1、4.3.2 空间两点间的距离公式课时过关能力提升基础巩固1.若已知 A(1,1,1),B(-3,-3,-3),则线段 AB 的长为 ( )A.4 B.2 C.4 D.33 3 2 2解析: 由空间两点间的距离公式得 ,|AB|= =4 .(1+3)2+(1+3)2+(1+3)2 3答案: A2.若 A(4,-7,1),B(6,2,z),|AB|=11,则 z=( )A.-5 B.7 C.6 D.-5 或 7解析: |AB|= =11,解得 z=-5 或 z=7.(4-6)2+(-7-2)2+(1-)2答案: D3.已知点 A 在 z 轴上,它到点(3,2,1)的距离是 ,则点 A 的坐标是(
2、)13A.(0,0,-1) B.(0,1,1)C.(0,0,1) D.(0,0,13)解析: 设 A(0,0,c),则 ,解得 c=1.所以点 A 的坐标为(0,0,1) .32+22+(1-)2=13答案: C4.在空间直角坐标系中,已知三点 A(1,0,0),B(1,1,1),C(0,1,1),则ABC 是( )A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等边三角形解析: 点 A(1,0,0),B(1,1,1),C(0,1,1), |AB|= ,(1-1)2+(0-1)2+(0-1)2=2|AC|= ,(0-1)2+(1-0)2+(1-0)2=3|BC|= =1.(0-1)2+(
3、1-1)2+(1-1)2 |AC|2=|AB|2+|BC|2, 三角形 ABC 是直角三角形.故选 A.答案: A5.已知点 A(1,-2,1)关于坐标平面 xOy 的对称点为 A1,则 A,A1两点间的距离为 . 解析: A1(1,-2,-1),则|AA 1|= =2.(1-1)2+(-2+2)2+(1+1)2答案: 26.已知点 A(1,1,a),B(0,2,0),|AB|=3,则实数 a= . 解析: 由题意,得|AB|= =3,解得 a= .(1-0)2+(1-2)2+(-0)2 7答案: 77.已知点 A(1,2,3),B(2,-1,4),点 P 在 y 轴上,且|PA|=|PB|,
4、则点 P 的坐标是 . 答案: (0,-76,0)8.已知点 P 在 z 轴上,且满足|PO|=1( O 为坐标原点), 则点 P 到点 A(1,1,1)的距离是 . 解析: 由题意知点 P 的坐标为(0,0,1) 或(0,0,-1),所以|PA|= ,(1-0)2+(1-0)2+(1-1)2=2或|PA|= .(1-0)2+(1-0)2+(1+1)2=6答案: 2或 69.在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,已知|AB|= 3,|BC|=2,|AA1|=2,用空间中两点间的距离公式求对角线B1D 的长.解: 如图,以 D 为原点,分别以 DA,DC,DD1所在的直线为 x 轴、y 轴、z
5、 轴建立空间直角坐标系 Dxyz,可得 D(0,0,0),B1(2,3,2),所以|B 1D|= .22+32+22=1710.在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,P 为平面 A1B1C1D1的中心 ,求证:PAPB 1.证明 如图,以 D 为原点,分别以 DA,DC,DD1所在的直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 Dxyz.设正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1,则 A(1,0,0),B1(1,1,1),P .(12,12,1)由两点间的距离公式,得|AP|= ,(12)2+(12)2+12=62|PB1|= ,(12)2+(12)2+02=22连接点 A,B1,
6、则|AB 1|= .02+12+12=2又|AP| 2+|PB1|2=2=|AB1|2,故 PAPB 1.能力提升1.如图,在空间直角坐标系中,有一棱长为 a 的正方体 ABCD-ABCD,AC 的中点 E 与 AB 的中点 F 之间的距离为( )A. a B. a C.a D. a222 12解析: 由题易知 A(a,0,a),C(0,a,0),点 E 的坐标为 .而 F ,(2,2,2) (,2,0)所以|EF|= a.24+02+24=22答案: B2.在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,若 D(0,0,0),A(4,0,0),B(4,2,0),A1(4,0,3),则对角线 AC1的
7、长为( )A.9 B. C.5 D.229 6答案: B3.已知ABC 的顶点分别是 A(3,1,1),B(-5,2,1),C ,则它在 yOz 平面上射影的面积是( )(-83,2,3)A.4 B.3 C.2 D.1解析: ABC 的顶点在 yOz 平面上的射影点的坐标分别为 A(0,1,1),B(0,2,1),C(0,2,3),ABC 在 yOz 平面上的射影是一个直角三角形 ABC,容易求出它的面积为 1.答案: D4.在空间直角坐标系中,一点到三个坐标轴的距离都是 1,则该点到原点的距离是( )A. B. C. D.62 3 32 63解析: 利用正方体模型,已知各面对角线的长为 1,
8、则正方体的棱长为 ,则这个点的坐标为 ,这22 (22, 22, 22)个点到原点的距离为 .62答案: A5.在ABC 中,若 A(-1,2,3),B(2,-2,3),C ,则 AB 边上的中线 CD 的长是 . (12,52,3)解析: 由题意可知 AB 的中点 D 的坐标是 ,(12,0,3)由空间中两点间的距离公式可得|CD|= (12-12)2+(52-0)2+(3-3)2= .52答案:526.已知三点 A,B,C 的坐标分别为 A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3,7,),若 ABAC ,则 = . 解析: |AB|= ,|AC|= ,|BC|= ,44 37+(-3)2
9、 145+(-1)2 ABAC, |BC|2=|AB|2+|AC|2,解得 =-14.答案: -147.在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,|AB|=|BC|= 2,|D1D|=3,点 M 是 B1C1的中点,点 N 是 AB 的中点.建立如图所示的空间直角坐标系.(1)写出点 D,N,M 的坐标;(2)求线段 MD,MN 的长度.解: (1)因为 D 是原点,所以 D(0,0,0).由|AB|=|BC|=2, |D1D|=3,得 A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),B1(2,2,3),C1(0,2,3).又 N 是 AB 的中点,故 N(2,1,0).同理可得 M(1,
10、2,3).(2)由两点间的距离公式,得|MD|= ,(1-0)2+(2-0)2+(3-0)2=14|MN|= .(1-2)2+(2-1)2+(3-0)2=118.如图,正方形 ABCD,ABEF 的边长都是 1,并且平面 ABCD平面 ABEF,点 M 在 AC 上移动,点 N在 BF 上移动.若|CM|=|BN|=a(0a ).2(1)求 MN 的长度;(2)当 a 为何值时,MN 的长度最短?解: 因为平面 ABCD平面 ABEF,且交线为 AB,BEAB,所以 BE平面 ABCD,所以 BA,BC,BE 两两垂直.取 B 为坐标原点,BA ,BE,BC 所在的直线分别为 x 轴、y 轴和
11、 z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系.因为|BC|=1,|CM|=a,点 M 在坐标平面 xBz 内且在正方形 ABCD 的对角线上,所以点 M .(22,0,1- 22)因为点 N 在坐标平面 xBy 内且在正方形 ABEF 的对角线上,|BN|=a,所以点 N .(22, 22,0)(1)由空间两点间的距离公式,得|MN|= (22- 22)2+(0- 22)2+(1- 22-0)2= ,即 MN 的长度为 .2- 2+1 2- 2+1(2)由(1),得|MN|= .2- 2+1=(- 22)2+12当 a= (满足 0a )时, 取得最小值,即 MN 的长度最短,最短为 .22 2 (- 22)2+12 22
