1、第四章检测(A )(时间:90 分钟 满分:120 分)一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知空间两点 P1(-1,3,5),P2(2,4,-3),则|P 1P2|等于( )A. B.374 10C. D.14 53解析: |P1P2|= .(-1-2)2+(3-4)2+(5+3)2=74答案: A2.圆心为(1,- 7),半径为 2 的圆的方程是( )A.(x-1)2+(y+7)2=4B.(x+1)2+(y-7)2=4C.(x+1)2+(y-7)2=2D.(x-1)2+(y+7)2=2解析: 由已知条件得圆
2、的标准方程为 (x-1)2+(y+7)2=4.答案: A3.直线 l:x-y=1 与圆 C:x2+y2-4x=0 的位置关系是 ( )A.相离 B.相切C.相交 D.无法确定解析: 圆 C 的圆心为 C(2,0),半径为 2,圆心 C 到直线 l 的距离 d= 1,所以直线512+22=5 5与圆相离.所以最短距离为 d-r= -1.5答案: C7.已知圆 C 与直线 x-y=0 及 x-y-4=0 都相切,圆心在直线 x+y=0 上,则圆 C 的方程为( )A.(x+1)2+(y-1)2=2B.(x-1)2+(y-1)2=2C.(x-1)2+(y+1)2=2D.(x+1)2+(y+1)2=2
3、解析: 由题意设圆心坐标为(a,-a), 因为圆心到直线 x-y-4=0 与 x-y=0 的距离相等,所以 ,解得 a=1.|2|2=|2-4|2所以圆心坐标为(1,-1), 半径 r= .|2|2=2故所求圆的方程为(x-1) 2+(y+1)2=2.答案: C8.已知圆 x2+y2+2x-2y+a=0 截直线 x+y+2=0 所得弦的长度为 4,则实数 a 的值是( )A.-2 B.-4 C.-6 D.-8解析: 圆的方程可化为(x+1) 2+(y-1)2=2-a,因此圆心为(-1,1),半径 r= .2-圆心到直线 x+y+2=0 的距离 d= ,又弦长为 4,因此由勾股定理可得( )2+
4、 =(|-1+1+2|2 =2 2 (42)2)2,解得 a=-4.故选 B.2-答案: B9.圆 x2+y2+2x+4y-3=0 上到直线 x+y+2=0 的距离为 的点共有( )2A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个解析: 圆的标准方程为(x+1) 2+(y+2)2=(2 )2,圆心(- 1,-2)到直线 x+y+2=0 的距离为 ,故2|-1-2+2|2 =22满足条件的点有 4 个.答案: D10.若过定点 M(-1,0)且斜率为 k 的直线与圆 x2+4x+y2-5=0 在第一象限内的部分有交点,则 k 的取值范围是( )A.00)外切,则 m 的值为 . 解析: 由已知得
5、 C1(-1,1),半径 r1=1;C2(-5,-2),半径 r2=m,所以圆心距 d=|C1C2|= =5.(-1+5)2+(1+2)2又因为两圆外切,所以 d=r1+r2.所以 5=1+m,即 m=4.答案: 413.已知 M(-2,0),N(2,0),则以 MN 为斜边的直角三角形的直角顶点 P 的轨迹方程是 . 解析: 由题意可知点 P 在以 MN 为直径的圆上,且除去 M,N 两点,所以圆心坐标为(0,0),半径为 2.所以轨迹方程是 x2+y2=4(x2).答案: x2+y2=4(x2)14.已知两圆 C1:x2+y2=10,C2:x2+y2+ax+by-14=0,且经过两圆交点的
6、公共弦所在的直线方程为 x+y-2=0,则圆 C2的圆心坐标为 . 解析: 两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为 ax+by-4=0.因为公共弦所在直线的方程为 x+y-2=0,所以 a=2,b=2.故圆 C2的圆心坐标为(- 1,-1).答案: (-1,-1)15.已知直线 ax+y-2=0 与圆心为 C 的圆( x-1)2+(y-a)2=4 相交于 A,B 两点,且 ABC 为等边三角形,则实数 a= . 解析: 由ABC 为等边三角形可得 ,C 到 AB 的距离为 ,即 (1,a)到直线 ax+y-2=0 的距离 d=3,即 a2-8a+1=0,可求得 a=4 .|+-2|1+2=3 1
7、5答案: 4 15三、解答题(本大题共 5 小题,共 45 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8 分) 求与直线 y=x 相切,圆心在直线 y=3x 上且截 y 轴所得的弦长为 2 的圆的方程.2解: 设圆心坐标为 O1(x0,3x0),半径为 r,则 =r,|0-30|2解得 r= |x0|.2又 y 轴被圆截得的弦长为 2 ,2 ( )2+ =r2, 2+ =2 , x0= , r=2.2 20 20 20 2即圆的方程为(x+ )2+(y+3 )2=4 或(x- )2+(y-3 )2=4.2 2 2 217.(8 分) 已知一个圆的圆心为 A(2,1),且与圆 x2+
8、y2-3x=0 相交于 P1,P2两点.若|P 1P2|=2,求这个圆的方程.解: 设圆的方程为(x-2) 2+(y-1)2=r2,即 x2+y2-4x-2y+5-r2=0.所以直线 P1P2的方程为 x+2y-5+r2=0.则点 A(2,1)到直线 P1P2的距离为 .|2-1|5又因为|P 1P2|=2,所以当 r=1 时,易知符合题意,此时所求圆的方程为(x- 2)2+(y-1)2=1.当 r1 时,由+1=r2,解得 r2=6 或 r2=1(舍去).此时所求圆的方程为 (x-2)2+(y-1)2=6.(2-1)25故所求圆的方程是(x-2) 2+(y-1)2=6 或(x- 2)2+(y
9、-1)2=1.18.(9 分) 在棱长为 2 的正方体 OABC-O1A1B1C1中,P 是对角线 O1B 上任意一点,Q 为棱 B1C1的中点.求|PQ|的最小值 .解: 分别以 OA,OC,OO1所在的直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 .由于 Q 是 B1C1的中点,所以 Q(1,2,2).点 P 在 xOy 平面上的射影在 OB 上,在 yOz 平面上的射影在 O1C 上,所以点 P 的坐标(x,y,z)满足 =,=2-,则|PQ|= ,(-1)2+(-2)2+(-)2=32-6+5=3(-1)2+2当 x=1 时,即 P(1,1,1)时,|PQ| 取得最小值
10、.219.(10 分) 已知圆 M:(x-1)2+(y-1)2=4,直线 l 经过点 P(2,3)且与圆 M 交于 A,B 两点,且|AB|=2 ,求直线3l 的方程.解: 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y-3=k(x-2),即 kx-y+3-2k=0.如图,作 MCAB 于点 C,连接 BM.在 RtMBC 中,|BC|= |AB|= ,|MB|=2,12 3故|MC|= =1.|2-|2由点到直线的距离公式得 =1,|-1+3-2|2+1解得 k= .故直线 l 的方程为 3x-4y+6=0.34当直线 l 的斜率不存在时,其方程为 x=2,且|AB|=2 ,所以符合题意
11、 .3综上所述,直线 l 的方程为 3x-4y+6=0 或 x=2.20.(10 分) 求与直线 x+y-2=0 和圆 x2+y2-12x-12y+54=0 都相切的半径最小的圆的标准方程.解: 如图,将圆的方程配方得(x-6) 2+(y-6)2=18,所以圆心为(6,6),半径为 3 .圆心(6,6) 到直线 x+y-2=0 的距离 d= =5 .2|6+6-2|2 2过圆心(6,6)且与直线 x+y-2=0 垂直的直线为 y=x.当所求圆的圆心在直线 y=x 上且与直线 x+y-2=0 和圆 x2+y2-12x-12y+54=0 都相切时半径最小.设所求圆的标准方程为(x-a) 2+(y-b)2=r2(a,b0,r0),则 r= ,52-322 =2圆心(a,b) 在直线 y=x 上,且(a,b)到直线 x+y-2=0 的距离为 .2所以 |+-2|2 =2,=, 解得 =2,=2.故所求圆的方程为(x-2) 2+(y-2)2=2.
