数 a 的取值集合是1,- 1,3,-3.故选 C.答案: C5.圆 x2+y2+4x-4y+7=0 与圆 x2+y2-4x+10y+13=0 的公切线的条数是 ( )A.1 B.2C.3 D.4解析: 两圆的圆心分别为 C1(-2,2),C2(2,-5),则两圆的圆心距 d= ,又半径分(-2-2)2+(2
4、+5)2=65别为 r1=1,r2=4,则 dr1+r2,即两圆外离,因此它们有 4 条公切线.答案: D6.已知以 C(4,-3)为圆心的圆与圆 O:x2+y2=1 相切,则圆 C 的方程为( )A.(x-4)2+(y+3)2=16B.(x+4)2+(y-3)2=36C.(x-4)2+(y+3)2=16 或( x-4)2+(y+3)2=36D.(x+4)2+(y-3)2=16 或(x+4) 2+(y-3)2=36解析: 设所求圆的方程为(x-4) 2+(y+3)2=r2(r0).因为圆 C 与圆 O 相切,所以|r-1|=5 或 r+1=5,解得 r=6 或 r=4(负值舍去) .故所求圆的
5、方程为(x-4) 2+(y+3)2=16 或(x-4) 2+(y+3)2=36.答案: C7.圆 C1:x2+y2-12x-2y-13=0 和圆 C2:x2+y2+12x+16y-25=0 的公共弦所在的直线方程是 . 解析: 两圆的方程相减得公共弦所在的直线方程为 4x+3y-2=0.答案: 4x+3y-2=08.若圆 C1:(x-3)2+(y-4)2=16 与圆 C2:x2+y2=m(m0)内切,则实数 m= . 解析: 圆心距 d= =5,由题意得两圆半径差的绝对值 |4- |=5,解得 m=81.(0-3)2+(0-4)2 答案: 819.已知圆 O:x2+y2=25 和圆 C:x2+
6、y2-4x-2y-20=0 相交于 A,B 两点,则公共弦 AB 的长为 . 解析: 两圆方程相减得弦 AB 所在的直线方程为4x+2y-5=0.圆 x2+y2=25 的圆心到直线 AB 的距离d= .|5|20=52故公共弦 AB 的长为|AB|=2 =2 .2-2 25-54=95答案: 9510.求与圆 O:x2+y2=1 外切,切点为 P ,半径为 2 的圆的方程 .(-12,- 32)解: 设所求圆的圆心为 C(a,b),则所求圆的方程为(x-a) 2+(y-b)2=4.因为两圆外切,切点为 P ,(-12,- 32)所以|OC|=r 1+r2=1+2=3,|CP|=2.所以 2+2
7、=9,(+12)2+(+32)2=4,解得 =-32,=-332.所以圆心 C 的坐标为 ,(-32,-332)所求圆的方程为 =4.(+32)2+(+332)2能力提升1.圆 C1:(x+1)2+(y+2)2=4 与圆 C2:(x+2)2+(y+3)2=1 的位置关系是( )A.外离 B.外切 C.相交 D.内切解析: 圆心距 d= ,两圆半径的和为 2+1=3,两圆半径之差的绝对值为 1,(-2+1)2+(-3+2)2=2所以两圆的位置关系是相交.答案: C2.若圆 x2+y2=4 与圆 x2+y2+ay-2=0 的公共弦的长度为 2 ,则常数 a 的值为( )3A.2 B.2 C.-2
8、D.4解析: 两圆方程左右两边分别相减得公共弦所在直线的方程为 ay+2=0.由题意知 a0.圆 x2+y2=4 的圆心到直线 ay+2=0 的距离为 ,2|又公共弦长为 2 ,所以 2 =2 ,解得 a=2.3 34-42答案: A3.已知圆 C:(x-3)2+(y-4)2=1 和两点 A(-m,0),B(m,0)(m0).若圆 C 上存在点 P,使得APB=90,则 m的最大值为( )A.7 B.6 C.5 D.4解析: 因为 A(-m,0),B(m,0)(m0),所以使APB=90的点 P 在以线段 AB 为直径的圆上,该圆的圆心为 O(0,0),半径为 m.而圆 C 的圆心为 C(3,
9、4),半径为 1.由题意知点 P 在圆 C 上,故两圆有公共点 .所以两圆的位置关系为外切、相交或内切,故 m-1 |CO|m+1,即 m-1 5m+1,解得 4m6.所以 m 的最大值为 6.故选 B.答案: B4.若圆(x-a) 2+(y-a)2=4 上,总存在不同的两点到原点的距离等于 1,则实数 a 的取值范围是( )A.(22,322)B.(-322,- 22)C.(-322,- 22)(22,322)D.(-22, 22)解析: 圆(x-a) 2+(y-a)2=4 的圆心 C(a,a),半径 r=2,到原点的距离等于 1 的点的集合构成一个圆,这个圆的圆心是原点 O,半径 R=1,
10、则这两个圆相交,圆心距 d= |a|,则|r-R|dr+R,则2+2=21 |a|3,所以 |a| ,222 322所以- a- a .322 22或 22 322答案: C5.若点 A(a,b)在圆 x2+y2=4 上,则圆(x-a) 2+y2=1 与圆 x2+(y-b)2=1 的位置关系是 . 解析: 因为点 A(a,b)在圆 x2+y2=4 上,所以 a2+b2=4.又圆 x2+(y-b)2=1 的圆心 C1(0,b),半径 r1=1,圆(x-a) 2+y2=1 的圆心 C2(a,0),半径 r2=1,则 d=|C1C2|= =2,2+2=4所以 d=r1+r2.所以两圆外切.答案: 外
11、切6.求和圆(x-2) 2+(y+1)2=4 相切于点(4,-1) 且半径为 1 的圆的方程.解: 设所求圆的圆心为(a,b),则=1. (-4)2+(+1)2若两圆外切,则有 =1+2=3. (-2)2+(+1)2由 ,解得 a=5,b=-1,所以所求圆的方程为(x-5) 2+(y+1)2=1.若两圆内切,则有 =2-1=1. (-2)2+(+1)2由 ,解得 a=3,b=-1,所以所求圆的方程为(x-3) 2+(y+1)2=1.综上,可知所求圆的方程为(x-5) 2+(y+1)2=1 或(x-3) 2+(y+1)2=1.7.一动圆与圆 C1:x2+y2+6x+8=0 外切,与圆 C2:x2
12、+y2-6x+8=0 内切,求动圆圆心的轨迹方程.解: 圆 C1:(x+3)2+y2=1,所以圆心为 (-3,0),半径 r1=1;圆 C2:(x-3)2+y2=1,所以圆心为(3,0), 半径 r2=1.设动圆圆心为(x,y),半径为 r,由题意得=r+1, =r-1,(+3)2+2 (-3)2+2所以 =2,(+3)2+2 (-3)2+2化简并整理,得 8x2-y2=8(x1).所以动圆圆心的轨迹方程是 8x2-y2=8(x1).8.圆 O1 的方程为 x2+(y+1)2=4,圆 O2 的圆心 O2(2,1).(1)若圆 O2 与圆 O1 外切,求圆 O2 的方程;(2)若圆 O2 与圆
13、O1 交于 A,B 两点,且|AB|=2 ,求圆 O2 的方程.2解: (1)设圆 O1 的半径为 r1,圆 O2 的半径为 r2.因为两圆外切,所以|O 1O2|=r1+r2,r2=|O1O2|-r1=2( -1),2故圆 O2 的方程是(x-2) 2+(y-1)2=4( -1)2.2(2)设圆 O2 的方程为 (x-2)2+(y-1)2= .22因为圆 O1 的方程为 x2+(y+1)2=4,将两圆的方程相减,即得两圆公共弦 AB 所在直线的方程 4x+4y+ -8=0, 22作 O1HAB,则|AH|= |AB|= ,O1H= ,12 2 2由圆心 O1(0,-1)到直线 的距离得 ,得 =4 或 =20,|22-12|42=2 22 22故圆 O2 的方程为(x-2) 2+(y-1)2=4 或( x-2)2+(y-1)2=20.
